Probabilidade e Estatstica Aplicadas Contabilidade II Prof Dr
Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 1
Teste de Hipóteses Capítulo 9 2
Teste de Hipóteses • Desenvolvendo as Hipóteses Nula e Alternativa • Erros do Tipo I e do Tipo II • Média da População: σ Conhecido • Média da População: σ Desconhecido • Proporção da População 3
Desenvolvendo as Hipóteses Nula e Alternativa • Testes de hipóteses podem ser utilizados para determinar se uma indicação sobre o valor de um parâmetro de população deve ou não ser rejeitado • A hipótese nula, denotada por H 0, é uma suposição preliminar sobre um parâmetro populacional • A hipótese alternativa, denotada por Ha (ou H 1), é o oposto do que é formulado na hipótese nula • A hipótese alternativa é que o teste está tentando estabelecer 4
Desenvolvendo as Hipóteses Nula e Alternativa • Teste de Hipóteses de Pesquisa • A hipótese de pesquisa deve ser expressa como a hipótese alternativa • A conclusão de que a hipótese de pesquisa é verdadeira vem de dados de amostra que contrariam a hipótese nula 5
Desenvolvendo as Hipóteses Nula e Alternativa • Teste de Validade de uma Afirmação • Geralmente se concede o benefício da dúvida à afirmação do fabricante, e ela é estabelecida como a hipótese nula • A conclusão de que a afirmação é falsa pode ser feita se a hipótese nula for rejeitada 6
Desenvolvendo as Hipóteses Nula e Alternativa • Teste em Situações de Tomada de Decisão • Um tomador de decisão pode ter que escolher entre dois cursos de ação, uma associada com a hipótese nula e outro associado à hipótese alternativa • Exemplo: aceitar um carregamento de peças de um fornecedor ou a devolução do embarque das peças ao fornecedor por não cumprirem as especificações 7
Resumo das Formas das Hipóteses Nula e Alternativa sobre uma Média da População • A parte da igualdade das hipóteses sempre aparece na hipótese nula • Em geral, um teste de hipótese sobre o valor de uma média populacional µ deve ter uma das seguintes três formas (onde µ 0 é o valor da hipótese da média populacional) Unicaudal (cauda inferior) Unicaudal (cauda superior) Bicaudal 8
Hipóteses Nula e Alternativa Exemplo: Metro EMS • Uma grande cidade oferece um dos serviços de emergência médicas mais abrangentes do mundo • Operando em um sistema hospitalar múltiplo com cerca de 20 unidades médicas móveis, o objetivo do serviço é responder às emergências médicas com um tempo médio de 12 minutos ou menos 9
Hipóteses Nula e Alternativa Exemplo: Metro EMS • O diretor de serviços médicos quer formular um teste de hipótese que poderia usar uma amostra de tempos de resposta de emergência para determinar se a meta de serviço de 12 minutos ou menos está sendo alcançado ou não 10
Hipóteses Nula e Alternativa • O serviço de emergência cumpre a meta de tempo de resposta, nenhuma ação de acompanhamento é necessário • O serviço de emergência não está cumprindo a meta de tempo de resposta; alguma ação de acompanhamento adequado é necessário Onde: µ = tempo médio de resposta para a população de pedidos de emergência médica 11
Erro do Tipo I • Como os testes de hipóteses são baseados em dados amostrais, devemos considerar a possibilidade de erros • Um Erro do Tipo I é rejeitar H 0 quando a hipótese é verdadeira • A probabilidade de fazer um Erro do Tipo I quando a hipótese nula é verdadeira enquanto igualdade é chamado de nível de significância (α) • Aplicações de testes de hipóteses que apenas controlam o Erro do Tipo I são frequentemente chamados de testes de significância 12
Erro do Tipo II • Um Erro do Tipo II é aceitar H 0 quando a hipótese é falsa • É difícil controlar a probabilidade de fazer um Erro do Tipo II • Estatísticos evitam o risco de cometer um Erro do Tipo II usando a expressão "não rejeitar H 0 " ao invés de "aceitar H 0” 13
Erros do Tipo I e do Tipo II Conclusão Aceitar H 0 (Concluir µ ≤ 12) Rejeitar H 0 (Concluir µ > 12) Condição da População H 0 Verdadeiro H 0 Falso (µ ≤ 12) (µ > 12) Decisão Correta Erro do Tipo II Erro do Tipo I Decisão Correta 14
Erros do Tipo I e do Tipo II 15
Valor p Abordagem para Teste de Hipótese Unicaudal • O valor p é uma probabilidade, calculada usando-se a estatística de teste, que mede o apoio (ou a falta de apoio) proporcionado pela amostra à hipótese nula • Se o valor p é menor ou igual ao nível de significância α, o valor da estatística de teste está na região de rejeição • Rejeitar H 0 se o valor p ≤ α 16
