PROBABILIDADE O estudo da probabilidade vem da necessidade
PROBABILIDADE
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos. Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.
Experimento Aleatório Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa. Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado. A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento. Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por: S = { cara, coroa } Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento. Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir: A = { 2, 3, 5 } Note que A C S ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.
Evento Simples Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles. O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Exercício
1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? Solução: Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim: n ( E ) P ( E ) = n ( S ) 5 P ( E ) = 12 A probabilidade desta bola ser verde é 5/12
2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? n ( E ) P ( E ) = Solução: n ( S ) Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2. 2. 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: 2 P ( E ) = 8 A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 2/8, ou 0, 25, ou ainda 25%
3. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? Solução: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0, 2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0, 2, ou seja, é igual a 0, 8. A probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo: P = 0, 8 x 0, 2 = 0, 1024 ou seja 10, 24% A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10, 24%.
4. Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Qual é a probabilidade de que a carta sorteada seja um A? Solução: Como o baralho tem 13 x 4 = 52 cartas e 4 delas são ases, a probabilidade de tirar um A é 4 1 = 52 13
5. Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0, 2 e 0, 3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe? Solução: Como os componentes funcionam independentemente, os eventos A = “o primeiro dispositivo falha” e B = “o segundo dispositivo falha” são independentes. Logo, o evento A ∩ B = “ambos falham” tem probabilidade P (A ∩ B) = P (A) x P (B) = 0, 2 x 0, 3 = 0, 06 e, assim, a probabilidade de que pelo menos um não falhe é igual a 1 - 0, 06 = 0, 94.
6. Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200, 00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: Solução: A) 0 B) 1/3 O espaço amostral é composto por: C) 1/4 E = {TVE, TEV, VET, VTE, ETV, EVT} » » » n(E) = 6. D) 1/2 Seja A o evento não ganhar qualquer prêmio: E) 1/6 A = {VET, ETV} » » » n(A) = 2. n(A) R(A) = n(E) = 2 1 = 6 3
7. Em uma certa população, verificou-se que 40% das pessoas concluíram o ensino fundamental; destas, apenas 20% concluíram o ensino médio. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa dessa população, a probabilidade de que ela tenha concluído somente o ensino fundamental é: A) 40% B) 32% C) 30% Solução: D) 12% E) 8% Se, das pessoas que terminaram o fundamental, 20% concluíram também o ensino médio, então 80% daquelas não o concluíram. Para ter concluído somente o ensino fundamental, a pessoa deve tê-lo concluído e não ter concluído o médio. Assim: concluíram o fundamental e não concluíram o médio 32 40 x 80 = = 32% 100 100
8. A probabilidade de um nadador A queimar a largada em uma competição é de 18%; para o nadador B essa probabilidade é de 12%. Se os dois nadadores estão disputando uma prova, qual é a probabilidade de que ao menos um queime a largada? Solução: Probabilidade do A não queimar: 100% – 18% = 82% Probabilidade do B não queimar: 100% – 12% = 88% Probabilidade de A e B não queimarem: 82% x 88% = 72, 16% Então, a probabilidade de ao menos um queimar é: 1 – 72, 16% = 100% – 72, 16% = 27, 84%
9. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par é: a) 60% b) 70% c) 80% d) 90% e) 50% Solução: n(U) = 100 A = maior que 40 → n(A) = 60 B = ser par → n(B) = 50 P(A) = 60 3 = 100 5 50 1 = P(B) = 100 2 n(A ∩ B) = 30 . . existem 60 números maiores que 40 e a metade deles, 30, são pares, então. . . P(A ∩ B) = 30 3 = 100 10
10. Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente. Disponível em: http: //www. ipea. gov. br. Acesso em: 6 jan. 2009. De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é Solução: A) 2/17 No período dado, em 24 de cada 34 B) 5/17 atropelamentos não ocorreram mortes. Assim, C) 2/5 a probabilidade de o atropelamento escolhido D) 3/5 para investigação ter sido sem morte é. . E) 12/17 24 , ou seja, 12 34 17
11. Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de répteis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves. Disponível em: http: www. wwf. org. br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado). Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabilidade de ser uma borboleta? A) 63, 31% B) 60, 18% C) 56, 52% D) 49, 96% E) 43, 27% Solução: 263 + 122 + 93 + 1132 + 656 = 2266 1132 = 0, 4996 ou 49, 96% 2266
12. Uma pesquisa mostrou que 58% dos brasileiros acreditam que há vida fora da Terra. Qual é a probabilidade de se sortear uma pessoa que não tenha essa crença? P(ÑA) = 1 – P(A) = 1 – 0, 58 = 0, 42 Solução: 100% – 58% = 42%
13. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? Solução: Existem C 10, 2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C 3, 2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a: C 3, 2 = 3! = 3 2!(3 – 2)! 10! C 10, 2 = = 45 2!(10 – 2)! 3 1 = 45 15
14. Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários: Solução: a) Todos se acidentarem. b) Probabilidade de nenhum se b) Nenhum se acidentar. Para os acidentados temos a a) Probabilidade de todos se acidentarem. probabilidade de 1 em 30. Nesse Como o risco é de 1 em caso para os não acidentados temos a probabilidade de 29 em 30 temos que: 30. Então: 1 x 1 29 x 29 P = 30 30 30 1 24389 P = 27000 P = 0, 000037 P = 0, 9033 P = 0, 0037% P = 90, 33%
15. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela: Homens Mulheres Usaram o hospital Não usaram o hospital 100 900 150 850 Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? 100 + 150 P = 2000 Solução: P = 250 2000 P = 0, 125 P = 12, 5 %
16. Dos funcionários de uma empresa, 60% são do sexo masculino, 30% tem curso superior completo, e 20% são do sexo masculino e tem curso superior completo. Se um funcionário é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que seja do sexo masculino ou tenha curso superior completo? Solução: Considere M: masculino S: curso superior MS: Masculino e Superior P = P (M) + P (S) – P (M∩S) = P = 0, 60 + 0, 30 - 0, 20 = P = 0, 90 - 0, 20 P = 0, 70 P = 70%
17. A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0, 8, enquanto que a do outro B resolvê-la é 0, 6. Qual a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la independentemente? Solução: Note que não é pedido a probabilidade de ambos os alunos resolverem a questão e sim da questão ser respondida ou seja se um ou outro aluno responder a questão será resolvida logo, como os eventos são independentes. P(A ∩ B) = 0, 8. 0, 6 = 0, 48 e como queremos P (A U B) , temos: P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P (A U B) = 0, 8 + 0, 6 - 0, 48 = 0, 92 ou 92%
18. Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotose 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho? Solução:
Questões exploradas
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