Probabilit Un percorso didattico motivazioni valutazione classica L

Probabilità. Un percorso didattico motivazioni, valutazione classica L. Cappello 23 aprile 2014 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 1

Un percorso idee e spunti da attività realizzate nell’ambito del Progetto Lauree Scientifiche di Trento (PLS) contributi del Laboratorio di didattica e comunicazione della Matematica dell’Università di Trento … Francesca Mazzini Didattica probabilità e statistica PAS 2014 2

Un percorso – I contenuti - situazioni motivanti - valutazioni di probabilità - eventi non “elementari” e legge della moltiplicazione - probabilità di eventi che dipendono da altri - giochi d’azzardo e probabilità - primi elementi di statistica descrittiva Didattica probabilità e statistica PAS 2014 3

Un percorso – Gli aspetti in esame - modalità di presentazione dei concetti non fa scienza, senza per costruire significati degli oggetti matematici lo ritenere , aver inteso Dante Alighieri affinché i saperi siano disponibili a lungo - competenze (abilità, capacità …) sottese matematiche e trasversali - contestualizzazione in un curriculum coerente parti di un percorso, non episodi - approccio laboratoriale La matematica non è uno sport per spettatori G. Polya non legato a luogo fisico ma modo attivo di operare … per compiere scelte Didattica probabilità e statistica PAS 2014 didattiche efficaci 4

Un percorso – I motivi del docente Quali sono i vostri motivi per insegnare la probabilità? “Ormai da molto tempo mi sono convinto che non si può ottenere una buona formazione culturale dei giovani senza utilizzare l’immensa ricchezza concettuale ed euristica della probabilità e della statistica … intesa … come riflessione su alcuni fondamentali processi di conoscenza … e non solo come strumento fondamentale per le scienze sperimentali ed umane”. Giovanni Prodi “. . . nessun argomento ha valore o interesse di per sé, ma ogni argomento lo acquista se introdotto al momento giusto in connessione con altre problematiche … sono le connessioni effettive (applicazioni, analogie, …) che danno ai giovani l’impressione di fare scoperte e la soddisfazione di sentirsi creativi”. Bruno de Finetti Didattica probabilità e statistica PAS 2014 5

Un percorso – I motivi del docente “La matematica non è semplicemente numeri, non più di quanto la musica sia semplicemente note. La musica si può amare, ci si può appassionare ad essa. Anche alla matematica ci si può appassionare …. Ogni insegnante deve agire a suo modo, secondo le proprie tendenze. Ognuno deve usare i propri mezzi per interessare gli studenti. Va bene tutto, si ha bisogno di tutto, senza esclusioni”. S. Lang Didattica probabilità e statistica PAS 2014 6

Motivazioni iniziali – Giochi d’azzardo Attività. Gli studenti partecipano ad alcuni giochi d’azzardo. Tengono traccia degli esiti. Se gioco “a lungo” al 10 e Lotto diventerò milionario? spazio agli interventi degli studenti le risposte non subito, ma durante il percorso Ha rilevanza sociale Didattica probabilità e statistica PAS 2014 7

Motivazioni iniziali – Test clinici Risulto positivo al test per l’HIV. Sono certamente malato? “Lei è sieropositivo”. Ma era falso. probabilità che un individuo malato risulti positivo al test • Sapendo che il test “Elisa” ha una sensibilità del 99, 9%, vuol dire che al 99, 9% ho contratto l’HIV? • Qual è la probabilità che il test “Elisa” dia esiti errati? … per rispondere servono ulteriori ipotesi Didattica probabilità e statistica PAS 2014 8

Motivazioni iniziali – Test clinici - Studio su medici tedeschi: sono fornite loro informazioni analoghe. Secondo alcuni la probabilità di malattia è del 90% (ma è il 9%!). - Test antidoping: M. D. Slaney squalificata nel 1996. Probabilità che un atleta sia positivo a quel test e non dopato = 1%. Significa: positivo al test = dopato al 99%? No. La probabilità che sia dopato è dell’ 84, 7%. 90. 000 ogni anno effettuano il test …“molti” positivi ma innocenti. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 9

