Probabilit Un percorso didattico La probabilit alla prova

Probabilità. Un percorso didattico La probabilità alla prova: esperimenti e simulazioni L. Cappello Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 27 marzo 2015 1

Simulazioni con il foglio elettronico – per … - costruire significati di oggetti matematici e risultati teorici comprendere “cosa succede nella pratica” superare misconcetti - esplorare in prima persona non è un racconto - effettuare “molte” prove di un dato esperimento in modo da osservare fatti significativi - curare la progettazione e la formalizzazione esigenze concrete del software, non del docente Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 2

Simulazioni con il foglio elettronico – ma attenzione … - interpretare gli esiti delle prove in modo corretto ma adeguato al livello della classe - integrare “teoria” e simulazioni non contrapporre approccio classico e frequentista - il calcolatore non genera numeri casuali però le sequenze prodotte si comportano (quasi) come se lo fossero - controllare i risultati e operare consapevolmente - non eliminare la manipolazione di oggetti le simulazioni sono delle rappresentazioni, non la realtà Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 3

Simulazioni – lanci di due dadi riprendiamo il problema guida relativo al lancio di due dadi Cosa si può prevedere sugli esiti dei lanci? Proviamo! esaminiamo le frequenze …. relative serve effettuare “molti” lanci elettronico foglio Come gestireste l’attività in laboratorio? Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 4

Simulazioni – lanci di due dadi Attività. Lanci di due dadi – base traccia di lavoro realizzazione Attività. Lanci di due dadi – approfondimento traccia di lavoro file predisposto per studenti realizzazione gli studenti tengono traccia scritta delle loro risposte Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 5

Simulazioni – lanci di un dado più semplice eventualmente attività da svolgere in modo autonomo Attività. Lanci di un dado traccia lavoro: analoga ad attività lanci di due dadi realizzazione base realizzazione avanzata (VBA) Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 6

Simulazioni – giochiamo alla zara più articolato gli studenti eventualmente possono lavorare sul file predisposto dal docente Attività. Lanci di tre dadi • traccia di lavoro: conviene puntare sul “ 9” o sul “ 10”? ricerca per tentativi oppure verifica del risultato trovato per via teorica • realizzazione base nella modalità “ricerca” non dovrà comparire la colonna delle stime a priori • realizzazione avanzata Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 7

Simulazioni – una conclusione: le differenze gli studenti discutono le loro congetture; il docente precisa … tra frequenza relativa e stima a priori, in modulo Le differenze d numero prove - al crescere di n non sempre decrescono - se n è “grande” è “molto” probabile che siano “piccole” un po’ più precisamente al crescere di n è sempre più probabile che si “avvicinino” a 0 Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 8

Simulazioni: – unaconclusione: conclusione le (insegnante) differenze tra frequenza e frequenza teorica, in modulo Le differenze D al crescere di n non sempre decrescono anzi se n è “grande” è “molto” probabile che siano “grandi” [“grandi” dell’ordine della radice di n] Gli esiti delle simulazioni non costituiscono una dimostrazione! (sono sequenze specifiche e finite) Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 9

Simulazioni – una conclusione: le frequenze relative Non possiamo prevedere quale punteggio uscirà al prossimo lancio. Però possiamo affermare qualcosa sugli esiti di “molti” lanci. Al crescere del numero di prove è sempre più probabile che la frequenza relativa di un evento si “avvicini” al valore di probabilità dell’evento. … è probabile, ma non è certo che questo accada (es: è teoricamente possibile l’uscita del punteggio “ 12” tutte le volte ). 0. 22222 0. 19444 0. 16667 0. 13889 frequenza 0. 11111 relativa 0. 08333 esito "7" esito "4" 0. 05556 0. 02778 1 22 43 64 85 106 127 148 169 190 211 232 253 274 295 316 337 358 379 400 421 442 463 484 505 526 547 568 589 0. 00000 numero lancio due dadi: frequenze relative Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 10

