PROBABILIDADES CALCULO COMBINATORIO n Se desarrolla algunos mtodos

PROBABILIDADES

CALCULO COMBINATORIO n Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR n PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. n TEOREMA. n Una 1ª decisión se puede tomar de m manera n Una 2ª decisión es tomada de n maneras n Entonces el número de maneras de tomar ambas decisiones es igual a m x n

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN n Ejemplo. - Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas. n n n Biblioteca Mantenimiento Personal n Solución: Tenemos 2 conjuntos n Universidades (cuatro) n Empleado (tres) n Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades. n m * n = 4 3 = 12 n posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12 oportunidades disponibles de empleo

PRINCIPIOS DE ADICIÓN. n TEOREMA. - Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.

PRINCIPIOS DE ADICIÓN n Ejemplo. - Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje? n n 1 + n 2 = 5 + 6 = 11 formas posibles

PERMUTACIONES SIMPLES. n TEOREMA. - El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula: Pn = n! = n (n - 1) (n - 2). . . . 3 * 2 * 1

PERMUTACIONES SIMPLES. n Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila? n Solución: n P 6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN TEOREMA. Sean k 1, k 2, . . . . km números enteros positivos tal que k 1 + k 2 +. . . + km =n n El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k 1 elementos, el segundo k 2 elementos, etc. , se obtiene mediante la siguiente fórmula:

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN n k 1, k 2, . . . . km n Pn = n k 1! * k 2! *. . . . * km!

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN n Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER? n Solución: n n = 6 letras n k 1 = n 1 = 3 letras M n k 2 = n 2 = 2 letras E n k 3 = n 3 = 1 letra R n 3*2*1 n P 6 = 6! = 60 3! 2! 1! n 60 permutaciones distintas de las Letras

COMBINACIONES. n TEOREMA. - El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente. n C k = n! k! (n – k!)

COMBINACIONES n Ejemplo: El numero de combinaciones de las letras a, b, c tomadas de dos en dos es: n 3 n C = 3! = 1*2*3 = 3 n 2 2! 1! 2*1

conceptos n EXPERIMENTO. - Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico. n EXPERIMENTO DETERMINISTICO. - Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.

conceptos n EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO. Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento. n Ejemplo: n n El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería de Sistemas (Determinístico) n Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior (Aleatorio).

conceptos n ESPACIO MUESTRAL. - Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S). n En particular S y (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a evento imposible.

Conceptos n Ejemplo: Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es: n S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n Para este experimento podemos definir los siguientes eventos: n A : Observar un número impar. Entonces A = 1, 3, 5 n B : Observar un número múltiplo de 2 6 n C : Observar un número menor que 4 3 B = 2, 4, C = 1, 2,

OPERACIONES CON EVENTOS n Usando las operaciones conjuntos, podemos formar nuevos eventos. n Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.

UNION DE EVENTOS. - A B AUB

UNION DE EVENTOS n Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado n n n n y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: A : Observar un número impar B : Observar un número mayor o igual a 4 Listar los elementos del evento A U B Solución: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 1, 3, 5 B = 4, 5, 6 A U B = 1, 3, 4, 5, 6

INTERSECCIÓN DE EVENTOS n A ∩B A B

INTERSECCIÓN DE EVENTOS n Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: n A : Observar un número mayor que 3 n B : Observar un número par n Listar los elementos del evento A ∩ B n S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n A = 4, 5, 6 n B = 2, 4, 6 n A ∩ B = 4, 6

DIFERENCIA DE EVENTOS n. A–B A B

DIFERENCIA DE EVENTOS n Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos: n A : Observar por lo menos una vez cara n B : Observar por lo menos dos veces cara n Listar los elementos del evento A – B n n S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc B = ccc, ccs, csc, scc A – B = css, scs, ssc

COMPLEMENTO DE UN EVENTO n A 1 A

COMPLEMENTO DE UN EVENTO n Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: n A : Observar los números pares n Listar los elementos del evento A 1 = S – A n S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n A = 2, 4, 6 n A 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5 n

Antecedentes n En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar: § Arrojar dados § Girar ruletas § Barajar cartas n Definición. § Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. n Existen: § Probabilidad a Priori (clásica) § Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)

Probabilidad a “priori” Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades. p(E) = h/n

Probabilidad a “priori” n Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro. * ** *** n n=6 y h=1 n P(E)= h/n P(E)= 1/6

Probabilidad a “posteriori” n Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia. n Ejemplo: n Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0. 5

PROBABILIDAD CONDICIONAL n Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida: n Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

PROBABILIDAD CONDICIONAL n Donde: n P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A. n P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B n P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

PROBABILIDAD CONDICIONAL n Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Ejemplo n P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 n n n (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A). P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. Por lo tanto: P (B ^A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3