Motivazioni iniziali – Misconcetti Regolarità Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete? “TTTTT” “TCTCCTCTTC” Compensazione “Marta è incinta. Ha già tre bambine. Quindi è più probabile che il prossimo figlio sia maschio. ” E’ vero? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 10

Motivazioni iniziali – Misconcetti Numeri ritardatari Numeri che non escono Scommettereste sull’uscita del 5 sulla ruota di Palermo? I numeri estratti - Fino al 1993 i numeri ritardatari comparivano su Televideo - Gennaio 2005: giocati al Lotto 1, 2 miliardi di euro. Il doppio del gennaio 2004. Ma vincite quasi uguali. … il 53 non usciva da 182 estrazioni sulla ruota di Venezia! Attività. Prima di ogni estrazione ciascun studente punta sul numero che preferisce. Il docente su un numero “a caso”. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 11

Motivazioni iniziali – Altre situazioni si possono proporre all’inizio sotto forma di quesiti o come lettura (eccetto “filtri”), o in seguito come approfondimento • Genetica: determinazione del sesso dei figli morbo di Cooley e microcitemia • Un caso giudiziario: O. J. Simpson e l’omicidio della moglie Nel 1995 è assolto. Nel 1996 è condannato E’ stata utilizzata la probabilità … male: scelta distorta dei “casi possibili” Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0, 04% è poi uccisa da lui Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è poi uccisa da lui Didattica probabilità e statistica PAS 2014 12

Motivazioni iniziali – Altre situazioni • Storia: assicurazioni sul trasporto di merci (XIV secolo) la storia della probabilità è più antica della storia • Filtri antispam: bloccare le e-mail indesiderate • Economia: assicurazioni e valutazione soggettiva Didattica probabilità e statistica PAS 2014 13

Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare Lanciamo due dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6. Su quale punteggio (somma dei due numeri usciti) scommettete? Perché? Mettiamoci le mani! Gli studenti esplorano il pb: effettuano prove, si accorgono di alcuni fatti, iniziano ad organizzarli, usano conoscenze pregresse … formulano congetture Provano a giustificare Una questione più semplice Lanciamo un dado. Qual è la probabilità che esca “ 6”? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 14

Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare dado blu un modello 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 "+" 1 2 3 4 5 6 dado nero la tabella è simmetrica … questo fatto corrisponde a qualche proprietà algebrica? il punteggio “ 7” è quello che compare più volte nella tabella la probabilità che il punteggio sia “ 7” è: Didattica probabilità e statistica PAS 2014 15

esce lo stesso numero sui due dadi il numero che esce sul dado nero è maggiore di quello sul dado blu e se estraiamo a caso due numeri, ciascuno da un sacchetto della tombola? numero caselle verdi: anche dado blu Probabilità di altri eventi dado blu Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 "+" 1 2 3 4 5 dado nero 6 6 5 7 6 8 7 9 8 10 11 12 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 "+" 1 2 3 4 5 dado nero 6 escono i numeri “ 2” e “ 5” Didattica probabilità e statistica PAS 2014 16

Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare il punteggio è un numero pari il punteggio è “ 13” dado blu il punteggio è “ 5” il punteggio è “ 9” 6 5 7 6 8 7 9 8 10 11 12 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 "+" 1 2 3 4 5 dado nero 6 p d d p "+" dado nero Dal modello: la probabilità è una misura degli insiemi Didattica probabilità e statistica PAS 2014 17

Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare Perché lo stesso punteggio su diagonali? Esempio: il “ 5”. x : = punteggio dado nero y : = punteggio dado blu punteggio totale = 5 y x+y=5 o y=-x+5 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 "+" 1 2 3 4 5 6 x Didattica probabilità e statistica PAS 2014 18

Valutazioni di probabilità – Consolidamento Alcuni esempi eventualmente assegnati per il lavoro autonomo Esercizi dai testi in adozione (tra poco) dadi, monete, carte, urna, roulette, Lotto … ma poi non solo giochi! - sperimentare e manipolare oggetti - modellizzare: tabelle, elenchi, grafi ad albero, schemi … - valutare i risultati numerici La Lotteria Italia 2014 ha venduto 7, 7 milioni di biglietti. Ogni biglietto costa 5 €. Il primo premio consiste in 5. 000 €. - Qual è la probabilità di vincere il primo premio, comprando un solo biglietto? - Per quanto tempo dovrei comprare un biglietto al giorno, per essere sicuro di vincere il primo premio (ossia comprando tutti i biglietti)? [> 20. 000 anni] - Quanto spenderei in totale? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 19

Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima Il Gratta e Vinci Miliardiario La probabilità di vincere 500 milioni è Disponiamo 100. 800. 000 schedine una di seguito all’altra. La fila è lunga 15 cm x 100. 800. 000 = 15. 120 km “E’ come pescare uno dei 20 fogli vincenti tra tutti quelli che formano il percorso. ” http: //www. iene. mediaset. it/puntate/2014/03/26/toffa-gioco-d%E 2%80%99 azzardo-le-probabilita-di-vincere_8480. shtml Come lo trasformereste in un esercizio per gli studenti? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 20

Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima Il Super. Enalotto La probabilità di vincere il primo premio è Quanto è “piccolo” tale numero? Un’attività. http: //www. youtube. com/watch? v=SOB_4 Pyhp. N 8 dal minuto 16. 06 al minuto 22. 21 Quali accorgimenti didattici sono stati utilizzati nel video? Didattica probabilità e statistica PAS 2014 21

Valutazioni di probabilità – Equiprobabilità Attività. Lanciamo in l’alto questa gomma. Su quale faccia scommettete che ricada a terra? astragalo e giochi dell’antichità Le facce non hanno la stessa probabilità di uscita Equiprobabilità: da simmetria, densità, omogeneità … è comunque un nostro giudizio Didattica probabilità e statistica PAS 2014 22

Valutazioni di probabilità – Dipendono solo dall’evento? Attività. Da questo mazzo di 40 carte estraggo una carta. Qual è la probabilità che la carta sia un asso? Proviamo ma ho tolto gli assi! La mia valutazione di probabilità dipende dalle informazioni che ho sull’esperimento - Intolleranza al lattosio. Invito a cena una persona. Qual è la probabilità che sia intollerante al lattosio? Vediamo dei dati. Il vostro giudizio di probabilità ora è cambiato? - L’insider trading è reato Didattica probabilità e statistica PAS 2014 23

Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Diremo che l’evento è impossibile se la sua probabilità è 0. Diremo che l’evento è certo se la sua probabilità è 1. Un modo di valutare la probabilità (schema classico): la probabilità di un evento è data da dove c è il numero dei casi in cui esso si verifica (casi favorevoli), n è il numero dei casi che possono accadere (casi possibili). Stiamo assumendo che tali casi siano tutti “ugualmente possibili” tra loro. Didattica probabilità e statistica PAS 2014 24

Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto Più precisamente Abbiamo considerato degli eventi (affermazioni sull’esperimento) E a ciascuno di essi abbiamo associato un numero, la probabilità. La probabilità è una funzione dalla famiglia degli eventi nell’intervallo [0, 1]. Allora, se indichiamo con p una funzione di tale tipo, la probabilità di un evento E si denota con p(E). Didattica probabilità e statistica PAS 2014 25

Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture • Esercizi sui concetti a) “Mario ha due figli e almeno uno di essi è maschio” b) “Mario ha due figli e il maggiore di essi è maschio” Qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio? a) casi possibili: MM MF FM; probabilità 1/3 b) casi possibili: MM MF; probabilità 1/2 Assumiamo equiprobabili : “nasce un maschio”, “nasce una femmina”. Dalla genetica: il sesso di un figlio è indipendente da quello degli altri. • Letture: genetica, casi giudiziari, storia (viste in Motivazioni) eventualmente esposizione ai compagni • Esercizi relativi alla genetica Didattica probabilità e statistica PAS 2014 26

Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture Il gioco della zara Si gioca con tre dadi. A turno, ogni giocatore chiama un numero compreso tra 3 e 18 e poi lancia i dadi. Vince chi per primo ottiene come punteggio il numero chiamato. - Su quale valore della somma scommettete? - Perché si escludono i punteggi dal 3 al 7 e dal 14 al 18? Se troppo difficile, “repetere le volte” … con il foglio elettronico Didattica probabilità e statistica PAS 2014 27