Probabilidade e Estatstica Aula Prtica 300516 e 310516

Probabilidade e Estatística (Aula Prática - 30/05/16 e 31/05/16) Título: Distribuições de Probabilidade Discretas e Contínuas.

1 • Estatística O que é a Inferência Estatística ? É um ramo da Estatística cujo objetivo é fazer afirmações a partir de um conjunto de valores representativo (amostra) sobre um universo. Tal tipo de afirmação deve sempre vir acompanhada de uma medida de precisão sobre sua veracidade. O que é Probabilidade ? Probabilidade caracteriza um fenômeno aleatório e é um modelo para a frequência que ocorre um evento quando se tende a um número infinito de experimentos, jogadas, amostras.

1 • Estatística Conceito Clássico de Probabilidade Se há “n” possibilidades igualmente prováveis, das quais uma deve ocorrer e, destas, “s” são consideradas como um sucesso, então a probabilidade do resultado ser um sucesso é de s/n. Supõe-se que todos os eventos tenham a mesma chance de ocorrer (equiprováveis) “s” - eventos de interesse que podem ocorrer; “n” - eventos possíveis que podem ocorrer.

1 • Estatística Exemplo 1: Qual a probabilidade de se extrair um ás de baralho bem misturado de 52 cartas? Bem misturado significa “qualquer carta tem a mesma chance de ser extraída”. Como temos 4 ases em 52 cartas, vem: 4/52 = 1/13. “s” sucesso. Total de eventos de interesse: 4 ases. “n” total de possíveis retiradas: 52 cartas. Observações: Problema clássico de probabilidade, uma vez que todas as cartas tem a mesma chance de ocorrer.

1 • Estatística Exemplo 2: Qual a probabilidade de obter um 3 ou um 4 em uma jogada de um dado equilibrado? “s” = resultado de interesse = 2 (3 ou 4). “n” = resultados possíveis = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Probabilidade = 2/6 = 1/3. Observações: problema clássico de probabilidade, uma vez que o dado está “equilibrado”.

1 • Estatística Exemplo 3: Se H representa “cara” (head) e T representa “coroa” (tail), os quatro resultados possíveis de duas jogadas de uma moeda são: HH HT TH TT Admitindo resultados igualmente prováveis, qual a probabilidade de obtermos: a) zero caras: b) uma cara: c) duas caras:

1 • Estatística Exemplo 3: Se H representa “cara” (head) e T representa “coroa” (tail), os quatro resultados possíveis de duas jogadas de uma moeda são: HH HT TH TT Admitindo resultados igualmente prováveis, qual a probabilidade de obtermos: a) zero caras: s=1; n=4 => s/n=1/4 b) uma cara: s=2; n=4 => s/n=2/4=1/2 c) duas caras: s=1; n=4 => s/n=1/4

1 • Estatística Exemplo 4: Qual a probabilidade de obtermos 7 jogando duas vezes um dado? s: resultados de interesse 6 -1 / 1 -6 / 2 -5 / 5 -2 / 3 -4 / 4 -3 n: resultados possíveis 1 -1 / 1 -2 / 1 -3 / 1 -4 / 1 -5 / 1 -6 2 -1 / 2 -2 / 2 -3 / 2 -4 / 2 -5 / 2 -6 3 -1 / 3 -2 / 3 -3 / 3 -4 / 3 -5 / 3 -6 4 -1 / 4 -2 / 4 -3 / 4 -4 / 4 -5 / 4 -6 5 -1 / 5 -2 / 5 -3 / 5 -4 / 5 -5 / 5 -6 6 -1 / 6 -2 / 6 -3 / 6 -4 / 6 -5 / 6 -6 s=6 n = 36 Probabilidade = s/n = 6/36 = 1/6

1 • Estatística Limitação do Conceito Clássico A aplicabilidade é limitada. Não há tantas situações em que várias possibilidades, ou eventos, podem ser considerados como igualmente prováveis Exemplo: Probabilidade de chover amanhã. Eventos possíveis: n = 2 Eventos de interesse: s = 1 Probabilidade = ½ ? ? NÃO SE PODE AFIRMAR. Os eventos não possuem a mesma chance de ocorrer.

1 • Estatística Limitação do Conceito Clássico Outros Exemplos: Dado viciado no número 6: a probabilidade de jogar este dado e cair o número 6 será evidentemente maior que 1/6. Moeda com peso maior do lado de cara: a probabilidade de cair “cara” será evidentemente maior que ½. Em ambos os casos, não podemos simplesmente calcular a probabilidade pela relação s/n. Nestes casos e em diversos outros, a interpretação frequencial deve ser utilizada para determinar a possibilidade de ocorrência de um evento – a PROBABILIDADE.

