Probabilit Un percorso didattico probabilit di eventi non

Probabilità. Un percorso didattico probabilità di eventi non “elementari” legge della moltiplicazione L. Cappello, C. Bonmassar a cura di L. Cappello 5 giugno 2014 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 1

Probabilità di eventi non elementari - Unione Se alla roulette (europea) punto su un numero pari o nero, qual è la probabilità che io vinca? spazio agli interventi degli studenti Contiamo i casi favorevoli … la probabilità è Didattica probabilità e statistica PAS 2014 2

Probabilità di eventi non elementari - Unione Invece possiamo ricorrere all’uguaglianza seguente? E’ vera? controlliamo … effettuiamo anche prove materiali (test di ipotesi) Per quale motivo è falsa? P N 16 18 14 2 13 12 11 15 4 6 8 10 30 32 17 29 20 22 24 26 34 36 28 31 33 35 Vale # (P U N ) = # P + # N - # (P ∩ N ) Con (*) si contano due volte gli elementi di P ∩ N Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Probabilità di eventi non elementari – Unione … Tali quesiti stimolano l’uso di più forme di rappresentazione: - il linguaggio degli insiemi simboli e termini, operazioni - la schematizzazione grafica mediante diagrammi di Venn - il linguaggio logico … i connettivi “o”, “e”, “non” significato logico e uso nel linguaggio naturale E sviluppano la capacità di passare da una all’altra in particolare: “e” - intersezione, “o” - unione Addirittura diventano un’occasione per introdurre contenuti: G. Prodi, libro di testo “Matematica come scoperta” Didattica probabilità e statistica PAS 2014 4

Probabilità di eventi non elementari – Unione … Ma è importante scegliere oculatamente quali - formule - termini proporre agli studenti Proporreste l’enunciato del Teorema delle probabilità totali? E le definizioni di eventi compatibili, incompatibili? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 5

Probabilità di eventi non elementari – Unione … Piuttosto … una questione significativa In una scuola la probabilità che uno studente, scelto a caso, sappia pattinare è del 31%. Quella che uno studente sappia arrampicare è del 24%. Tali informazioni sono sufficienti per determinare la probabilità che uno studente della scuola sappia pattinare e arrampicare? P A ? le informazioni fornite non sono sufficienti! Fornisci un esempio di informazione aggiuntiva, mediante la quale si possa determinare la probabilità richiesta. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 6

Probabilità di eventi non elementari - Complementare Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6. Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri usciti) sia almeno “ 5”? gli studenti esplorano il pb … si devono considerare molti casi il docente suggerisce una strategia • consideriamo l’evento complementare (contrario) ossia C = “il punteggio è minore di 5” C = “il punteggio è 3 oppure è 4” • numero casi favorevoli a C: 1+3 = 4 numero casi favorevoli ad “almeno 5”: 216 – 4 = 212 • p(“almeno 5”) = Didattica probabilità e statistica PAS 2014 7

Probabilità di eventi non elementari - Complementare Osservazione In generale, per ogni evento E vale Infatti E Didattica probabilità e statistica PAS 2014 8

Probabilità di eventi non elementari – Alcuni esercizi Alcuni esempi modellizzazione anche mediante circuiti elettrici Esercizi dai testi in adozione ma con attenzione Didattica probabilità e statistica PAS 2014 9

Legge della moltiplicazione – Problemi motivanti Compleanni Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Scommetteresti che vi sono almeno due tra esse che compiono gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)? Test clinici Il test “Elisa” relativo all’HIV ha una sensibilità del 99, 9% e una specificità del 99, 9%. Se la malattia ha una prevalenza dello 0, 3%, qual è la probabilità che il test dia indicazioni errate su un individuo scelto a caso nella popolazione? sviluppiamo gli strumenti matematici per affrontarli Didattica probabilità e statistica PAS 2014 10

Legge della moltiplicazione – Una giustificazione prodotto cartesiano Giochiamo a battaglia navale. Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura? Con un colpo. La probabilità è Didattica probabilità e statistica PAS 2014 11

Legge della moltiplicazione – Una giustificazione Un approccio per componenti • un colpo: 1) si indica un numero 2) si indica una lettera • “colpire la portaerei” = A e B B • numero casi favorevoli = 2∙ 3 numero casi possibili = 5∙ 7 A Qual è il significato della formula? Possiamo generalizzare il risultato? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 12

Legge della moltiplicazione – Urna In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e la si reinserisce nell’urna prima dell’estrazione successiva. Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu? gli studenti esplorano il problema: effettuano prove dell’esperimento … poi magari elencano i casi possibili: R 1 R 1, R 1 R 2, … R 1 B 1, … Didattica probabilità e statistica PAS 2014 13

Legge della moltiplicazione – Urna Un modello: la tabella seconda estrazione B 2 B 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 3 B 1 B 2 prima estrazione la probabilità dell’evento “R e B” è Didattica probabilità e statistica PAS 2014 14

