Probabilidade e Estatstica Aplicadas Contabilidade II Prof Dr

Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 1

Estimação por Intervalo Capítulo 8 2

Estimação por Intervalo • Média da População: σ Conhecido • Média da População: σ Desconhecido • Como Determinar o Tamanho da Amostra • Proporção da População 3

Margem de Erro e Estimação por Intervalo • Não se pode esperar que um estimador ponto produza o valor exato do parâmetro populacional • Uma estimação por intervalo frequentemente é calculada adicionando-se e subtraindo-se uma margem de erro ao estimador ponto Estimação por ponto ± Margem de erro 4

Margem de Erro e Estimação por Intervalo • 5

Média da População: σ Conhecido • A fim de desenvolver uma estimativa intervalo de uma média da população, a margem de erro deve ser calculada utilizando: • O desvio padrão populacional σ, ou • O desvio padrão da amostra s • σ raramente é conhecido exatamente, mas muitas vezes uma boa estimativa pode ser obtida com base em dados históricos ou outras informações • São chamados de σ conhecido 6

Média da População: σ Conhecido • α /2 α/2 µ 7

Média da População: σ Conhecido α/2 Intervalo não inclui µ α/2 µ Intervalo inclui µ [------------- -------------] [------------- [----------- ----------] -------------] 8

Média da População: σ Conhecido • 9

Média da População: σ Conhecido Grau de Confiança 90% 95% 99% α α/2 0, 10 0, 05 0, 01 0, 0500 0, 0250 0, 0050 1, 645 1, 960 2, 576 10

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Tabela Normal Padrão (z) z. 0, 00. 0, 01. 0, 02. 0, 03. 0, 04. 0, 05. 0, 06. 0, 07. 0, 08. 0, 09. 1, 5 0, 9332 0, 9345 0, 9357 0, 9370 0, 9382 0, 9394 0, 9406 0, 9418 0, 9429 0, 9441 1, 6 0, 9452 0, 9463 0, 9474 0, 9484 0, 9495 0, 9505 0, 9515 0, 9525 0, 9535 0, 9545 1, 7 0, 9554 0, 9564 0, 9573 0, 9582 0, 9591 0, 9599 0, 9608 0, 9616 0, 9625 0, 9633 1, 8 0, 9641 0, 9649 0, 9656 0, 9664 0, 9671 0, 9678 0, 9686 0, 9693 0, 9699 0, 9706 11 Nós 0, 9738 olhamos 0, 9744 o complemento área 0, 9761 0, 9767 0, 9713 0, 9719 0, 9726 0, 9732 0, 9750 da 0, 9756 de cauda (1 -0, 05 = 0, 95 = 0, 0450). . 1, 9.

Média da População: σ Conhecido Amostra de tamanho adequado • Na maioria das aplicações, um tamanho de amostra de n = 30 é adequada • Se a distribuição da população é altamente enviesada ou contém outliers, uma amostra de 50 ou mais é recomendado • Se a população não é normalmente distribuída mas é aproximadamente simétrica, um tamanho de amostra tão pequeno como 15 será suficiente • Se acreditarmos que a população seja pelo menos aproximadamente normal, um tamanho de amostra de menos de 15 pode ser usado 12

Média da População: σ Conhecido D Examplo: Discount Sounds • A Discount Sounds tem 260 lojas em todo os Estados Unidos. A empresa está avaliando um local potencial para uma nova loja, com base em parte, a renda média anual dos indivíduos na área de atuação do novo local • Uma amostra de tamanho n = 36 foi obtida, a renda média da amostra é $31. 000. A população não se acredita que seja altamente desigual. O desvio padrão da população é estimada em $4. 500, e o coeficiente de confiança a ser utilizado na estimativa do intervalo é 0, 95 S 13

Média da População: σ Conhecido D S • 14

Média da População: σ Conhecido • A estimativa de intervalo de µ é $31. 000 ± $1. 470 ou $29. 530 até 32. 470 • Estamos 95% confiantes de que o intervalo contém a média da população D S 15

Média da População: σ Desconhecido • Se uma estimativa do desvio padrão da população σ não pode ser desenvolvida antes da amostragem, usamos o desvio padrão da amostra s para estimar σ • Esse é o σ desconhecido • Neste caso, a estimativa de intervalo para µ é baseado na distribuição t • (Nós vamos assumir, por agora, que a população é normalmente distribuída) 16

Distribuição t • A distribuição t é uma família de distribuições de probabilidade similares • Uma distribuição t específica depende de um parâmetro conhecido como graus de liberdade • Graus de liberdade se referem ao número de peças independentes de informação que servem para o cálculo de s • A distribuição t com mais graus de liberdade tem menor dispersão • À medida que o número de graus de liberdade aumenta, a diferença entre a distribuição t e a distribuição de probabilidade norma padrão torna-se menor 17

Distribuição t (20 graus de liberdade) Distribuição Normal Padrão Distribuição t (10 graus de liberdade) z, t 0 18