Simulazioni, Simulazioni: esperimenti una conclusione – facciamo (insegnante) il punto Più in generale, fissiamo un esperimento ed un evento ad esso relativo. Consideriamo prove ripetute dell’esperimento, indipendenti e condotte nelle “stesse” condizioni. Allora per le frequenze relative dell’evento vale il risultato prima indicato nel caso del lancio di due dadi. Esprime la sostanza della Legge dei grandi numeri, in un caso notevole. E’ una legge teorica e si può dimostrare. E’ verificata dall’esperienza (“Legge” empirica del caso). Ciò che è più probabile in teoria, si realizza più spesso anche nella pratica. Un altro modo di valutare la probabilità (schema frequentista): la probabilità di un evento è data dalla frequenza relativa di tale evento, osservata su un “grande” numero di prove. Assumiamo che le prove avvengano nelle “stesse” condizioni. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 11 Riferimento per studenti

Simulazioni, esperimenti – facciamo il punto Consideriamo ora le frequenze assolute. Seguono lo stesso andamento delle frequenze relative? Le frequenze di un evento E, al crescere del numero n di prove, non tendono ad “avvicinarsi” alla frequenza teorica p(E)∙n. Anzi. Esempio tipico. Lanci di un dado, il numero “ 2” è uscito 110 volte su 600 lanci 1. 045 volte su 6. 000 lanci 9. 908 volte su 60. 000 lanci | frequenza – valore teorico |= 10 | frequenza – valore teorico |= 45 | frequenza – valore teorico |= 92 Non c’è stato “recupero”. Anzi, gli scostamenti dalle frequenze teoriche sono aumentati. … la formalizzazione segue le attività esplorative … Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 12

Simulazioni, esperimenti – un approccio grafico Attività. Andamento delle frequenze relative ed assolute Ora ricorriamo ad una (diversa) rappresentazione grafica. Consideriamo l’esperimento del lancio di una moneta. utilizziamo più forme di rappresentazione e passiamo da una all’altra Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 13

Simulazioni, esperimenti – un approccio grafico L’idea • effettuiamo più sequenze di lanci di una moneta (costituite da 4, 9, 16, … lanci) • ogni sequenza di lanci ogni lancio • esce “testa” esce “croce” quadrato quadratino in blu quadratino in arancione nell’esempio: 9 lanci, 5 teste Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 14

Simulazioni, esperimenti – un approccio grafico Alcune sequenze di esiti 4 lanci 3 teste 100 lanci 47 teste Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 9 lanci 5 teste 400 lanci 194 teste 15

Simulazioni, esperimenti – un approccio grafico L’interpretazione • Al crescere del numero di lanci … l’area degli insiemi blu si “avvicina” a 1/2 dell’area del quadrato il numero di quadratini blu si “allontana” dalla metà del numero di quadratini in cui è stato suddiviso il quadrato • L’area rappresenta la frequenza relativa Il numero di quadratini rappresenta la frequenza assoluta • Dunque, nella situazione in esame, cosa possiamo affermare sull’andamento delle frequenze relative? E su quello delle frequenze assolute? http: //risorsedocentipon. indire. it/offerta_formativa/f/index. php? action=copertina_percorso&lms_id=243&id_ambiente= 167 Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15

Non solo prove … – un’analisi teorica Attività. Scostamento tra frequenza relativa e probabilità Consideriamo l’esperimento del lancio di una moneta. Al crescere del numero n dei lanci, cosa si può dire sullo scostamento della frequenza relativa di T, fr(T), dalla probabilità di T? a) Al crescere di n, qual è la probabilità che | fr(T) - 1/2| ≤ 1/10 ? b) E’ vero che, al crescere di n (pari) è sempre più probabile che fr(T) = 1/2 ? Ossia che il numero di T sia uguale al numero di C. Per n = 2, 3, 4 gli studenti effettuano il calcolo (da grafo ad albero). Per n > 4 utilizzano una tabella predisposta dal docente. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 17

Non solo prove … – un’analisi teorica a) la probabilità che lo scostamento sia ≤ 0, 1 è “molto grande” per n “grande” su 1000 lanci possiamo aspettarci un numero di T tra 400 e 600 (la probabilità è 0, 999998…) b) la probabilità che il numero di T sia uguale al numero di C diventa sempre più “piccola” al crescere di n (pari) ossia è sempre meno probabile che frequenza relativa e probabilità coincidano Per quali motivi? a) i modi di “passare nella zona centrale” del grafo sono molti, quelli per i bordi sono pochi … b)- la probabilità di ottenere prima n/2 Teste e poi n/2 Croci è - la probabilità di ottenere n/2 Teste in un ordine qualsiasi è. . . possiamo accontentarci di calcolare tale espressione per alcuni n, ed esaminare l’andamento di tali valori al crescere di n. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 18