Legge della moltiplicazione – Urna Un altro modello: il grafo ad albero estrazione 1 3/5 2/5 • il cammino “favorevole” … • la probabilità di ogni estrazione … estrazione 2 2/5 3/5 Cerchiamo relazioni tra p(R e B)=6/25 e le prob. sul grafo: p(R e B) = ossia 3/5 2/5 lettura sul grafo: prodotto probabilità dei rami p(R e B) = Didattica probabilità e statistica PAS 2014 15

Legge della moltiplicazione – Urna I due modelli a confronto estrazione 1 estrazione 2 Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta Didattica probabilità e statistica PAS 2014 16

Legge della moltiplicazione – Urna Una giustificazione mediante un’analogia 3/5 • immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua • se il tubo verde in alto porta a litri, allora nel tubo verde sotto scorrono i 2/5 di a litri, ossia 2/5 ∙ a litri 2/5 R • se il tubo in alto porta 3/5 di litro, allora … 3/5 Analogamente nel pb in esame si percorre il ramo in alto con probabilità 3/5, allora si percorre quello verde in basso con probabilità globale 2/5 ∙ 3/5 ma è solo un’analogia richiama le percentuali iterate Didattica probabilità e statistica PAS 2014 17

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e non la si reinserisce nell’urna. Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu? gli studenti esplorano il problema, effettuano prove Didattica probabilità e statistica PAS 2014 18

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione La tabella x alcune celle non intervengono! seconda estrazione B 2 x B 1 x R 3 x R 2 R 1 x R 1 R 2 R 3 B 1 B 2 prima estrazione la probabilità dell’evento “R e B” è: Didattica probabilità e statistica PAS 2014 19

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione Il grafo ad albero estrazione 1 3/5 2/5 cambiano le probabilità della seconda estrazione! estrazione 2 1/2 3/4 1/4 Gli studenti notano che vale p(R e B) = ancora il prodotto delle probabilità “elementari”, ma con attenzione … Didattica probabilità e statistica PAS 2014 20

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione con reimmissione 3/5 senza reimmissione estrazione 1 2/5 3/5 2/5 estrazione 2 3/5 2/5 p(R e B) = 3/5 2/5 1/2 3/4 1/4 p(R e B) = Didattica probabilità e statistica PAS 2014 21

Legge della moltiplicazione – Le scelte del docente Considerate quanto riporta il libro di testo M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità Blu, Zanichelli In un percorso per il primo biennio, proporreste - la stessa definizione di eventi indipendenti? - la stessa notazione per la probabilità che dipende da altre? - lo stesso enunciato della legge della moltiplicazione? Seguireste l’ordine in cui sono presentati nel testo? Quali sono le vostre definizioni, notazioni e i vostri enunciati? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 22

Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto Due eventi si dicono indipendenti se la conoscenza del fatto che uno di essi si è verificato non modifica la probabilità dell’altro. Modelli: urna con reimmissione urna senza reimmissione indipendenza Legge della moltiplicazione Dati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è uguale al prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di B valutata nell’ipotesi che A si sia verificato. sia per eventi indipendenti che dipendenti Didattica probabilità e statistica PAS 2014 23

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti? Una definizione equivalente di indipendenza: ma non insistere Più importante: disporre di modelli di riferimento … l’urna Didattica probabilità e statistica PAS 2014 24

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti? Indipendenza. Non sempre è intuitiva Esperimento del lancio di un dado a 6 facce A = “esce un numero pari” B = “esce il numero 1 o il numero 2“ • Intuitivamente i due eventi A, B vi sembrano indipendenti? • Verifichiamo: p(A) ∙ p(B) = 1/6 = p(A∩B) • Sono indipendenti! … attenzione Didattica probabilità e statistica PAS 2014 25

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti? Dipendenza. Non sempre è influenza tra eventi Inghilterra, dopo seconda guerra mondiale, analisi statistica su N case. Per ogni casa si rileva se c’è un nuovo nato, un nuovo nido di cicogna: A = “almeno un nuovo nido di cicogna sul tetto di una casa fissata” B = “almeno un nuovo nato in una casa fissata” Dai dati: dove c’è un nido di cicogna è maggiore la probabilità di una nascita A influenza B? No! A, B hanno una causa comune: la fine della guerra. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 26

Legge della moltiplicazione – La notazione p(A|B) All’inizio è meglio non utilizzare notazioni specifiche per la probabilità che dipende da altre Introdurne una quando serve univocità e coincisione vantaggi della formalizzazione Piuttosto oppure E’ più importante evitare ambiguità nel linguaggio “probabile” = “possibile” “non probabile” = “non possibile” Didattica probabilità e statistica PAS 2014 27

Legge della moltiplicazione – Come applicarla? - un’unica formulazione è responsabilità dell’insegnante per eventi indipendenti o dipendenti - non serve chiedersi a priori se A, B sono dipendenti a meno che la richiesta non sia di verificarlo - attenzione a valutare la “nuova” probabilità di B nell’ipotesi che A si sia verificato … ma essa potrebbe non cambiare Didattica probabilità e statistica PAS 2014 28