1 • Estatística Definição Frequencial de Probabilidade A frequência relativa de ocorrência de eventos em experimentos grandes determina a probabilidade de ocorrência futura deste mesmo evento.

1 • Estatística Definição Frequencial de Probabilidade Exemplo 5 Há uma probabilidade de 0, 78 de um jato da linha Salvador-São Paulo chegar no horário, em vista do fato de que tais vôos chegam no horário em 78% das vezes Exemplo 6 Os registros de aviação de uma companhia mostram que, durante um certo tempo, 468 dentre 600 de seus jatos da linha Bagdá-Nova Iorque chegaram no horário. Qual é a a probabilidade de que um avião daquela linha chegue no horário? 468/600 = Probabilidade de 0, 78 Em ambos os casos, não podemos garantir matematicamente as ocorrências; contudo, podemos concluir com base em dados (experimentos) passados.

1 • Estatística Definição Frequencial de Probabilidade Exemplo 7 Os registros indicam que 504 dentre 813 lavadoras automáticas de pratos vendidas por grandes lojas de varejo exigiram reparos dentro da garantia de um ano. Qual a probabilidade de que uma dessas lavadoras não venham a exigir reparo dentro da garantia? Total: 813 Apresentaram Reparo = 504 Logo, 813 – 504 = 309 não apresentaram reparo. P(309)=309/813 = Probabilidade de 0, 38 ou 38%.

1 • Estatística Distribuição Binomial (Experimentos de Bernoulli) Considere as seguintes experimentos/situações práticas: - Conformidade de itens saindo da linha de produção - Tiros na mosca numa sequência de disparos contra um alvo - Respostas de pessoas à pergunta sobre se vai ou não viajar nas próximas férias O que estes experimentos têm em comum ?

1 • Distribuição Binomial Definições: A probabilidade de sucesso é p. A probabilidade de falha é (q=1 -p). n: número de repetições do experimento. X (maiúsculo): variável aleatória. x (minúsculo): valor que a variável aleatória assume.

1 • Distribuição Binomial Exemplo 8: Um sistema de segurança consiste em 4 alarmes (idênticos) de pressão alta, com probabilidade de sucesso p = 0, 8 (cada um). Qual a probabilidade de se ter exatamente 3 alarmes soando quando a pressão atingir o valor limite ?

1 • Distribuição Binomial Considerações: Podemos calcular as probabilidades de ocorrências em experimentos binomiais utilizando a distribuição binomial. Para tal, o experimento deve ser binomial, seguindo os 4 seguintes critérios: 1º) Deve comportar um número fixo de provas (n). 2º) As provas devem ser independentes: eventos independentes. 3º) Cada prova pode ter apenas dois resultados possíveis (sucesso “p” e insucesso “q”). 4º) As probabilidades permanecem constantes para cada prova.

1 • Distribuição Binomial Considerações: S e F (Sucesso ou falha): os dois resultados possíveis. p e q: probabilidades de S e F, respectivamente. P(S) = p; P(F) = q. n: número fixo de provas. x: número específico de sucessos em n provas, podendo ser qualquer inteiro entre 0 e n. P(x): probabilidade de se obter exatamente “x” sucessos em cada prova.

1 • Distribuição Binomial Exemplo 9: Dado que 10% das pessoas são canhotas, qual a probabilidade de obtermos exatamente 3 estudantes canhotos numa turma com 15 estudantes. Verifique se é um experimento binomial e identifique n, x, p e q. üNúmero fixo de provas. üIndependência: Sim. O fato de uma pessoa ser canhota ou destra não afeta a probabilidade do outro ser canhoto ou destro. üDuas categorias de resultados: canhota ou destro. üProbabilidades constantes: a probabilidade de 0, 1 canhoto permanece constante para cada um dos 15 estudantes. n=15 provas; x=3; p=0, 1 e q=0, 9

1 • Distribuição Binomial Aplicando a Fórmula:

1 • Distribuição de Poisson Distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado – TAXA. Alguns exemplos: • Usuários de computador ligados à Internet; • Clientes chegando ao caixa de um supermercado; • Acidentes com automóveis em uma determinada estrada; • Número de carros que chegam a um posto de gasolina; • Número de aviões sequestrados em um dia; • Número de falhas em componentes por unidade de tempo; • Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t; • Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida.

1 • Distribuição de Poisson A variável aleatória x é o nº de ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. Distribuição de Poisson: É a distribuição em que frequentemente é usada para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo, ou por um certo volume, ou por uma certa área.

1 • Distribuição de Poisson

1 • Distribuição de Poisson Exemplo 10: Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

1 • Distribuição Normal A distribuição normal é definida por dois parâmetros: • Média populacional ( ); • Desvio padrão populacional ( ); Esses parâmetros são indicadores populacionais.