Simulazioni, Simulazioni: esperimenti una conclusione – il docente (insegnante) Legge dei grandi numeri: la legge delle medie Sia una successione di variabili aleatorie indipendenti, che hanno la stessa distribuzione. Sia µ il loro valore medio comune. Detta (media del campione), vale (legge debole) Ossia la media campionaria converge in probabilità alla media comune. In realtà, si ha una convergenza più forte: (legge forte) La media campionaria converge alla media comune con probabilità 1. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 19

Simulazioni, Simulazioni: esperimenti una conclusione – il docente (insegnante) Un caso notevole: il processo di Bernoulli rappresentano un processo di Bernoulli, allora Nel caso in cui le v. a. è la frequenza relativa dei successi è la probabilità di successo nella singola prova. In questo caso il teorema afferma che (formulazione debole) (formulazione forte) tinued n o c e b would e to r d e l r w o s w t all even g in the even in f n o i h n t o y i r t observa ernity […], eve s […], so that f i ] … [ would “ o t i e e t l a w l r a s e d t ou fixe ccurenc …]” o s through to happen in u o t i ity [ fortu s d s e e d v c i n e e a c n l r pe certain cidenta c a a ] t s … o [ e the m ecogniz r o t d be boun Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 20

Esperimenti Simulazioni: – lanci una conclusione di dadi (insegnante) Cosa succede quando lanciamo materialmente un dado? Lanci di un dado in classe. Gli esiti: … 16∙ 6∙ 7 - 3 = 669 lanci. E’ equivalente a ripetere l’esperimento 669 volte. Le frequenze Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 21

Esperimenti Simulazioni: – lanci una conclusione di monete (insegnante) E cosa succede se lanciamo una moneta? Un’attività analoga a quella dei lanci del dado. Possono bastare 300 lanci … probabilmente, per osservare fatti significativi sull’andamento delle frequenze. Quale delle due monete è truccata? Gli studenti provano a scoprirlo analizzando gli esiti delle prove. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 22

Esperimenti Simulazioni: – test una di conclusione ipotesi (insegnante) effettuiamo prove ripetute per sondare la validità di una congettura L’errore di D’Alembert Nel lancio di 2 monete consideriamo i tre esiti: “due teste”, “una testa e una croce”, “due croci”. Sono equiprobabili? Proviamo! … ma poi investighiamo il significato di “una testa e una croce” Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15

Esperimenti Simulazioni: – test una di conclusione ipotesi (insegnante) Il gioco della zara Conviene puntare sul “ 9” o sul “ 10”? “… la lunga osservazione ha fatto dai giocatori stimarsi più vantaggiosi il 10 che il 9…” G. Galilei la differenza tra le due probabilità è minore dell’ 1%! un riferimento per l’approccio teorico (da pag. 11) Proviamo … con il foglio elettronico! Gli esiti delle prove non forniscono una conclusione certa. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15

Esperimenti Simulazioni: – un unaproblema conclusione “inverso” (insegnante) Attività. Ricostruiamo la composizione dell’urna • Il docente mette in un sacchetto delle biglie uguali, alcune blu altre nere. Comunica solo il numero totale delle biglie. • Agli studenti è consentito solo di estrarre una biglia alla volta e poi di reinserirla nel sacchetto (… dopo averne registrato il colore). Quante biglie blu prevedete ci siano nel sacchetto? ricorrere alle frequenze relative Varianti. Distribuire più sacchetti uguali e unire i risultati dei gruppi. Simulare le estrazioni al calcolatore. Interpretare gli esiti è delicato. Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 25

Esperimenti Simulazioni: - non unasolo conclusione prove ripetute (insegnante) … consideriamo anche rilevazioni statistiche: alcuni esercizi … evitare il “compromesso delle risposte corrette” (H. Gardner) Laboratorio di didattica della probabilità TFA A 049 a. a. 2014/15 26