Legge della moltiplicazione – Come applicarla? La formula All’inizio è meglio non usarla in una prima fase serve quasi solo per calcolare p(A∩B) Però ha un ruolo fondamentale: - è la definizione di probabilità condizionata - - da essa deriva la definizione di dipendenza ed indipendenza di eventi la legge della moltiplicazione il significato di probabilità condizionata nei tre approcci Didattica probabilità e statistica PAS 2014 29

Legge della moltiplicazione – Consolidamento Alcuni esempi Esercizi dai testi in adozione (tra poco) Didattica probabilità e statistica PAS 2014 30

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Regolarità Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete? TTTTT TCTCCTCTTC p(TTTTT) = p(T) ∙ … ∙ p(T) = p(TCTCCTCTTC) = p(T) ∙ p(C) ∙ … ∙ p(C) = Per quale motivo di fondo le 2 prob. sono uguali? I lanci sono indipendenti. C’è una sequenza di 10 lanci sulla quale scommettete? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 31

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Compensazione (riformulata) Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. L’esito dei primi 9 lanci è TTTTT. Al decimo lancio è più probabile ottenere C? I lanci sono indipendenti ovvero “la moneta non ha memoria”. Quindi al decimo lancio, come al primo, vale p(T) = p(C) = 1/2. Approfondiamo - L’evento “i primi nove lanci hanno tutti esito testa” è poco probabile: p(TTTTT) < 1/500 Ma ormai è accaduto. E’ un evento certo. Solo gli esiti del decimo lancio sono eventi aleatori. - Fraintendimenti: considerare globalmente i 10 esiti interpretare in modo errato la Legge dei grandi numeri Didattica probabilità e statistica PAS 2014 32

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Compensazione … tutto questo in teoria, ma nella pratica cosa succede? Proviamo! Idea e traccia di lavoro File predisposto per studenti meglio però effettuare anche esperimenti materiali Il quesito “Marta e i bambini” (slide 10 del primo incontro) gli studenti possono rispondere in modo autonomo servono alcune ipotesi, utile la lettura “Genetica e determinazione del sesso” Didattica probabilità e statistica PAS 2014 33

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Numeri ritardatari Il “ 53” non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia. Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183 -esima estrazione? • La probabilità che esca il “ 53” ad una data estrazione su tale ruota è • La probabilità di uscita alla 183 - esima estrazione è ancora p: le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione) Approfondiamo Qual è la probabilità che il “ 53” non esca per 182 estrazioni consecutive? poco probabile ma ormai è passato Didattica probabilità e statistica PAS 2014 34

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Numeri ritardatari … il “ 53” è uscito su Venezia il 9 febbraio 2005, alla 183 – esima estrazione Attività. Scommessa con gli studenti. Il docente punta un numero “a caso”. Ecco i “numeri spia” dal sito della Lottomatica. E’ uscito il “ 15” sulla ruota di Bari. E’ vero che allora aumenta la probabilità di uscita dell’ “ 84”? Giustifica. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 35

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Test clinici - Test di gravidanza: una situazione semplice - Un problema significativo Una popolazione di 10. 000 individui è stata sottoposta ad un test per diagnosticare una certa malattia. Sono risultate positive al test 1. 726 persone e si assume che il test sia risultato positivo per il 99, 0% dei malati. Inoltre si assume che il 2, 0% della popolazione avesse la malattia. Qual è la probabilità che il test abbia fornito indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione? il video del problema e della risoluzione realizzato dal Laboratorio: http: //youtu. be/N_sdk. Lt. ECps Didattica probabilità e statistica PAS 2014 36

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali Test clinici - Uno dei problemi motivanti, ora precisato. Una popolazione è sottoposta al test “Elisa” per la diagnosi dell’HIV. La probabilità che il test sia positivo sull’individuo che ha il virus è del 99, 9% (sensibilità del test). Quella che il test sia negativo sull’individuo “sano” è del 99, 9% (specificità). Inoltre si assume che lo 0, 3% della popolazione abbia la malattia (prevalenza). Qual è la probabilità che il test fornisca indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione? si risolve analogamente ai due pb precedenti, con un grafo ad albero p(“esito errato”) = 0, 997 ∙ 0, 001 + 0, 003 ∙ 0, 001 = 0, 001 esploriamo: come cambia la risposta al variare dei valori numerici in ipotesi? … cerchiamo anche una giustificazione algebrica Didattica probabilità e statistica PAS 2014 37

Legge Cosa della indicamoltiplicazione la normativa? –– Secondaria Esercizi dai Superiore libri di testo Considerate il testo per il primo biennio M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità. Blu, Zanichelli Esaminate le sezioni dedicate agli esercizi sulla legge della moltiplicazione - Proporreste agli studenti l’esercizio n. 60? Quando nel percorso? - Risolvereste il n. 61 nel modo in cui è svolto sul testo? - Considerate l’esercizio svolto n. 77 (legge della moltiplicazione). Vorreste che gli studenti producano una risoluzione analoga? esaminate notazioni, formalizzazione, giustificazioni, approccio - Quali esercizi dal n. 69 all’ 84 proporreste agli studenti? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 38