PROBABILIDADE Prof Juliana Schivani PROBABILIDADE PROF JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Profª Juliana Schivani
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Experimento aleatório É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis. Ex’s: lançamento de um dado, de uma moeda, loteria de números, extração de uma carta de baralho, . . . PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Espaço amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denominamos por S ou Ω. Ex’s: No lançamento de um dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } No lançamento de uma moeda, Ω = {cara, coroa} PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Evento É todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. Ex’s: No lançamento de um dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Sair um número menor que 4 é um evento representado pelo subconjunto {1, 2, 3} PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Evento MUITO POUCO IMPOSSÍVEL SIMPLES CERTO PROVÁVE PROVÁV Evento = Ω ф unitário L EL Obter um número menor que 7 → EVENTO CERTO Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = evento Obter o número zero → EVENTO IMPOSSÍVEL Obter um número maior que 5 → EVENTO SIMPLES {6} = evento PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE São as chances de um ou mais eventos ocorrerem ou não. INDEPENDE NTE COMPLEME COMPOS CONDICIONA NTAR TA DA UNIÃO INTERSEC ÇÃO PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Seja um evento A de espaço amostral S (não vazio e finito). A probabilidade de ocorrer o evento A é: 0 ≤ P(A) ≤ 1 0% ≤ P(A) ≤ 100% n (A) P (A) = n (S) Todos os casos possíveis. PROBABILIDADE Todos os casos favoráveis, isto é, os queremos que aconteça. PROFª JULIANA SCHIVANI
Quantos cartões da Mega Sena (60 números) com 6 marcações cada, podemos fazer? 1, 2, 3, 4, 5, 6 2, 1 = 6, 5, 4, 3, A ordem não é C 60, 6 = importante!!! 60! = 60! 6! (60 – 6)! 6! · 54! = 50. 063. 860 possibilidades de cartões com 6 números PROBABILIDADE Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROFª JULIANA SCHIVANI
Fazendo uma aposta simples com 6 números, qual a probabilidade de você ser sorteado? 1, 2, 3, 4, 5, 6 2, 1 P = = 6, 5, 4, 3, A ordem não é 1 importante!!! 50. 063. 860 = 1, 99 · 10 -8 = 0, 00000199% PROBABILIDADE Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROFª JULIANA SCHIVANI
A prova antiga da UFRN continham 15 questões onde cada uma apresentava 4 alternativas. Quantas eram as possibilidades de gabaritos? Qual a probabilidade do aluno acertar “no chute” as 15 questões? PROBABILIDADE Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROFª JULIANA SCHIVANI
É mais fácil acertar com um jogo simples da MEGA SENA ou acertar “no chute” as 15 questões antigas da UFRN? PROBABILIDADE Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Lídia, a procura de emprego, foi selecionada por duas indústrias que estavam localizadas de lados opostos em relação a sua residência. Como não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabilidade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para esquerda. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Na estação ferroviária, foi informado de que os trens para direita passavam nos horários 0 h 10, 0 h 40, 1 h 10, 1 h 40, 2 h 10, . . . , 23 h 40, enquanto que os trens para esquerda passavam nos horários 0 h 00, 0 h 30, 1 h 00, 1 h 30, 2 h 00, . . . , 23 h 30, diariamente, de domingo a domingo. Que emprego Lídia escolheu? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE D: 0 h 10, 0 h 40, 1 h 10, 1 h 40, 2 h 10, . . . , 23 h 40 E: 0 h 00, 0 h 30, 1 h 00, 1 h 30, 2 h 00, . . . , 23 h 30 Durante meia hora, o intervalo de tempo para pegar o trem da DIREITA é de 10 minutos em 30 minutos e o da ESQUERDA de 20 minutos em 30 minutos. Ø Ø Entre 1 h 10 min: trem da DIREITA Entre 1 h 10 min e 1 h 30 in: trem da ESQUERDA Entre 1 h 30 min e 1 h 40 min: trem da DIREITA Dos 1 h 40 min e 2 h: trem da ESQUERDA PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE D: 0 h 10, 0 h 40, 1 h 10, 1 h 40, 2 h 10, . . . , 23 h 40 E: 0 h 00, 0 h 30, 1 h 00, 1 h 30, 2 h 00, . . . , 23 h 30 10 = 0, 33 = 33% P (D) = 30 20 P (E) = = 0, 66 = 66% 30 PROBABILIDADE Há o dobro de chances dele ser bem sucedido se escolher a indústria da esquerda. A cada hora tem-se 20 min a favor do trem da DIREITA e 40 min para o da ESQUERDA. PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR Pc é a probabilidade de NÃO ocorrer um evento. Casos favoráveis P (Ac) = n (S) – n(A) n (S) n (A) = = 1 – P(A) n (S) Todos os casos possíveis PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR Ex. : No lançamento simultâneo de dois dados, qual é a probabilidade de não sair soma 4? 6 1 3 3 1 2 2 PROBABILIDADE 6 = 36 resultados possíveis Probabilidade de sair soma 4 é: 3/36 = 1/12 = 0, 08 = 8%. A probabilidade de não sair soma 4 é: 1 – 1/12 = 11/12 = 0, 92 = 92%. PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR Ex. : Em um grupo de 30 pessoas, qual a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário na mesma data (dia e mês)? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
EVENTOS INDEPENDENTES Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B. Numa caixa há 4 bolas pretas e 6 vermelhas. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola preta e uma vermelha, com reposição? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
EVENTOS INDEPENDENTES Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B. 4 6 4 P 6 V PROBABILIDADE 4 10 . 24 possibilidades de 100 possíveis, portanto, P(A∩B) = 24/100 = 24% 6 = 24/100 = 24% 10 PROFª JULIANA SCHIVANI
EVENTOS INDEPENDENTES Quando dois eventos A e B são independentes, a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, assim, temos: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
EVENTOS INDEPENDENTES A probabilidade de Breno ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Rubens é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? B: Breno é aprovado e R: Rubens é aprovado Como a aprovação de um não influencia na aprovação do outro (considerando que eles não irão colar), então os eventos B e R são independente. Logo: P(B R) = P(B) · P(R) = 1/3 · 2/3 = 2/9 = 0, 22 = 22 % PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
UNIÃO DE EVENTOS Espaço amostral: s S = {1, 2, . . . , 20}, B A. 3 n(S) = 20. 4. 1. 6 Conj. dos divisores de 16: . 8. 2. 9. 16 A = {1, 2, 4, 8, 16}, . 18 n(A) = 5. 10. 11. 12. 13. 14. 15 Conj. dos divisores de 18: B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, n(B) = 6. 5. 20. 17. 19. 7 PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
UNIÃO DE EVENTOS s Divisores de 16 e 18: A ∩ B = {1, 2}, n(A ∩ B) = 2 . 5. 20. 17. 19. 7 A . 4. 8. 16 . 1. 2 . 3. 6. 9. 18 B Divisores de 16 ou 18: AUB={1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 9, 18} . 10. 11. 12. 13. 14. 15 n(A U B) = 9 = 6 + 5 – 2 n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
UNIÃO DE EVENTOS n (A) P (A) = n (S) n (B) P (B) = n (S) PROBABILIDADE n (A ∩ B) P (A ∩ B) = n (S) n (A U B) P (A U B) = n (S) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) PROFª JULIANA SCHIVANI
UNIÃO DE EVENTOS P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Se A e B forem eventos disjuntos, disjuntos então: P(A B) = P(A) + P(B) PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
UNIÃO DE EVENTOS Ex. : Em uma comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios do clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser sócia de A ou de B? P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A U B) = 400/1000 + 300/1000 – 200/1000 P(A U B) = 4/10 + 3/10 – 2/10 P(A U B) = 5/10 = 1/2 = 0, 5 = 50% PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL É usado quando um experimento aleatório é repetido n vezes e desejamos calcular a probabilidade de um evento ocorrer em k repetições. Cansado, Sandro decide “chutar” as 8 últimas questões da prova de Matemática. Cada questão continha 5 alternativas, das quais, apenas uma estava correta. Qual a probabilidade de Sandro acertar 5 questões? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL REPETIÇÃO → CHUTE Probabilidade de acerto = P(A) = 1/5 Probabilidade de erro = P(Ac) = 1 – 1/5 = 4/5 Probabilidade de ocorrer 5 acertos e 3 erros: A A Ac Ac Ac q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 P = 1 · 1 · 1 · 4 · 4 5 PROBABILIDADE 5 5 5 5 PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL c c c AAAAAA A A 5 P = 1 · 1 · 1 · 4 · 4 = 1 · 4 5 5 5 5 5 3 64 = 390 625 Perceba que os eventos são independentes, ou seja, a probabilidade de acertar ou errar uma questão não depende do acerto ou erro das outras. Logo, vale a equação: P(A∩B) = P(A) · P(B) PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL c c c AAAAAA A A 5 4 1 · = 5 5 3 64 = 390 625 As respostas das questões podem ocorrer em várias outras ordens, embora a probabilidade continue a mesma (pois será a mesma quantidade de questões certas e erradas). Então, quantas ordens de respostas são possíveis? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL c c c AAAAAA A A 5 4 1 · = 5 5 3 64 = 390 625 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Não estamos querendo saber o total de combinações possíveis de respostas (ABCDEABC), mas sim, o total de combinações possíveis de 5 respostas certas (A) e 3 erradas (Ac). PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Portanto, a probabilidade de Sandro acertar 5 questões é: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Se um experimento aleatório é repetido t vezes, em condições idênticas, com todas as repetições independentes entre si, a probabilidade do evento ocorrer s vezes (0 ≤ s ≤ t) é: Total de combinaç ões possíveis PROBABILIDADE Prob. do evento ocorrer em qualquer das s repetições Prob. do evento NÃO ocorrer em qualquer das restantes t – s repetições PROFª JULIANA SCHIVANI
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A probabilidade de um atirador acertar um alvo com um tiro é 60%. Fazendo 7 tentativas, qual é a probabilidade de acertar o alvo três vezes? n = 7 -> total de repetições Evento E = {A, A, A, Ac, Ac) -> acertar 3 e errar 4 P = 0, 6 -> probabilidade de acertar com 1 tiro 1 – P = 0, 4 -> probabilidade de errar com 1 tiro Probabilidade de acertar 3 vezes é: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
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“Você é um participante de um programa de auditório, e o apresentador mostra a você três portas fechadas. Ele diz que atrás de uma das portas está um carro, e atrás das outras duas há apenas cabras. Se você escolher a porta certa, ganha o carro – caso contrário levará apenas uma cabra. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Você escolhe uma das portas. O apresentador, então, sem abrir a porta que você escolheu, dirige-se para uma das outras duas portas que sobraram. Como ele sabe em qual das três portas está o carro, ele então abre uma das duas portas que você não tinha escolhido – exatamente uma porta que escondia uma cabra. Restaram então apenas duas portas fechadas: aquela que você tinha escolhido, e uma outra que não foi aberta pelo apresentador. Atrás de uma delas está o carro. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
O apresentador então pergunta se você quer manter a escolha original ou se quer, agora, trocar de porta, escolhendo a outra que ele não abriu e que pode conter o carro. O que você deve fazer: 1 – Manter a escolha original, ou 2 – Trocar de porta ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Abandone sua escolha original e fique com a outra porta que sobrou. Se fizer isso, sua chance de ganhar o carro será de 67%. Se mantiver a escolha original, sua chance será de apenas 33%. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
