PROBABILIDADE para LEC Prof Luciano Giovanni e quase

PROBABILIDADE para LEC Prof. Luciano, Giovanni e quase prof. Michael 2018

Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos: 1. Resultado no lançamento de um dado; 2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 3. Condições climáticas do próximo domingo; 4. Taxa de inflação do próximo mês; 5. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso.

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0}

Eventos: subconjuntos do espaço amostral Notação: A, B, C. . . (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}

Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B= • A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B= e A B= O complementar de A é representado por Ac.

Exemplo: Lançamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} • sair uma face par e maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} • sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = • sair uma face par ou maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} • sair uma face par ou face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6} • não sair face par AC = {1, 3, 5}

Probabilidade • Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório • Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: 1. Frequências de ocorrências 2. Suposições teóricas.

Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das frequências de ocorrências. • O experimento aleatório é repetido n vezes • Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) =. . . = P(face 6) = 1/6.

No caso discreto, discreto todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: • O espaço amostral = {w 1, w 2, . . . } • A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que:

Ainda no caso discreto, • Se A é um evento, então • Se e (pontos equiprováveis), então

Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Diamantina com idade entre 20 e 24 anos. Masc. Fem. Alfabetizado Sim Não 39. 577 8. 672 46. 304 7. 297 Total 85. 881 Sexo Total 48. 249 56. 601 15. 969 101. 850 Fonte: IBGE- Censo 1991 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Diamantina.

: conjunto de 101. 850 jovens de Diamantina, com idade entre 20 e 24 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos 48. 249 = 0, 474 P(M) = 101. 850 85. 881 = = 0, 843 P(S) 101. 850 ir para a tabela 56. 601 = 0, 526 P(F) = 101. 850 15. 969 = = 0, 157 P(N) 101. 850

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino? • M S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino S S) • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino S) S

Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de . Então, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Consequências: • Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B). • Para qualquer evento A de , c P(A) = 1 - P(A ).

Exemplos Ex. : 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: = cara, coroa n( ) = 2 Evento A: A = cara n(A) = 1 Como , temos ou 0, 50 = 50%

Ex. : 2 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n( ) = 6 Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2

Ex. : 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) Pelo menos 2 caras? b) Exatamente 2 caras? C = cara K = coroa = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n( ) = 8 A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4

a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4 b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3

Ex. : 4 Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a) ímpar b) par? c) múltiplo de 6? d) múltiplo de 4? e) maior que 780? = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n( ) = 6

a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 n(A) = 4 b) Evento B: ser par B = 798, 978 n(B) = 2

c) Evento C: ser múltiplo de 6 C = 798, 978 d) Evento D: ser múltiplo de 4 D= n(D) = 0 e) Evento E: ser maior que 780 E = n(E) = 6

Exemplo 6: Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens e. . . a) ele gostar de música; b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades. c) Ele gostar de duas preferências. d) Dentre aqueles que gostam de qualquer preferência, aquele que prefere ao menos duas.

M 6 8 9 E 16 14 6 5 L 11 n( ) = 75 gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44 não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11

a) a probabilidade de gostar de música: b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades:

PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades Analogamente, se P(A) >0,

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Sexo Alfabetizada Total Sim Não Masc. 39. 577 8. 672 48. 249 Fem. 46. 304 7. 297 56. 601 Total 85. 881 15. 969 101. 850 temos P(S | M) = 39. 577 / 48. 249 = 0, 82. Pela definição, definição P(S M) = P(S | M) = P(M) 39. 577 101. 850 = 0, 82. 48. 249 101. 850

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ? ? ? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

B Resultados B BB V B BV VB VV V Total V Temos Probabilidades 1

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a bola sorteada é reposta na urna antes da 2 a extração. Nesta situação, temos B Resultados Probabilidade BB B BV V B VB VV V Total V 1

Neste caso, P(A) = P(branca na 2ª) = P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) = ou seja, o resultado na 2 a extração independe do que ocorre na 1 a extração.

Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, Temos a seguinte forma equivalente:

Exemplo: A probabilidade de Thaís ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Otto é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Thaís é aprovada B: Otto é aprovado P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9 Qual foi a suposição feita?