1 • Distribuição Normal A distribuição normal padronizada (z) é exatamente a mesma que a distribuição normal, mas com a: • Média populacional convertida para zero ( = 0); • Desvio padrão convertido para 1 ( = 1).

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Tanto a distribuição normal quanto a distribuição normal padronizada: É simétrica em torno da média; A área total sob a curva vale 1 (100%). Essa conversão é necessária para que seja possível encontrar a probabilidade de qualquer variável “contínua”, em qualquer situação, sem precisar trabalhar com cálculos mais complexos.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 1. Uma comissão de avaliação de cursos superiores é composta por 4 professores, um professor das ciências exatas, um professor das ciências humanas, um professor de ciências artísticas e um professor de ciências da saúde. O Ministério da Educação deve nomear um dos professores para ser o chefe da comissão. Apenas o professor das ciências da saúde não poderá ser nomeado chefe da comissão. Qual a probabilidade do professor de ciências exatas ser nomeado chefe? a) 62%. b) 33%. c) 80%. d) 25%. e) 75%.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 1. Total de 4 professores: 1 professor das ciências exatas; 1 professor das ciências humanas; 1 professor de ciências artísticas; 1 professor de ciências da saúde (existe essa restrição no enunciado). Como temos 1 professores a ser escolhido entre 3, temos: 1/3 = 0, 33 ou 33% de chance.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 2. As distribuições discretas de probabilidade expressam os valores finitos que as variáveis podem assumir. As distribuições chamadas binomiais são distribuições que expressam uma quantidade de sucessos em n ensaios independentes. Sabendo disso, em um jogo com moedas honestas qual será a probabilidade de ter 2 caras em 6 jogadas? a) 30%. b) 80%. c) 23%. d) 75%. e) 62%.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 2. Verificando se é um experimento binomial: üNúmero fixo de provas. üIndependência: Sim. O fato de uma pessoa moeda dar cara não afeta a probabilidade da outra moeda dar coroa. üDuas categorias de resultados: cara ou coroa. üProbabilidades constantes: a probabilidade de 0, 5 cara permanece constante para cada um das 6 jogadas. n=6 jogadas; x=2 caras; p=50 ou 0, 5; q=(1 -p) = (1 - 0, 5) = 0, 5. Resposta: A probabilidade de ter 2 caras em 6 jogadas é de 23%.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 3. O Ministério da Educação, por meio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação, garante a transferência de recursos financeiros para subsidiar a alimentação escolar de todos os alunos da educação básica de escolas públicas e filantrópicas. O repasse é feito diretamente aos estados e municípios, com base no censo escolar realizado no anterior ao do atendimento. Considere que em determinada escola o bolo de laranja é preferência de, em média, 6 crianças por dia ao invés de bolo de chocolate. A probabilidade de que escolhermos 4 crianças que preferem bolo de laranja ao em vez de bolo de chocolate em um dia é de aproximadamente: a) 0, 16 b) 0, 45 c) 0, 13 d) 0, 63 e) 0, 27

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 3. Distribuição de Poisson A variável aleatória x é o nº de ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. λ = 6 preferem bolo de laranja por dia; x = 4 crianças que gostem de bolo laranja por dia; Resposta: P(x) = P(4) = 0, 13

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 4. Uma montadora de veículos construiu um minicarro de golfe que é movido a eletricidade, alimentado por uma bateria mantida sempre carregada por um módulo solar integrado ao teto. A carga manual, como ocorre com os carrinhos de golfe convencionais, também é possível. O veículo é controlado por meio de um joystick no console central, o que permite qualquer dos passageiros possa guiar o carrinho. O processo de construção segue uma distribuição normal com média de 7 horas para cada carro e desvio padrão de 2 hora. Qual é a probabilidade de o processamento durar entre 6 e 9 horas? a) 0, 387. b) 0, 965. c) 0, 765. d) 0, 533. e) 0, 212.

1 • Distribuição Normal Padronizada (z) Questão 4. Dados: Média (μ) = 7 horas. Desvio Padrão ( ) = 2 horas. Queremos calcular P(6<x<9). Para obtermos tal probabilidade precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x=6 e x=9. Z = (6 -7)/2 = -0, 5 Z = (9 -7)/2 = 1, 0 P(6 < x < 9) = P(-0, 5 < x < 1, 0) Na tabela de distribuição normal encontramos os valores para -0, 5 e 1, 0, que são respectivamente: P(-0, 5 < Z < 0)=0, 1915 P(0 < Z < 1, 0)=0, 3413 Logo, P(6 < X < 9) = P(-0, 5 < Z < 1, 0) = 0, 1915 + 0, 3413 = 0, 533 ou 53%.