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PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S. A probabilidade de A dado B, é a probabilidade de ocorrer o evento A, quando o evento B ocorreu. Em outras palavras, é a probabilidade de algo acontecer dado uma condição de ocorrência, fazendo com que o espaço amostral se reduza. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA fretado por uma Um avião operadora turística de DF parte de Brasília até Natal/RN, com 140 passageiros. Durante o voo, cada turista respondeu a duas perguntas: 1 – Já voo antes? 2 – Já esteve em Natal? Os dados obtidos com as respostas encontram-se na tabela ao lado. PROBABILIDADE 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia 83 22 105 Já conhecia 23 12 35 ∑ 106 34 140 PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Um passageiro. CONDICIONADA é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião. Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? P (Já conhecer | 1ª vez de avião) = total já conhecer e voam pela 1ª vez total que voam pela 1ª vez PROBABILIDADE 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia 83 22 105 Já conhecia 23 12 35 ∑ 106 34 140 PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Um passageiro. CONDICIONADA é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião. Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? P (A|B) = PROBABILIDADE 23 106 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia 83 22 105 Já conhecia 23 12 35 ∑ 106 34 140 PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Probabilidade de A, dado B. A e B são eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Observando a tabela, qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? Sexo Alfabetizada Total Sim Não Masc. 39. 577 8. 672 48. 249 Fem. 46. 304 7. 297 56. 601 Total 85. 881 15. 969 101. 850 temos P(S | M) = 39. 577 / 48. 249 = 0, 82. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, qual a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0, 4 D = (D∩A) U (D ∩B) P(B) = 60% = 0, 6 P(D) = P (D∩A) + P(D ∩B) P(D|A) = 2% = 0, 02 P(D) = P(D|A) · P(A) + P(D|B) · P(B) P(D|B) = 3% = 0, 03 P(D) = 0, 02 · 0, 4 + 0, 03 · 0, 6 = 0, 026 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0, 4 P(B) = 60% = 0, 6 P (A∩D) = P (D∩A) = P(D|A) · P(A) P(D|A) = 2% = 0, 02 P (A∩D) = 0, 02 · 0, 4 = 0, 008 P(D|B) = 3% = 0, 03 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0, 4 P(B) = 60% = 0, 6 P (A|D) = 0, 308 = 30, 8 % P(D|A) = 2% = 0, 02 P(D|B) = 3% = 0, 03 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
RESUMÃO Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: A: Sair um número par B: Sair um número maior que 3 C: Sair um número par e maior que 3 D: Sair um número par ou maior que 3 E: Sair um número par e ímpar F: Sair o número 2 G: Não sair o número 2 H: Ser maior que 3, de modo que seja par. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
RESUMÃO Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: A: Sair um número par A: {2, 4, 6}; P(A) = 3/6 B: Sair um número maior que 3 B: {4, 5, 6}; P(B) = 3/6 C: Sair um número par e maior que 3 C = A∩B: {4, 6}; P(A∩B) = 2/6 D: Sair um número par ou maior que 3 D = AUB: {2, 4, 5, 6} P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
RESUMÃO Observe oque a perguntade é aum probabilidade de sair Considera lançamento dado. Calcule as nº>3 sendo que eledos sejaseguintes par, ou seja, o evento de ser n° par já probabilidades eventos: E: Sair um número par eocorreu! ímpar P(E) = ф, conj. disjuntos diferente de perguntar de sair n°>3 E par, pois F: É Sair o número 2 P(F)a=probab. 1/6 aí teremos interseção de dois eventos e não uma condição. c) = 1 – P(F) = 1 – 1/6 = 1/5 G: Não sair o nº 2 P(G) = P(F P(T|P) ≠ P(T∩P). H: Ser maior que 3, de modo que seja par T: {4, 5, 6} e P: {2, 4, 6} => (T∩P): {4, 6} P(H) = P(T|P) = n(T∩P)/n(P) = 2/3 PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
Referências CENA 21 DO FILME QUEBRANDO A BANCA Disponível em: http: //www. youtube. com/watch? v=B 6 k. Ybt 4 Ly. LA IEZZI, Gelson. . . [et al. ]. Matemática: ciência e aplicações, 2. ensino médio. 6ª ed. São Paulo: saraiva, 2012. STOCCO, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática 3. São Paulo: Saraiva, 2010. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI
PROBABILIDADE Profª Juliana Schivani juliana. schivani@ifrn. edu. br docente. ifrn. edu. br/julianaschi vani
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