Distribuição t • Para mais de 100 graus de liberdade, o padrão de valor z normal fornece uma boa aproximação para o valor de t • O padrão dos valores normal z podem ser encontrados nos graus infinitas (∞) linha da tabela de distribuição t 19

Distribuição t Graus de Liberdade. 50 60 80 100 ∞ 0, 20. 0, 849 0, 848 0, 846 0, 845 0, 842 Área na cauda superior 0, 10 0, 05 0, 025 0, 01. . 1, 299 1, 676 2, 009 2, 403 1, 296 1, 671 2, 000 2, 390 1, 292 1, 664 1, 990 2, 374 1, 290 1, 660 1, 984 2, 364 1, 282 1, 645 1, 960 2, 326 Valores z da normal padrão 0, 005. 2, 678 2, 660 2, 639 2, 626 2, 576 20

Média da População: σ Desconhecido • 21

Média da População: σ Desconhecido Exemplo: Aluguel de Apartamentos • Um repórter de um jornal estudantil está escrevendo um artigo sobre o custo de moradia fora do campus • Uma amostra de 16 apartamentos dentro de um quilômetro do campus resultaram em uma amostra média de $650 por mês e um desvio padrão da amostra de $55 22

Média da População: σ Desconhecido Exemplo: Aluguel de Apartamentos • Vamos fornecer uma estimativa com intervalo de confiança de 95% do valor médio por mês para a população de apartamentos de dentro de um quilômetro do campus • Vamos assumir essa população a ser distribuídos normalmente 23

Média da População: σ Desconhecido • Com 95% de confiança, α = 0, 05 e α/2 = 0, 025 • t 0, 025 é baseado em n – 1 = 16 – 1 = 15 graus de liberdade • Na tabela da distribuição t observamos que t 0, 025 = 2, 131 Graus de Liberdade 15 16 17 18 19. 0, 20 0, 866 0, 865 0, 863 0, 862 0, 861. Área na cauda superior 0, 10 0, 05 0, 025 0, 01 1, 341 1, 753 2, 131 2, 602 1, 337 1, 746 2, 120 2, 583 1, 333 1, 740 2, 110 2, 567 1, 330 1, 734 2, 101 2, 520 1, 328 1, 729 2, 093 2, 539. . 0, 005 2, 947 2, 921 2, 898 2, 878 2, 861. 24

Média da População: σ Desconhecido • 25

Resumo dos Procedimentos de Estimação por Intervalo para uma Média Populacional Sim O desvio padrão populacional σ pode ser Presumido como conhecido? Caso do σ conhecido Use Não Use o desvio padrão amostral s para estimar σ Caso do σ desconhecido Use 26

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Média Populacional • Seja E = a margem de erro desejada • E é a quantidade adicionada e subtraída da estimativa por ponto para obter uma estimativa de intervalo 27

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Média Populacional • 28

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Média Populacional D S • Lembre-se que a Discount Sounds está avaliando um local potencial para uma nova loja de varejo, com base em parte, a renda média anual dos indivíduos na área de atuação do novo local • Suponha que a equipe da gestão da Discount Sounds quer uma estimativa da média da população de tal forma que há uma probabilidade de 0, 95 que o erro de amostragem seja de $ 500 ou menos • Quão grande é o tamanho da amostra necessária para satisfazer a precisão exigida? 29

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Média Populacional D S • 30

Estimação por Intervalo da Proporção da População • 31

Estimação por Intervalo da Proporção da População • 32

Estimação por Intervalo da Proporção da População • α/2 α /2 p 33

Estimação por Intervalo da Proporção da População • 34

Estimação por Intervalo da Proporção da População Exemplo: Ciência Política • Ciência Política (CP) é uma empresa especialista em pesquisas eleitorais e pesquisas destinadas a manter pretendentes a cargos políticos informados de sua posição em uma corrida • Usando pesquisas telefônicas, entrevistadores da CP perguntam aos eleitores em quem eles votariam se a eleição fosse naquele dia 35

Estimação por Intervalo da Proporção da População Exemplo: Ciência Política • Na campanha eleitoral atual, a CP acaba de descobrir que 220 eleitores, de 500 contatados, preferem um determinado candidato • A CP quer desenvolver uma estimativa com intervalo de confiança de 95% para a proporção da população de eleitores que preferem o candidato 36

Estimação por Intervalo da Proporção da População • 37

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Proporção Populacional • 38

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Proporção Populacional • 39

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Proporção Populacional • Suponha que CP gostaria de ter uma probabilidade 0, 99 que a proporção da amostra é de ± 0, 03 da proporção populacional • Quão grande é o tamanho da amostra necessária para satisfazer a precisão exigida? (A amostra anterior de unidades similares rendeu 0, 44 para a proporção da amostra) 40

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Proporção Populacional • 41

Tamanho da Amostra para uma Estimativa por Intervalo da Proporção Populacional • 42

Exercícios Capítulo 8 • Exercícios: 1, 2, 4, 5, 8, 14, 15, 16, 18, 27, 28, 30, 35, 37, 41 e 42 43

Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 8 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 44