Teste da Cauda Inferior sobre uma Média da População: σ Conhecido valor p ≤ α, então rejeitar H 0 Método do valor p α = 0, 10 valor p = 0, 072 z z = -zα = -1, 46 -1, 28 0 17
Teste da Cauda Superior sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do valor p ≤ α, então rejeitar H 0 α = 0, 05 valor p = 0, 011 z 0 zα = 1, 645 z= 2, 29 18
Abordagem do Valor Crítico para Teste de Hipóteses Unicaudal • O teste estatístico z tem uma distribuição de probabilidade normal padrão • Podemos usar a tabela de distribuição de probabilidade normal padrão para encontrar o valor z com uma área α na parte da cauda inferior (ou superior) da distribuição • O valor da estatística de teste que estabeleceu a fronteira da região de rejeição é chamado de valor crítico para o teste • A regra de rejeição é: • Cauda Inferior: Rejeitar H 0 se z ≤ -zα • Cauda Superior: Rejeitar H 0 se z ≥ zα 19
Teste da Cauda Inferior sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do valor crítico Rejeitar H 0 α = 0, 10 Não Rejeitar H 0 z -zα = -1, 28 0 20
Teste da Cauda Superior sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do valor crítico Rejeitar H 0 α = 0, 05 Não Rejeitar H 0 zα = 1, 645 21
Etapas do Teste de Hipóteses Passo 1. Desenvolver as hipóteses nulas e alternativas Passo 2. Especifique o nível de significância α Passo 3. Coletar os dados da amostra e calcular a estatística do teste 22
Etapas do Teste de Hipóteses Método do valor p Passo 4. Use o valor da estatística de teste para calcular o valor p Passo 5. Rejeitar H 0 se o valor p ≤ α Método do valor crítico Passo 4. Use o nível de significância para determinar o valor crítico e a regra de rejeição Passo 5. Use o valor da estatística de teste e a regra de rejeição para determinar se deve rejeitar H 0 23
Teste Unicaudal sobre uma Média da População: σ Conhecido Exemplo: Metro EMS • Os tempos de resposta para uma amostra aleatória de 40 emergências médicas foram tabulados. A média da amostra é 13, 25 minutos. O desvio padrão da população acredita-se ser de 3, 2 minutos • O diretor da EMS quer realizar um teste de hipótese, com um nível de significância de 0, 05, para determinar se o objetivo de serviço de 12 minutos ou menos está sendo alcançado 24
Teste Unicaudal sobre uma Média da População: σ Conhecido • 25
Teste Unicaudal sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do Valor p 4. Calcule o Valor p Para z = 2, 47, a probabilidade cumulativa = 0, 9932 valor p = 1 – 0, 9932 = 0, 0068 5. Determine quando rejeitar H 0 Como o valor p = 0, 0068 ≤ α = 0, 05, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 95% confiante de que a Metro EMS não está cumprindo a meta de atendimento de 12 minutos 26
Teste Unicaudal sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do Valor p α = 0, 05 valor p = 0, 0068 z 0 zα = 1, 645 z= 2, 47 27
Teste Unicaudal sobre uma Média da População: σ Conhecido Método do Valor Crítico 4. Calcule o Valor Crítico e a regra de rejeição Para α = 0, 05, z 0, 05 = 1, 645 Rejeitar H 0 se z ≥ 1, 645 5. Determine quando rejeitar H 0 Como 2, 47 ≥ 1, 645, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 95% confiante de que a Metro EMS não está cumprindo a meta de atendimento de 12 minutos 28
Método do Valor p para Teste de Hipótese Bicaudal Calcule o valor p utilizando os três passos seguintes: 1. Calcular o valor do teste estatístico z 2. Se z é na cauda superior (z > 0), encontre a área sob a curva padrão normal para a direita de z. Se z está na parte inferior da cauda (z < 0), encontre a área sob a curva normal padrão para a esquerda de z 3. Multiplique por dois a área da cauda obtida na etapa 2 para obter o valor p • A regra de rejeição: Rejeitar H 0 se o valor p ≤ α 29
Método do Valor Crítico para Teste de Hipótese Bicaudal • Os valores críticos irão ocorrer em ambas as caudas (inferior e superior) da curva normal padrão • Utilizar a tabela de distribuição de probabilidade normal padrão para encontrar zα/2 (o valor z com uma área de α/2 na cauda superior da distribuição) • A regra de rejeição Rejeitar H 0 se z ≤ -zα/2 ou z ≥ zα/2 30
Exemplo: Creme Dental Brilhante Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ conhecido • A linha de produção da pasta de dente Brilhante é projetada para encher os tubos com um peso médio de 170 gramas. Periodicamente, uma amostra de 30 tubos serão selecionados a fim de verificar o processo de enchimento • Procedimentos de controle de qualidade são utilizados na verificação do processo de enchimento caso os resultados da amostra sejam consistentes com a hipótese de que o peso médio de enchimento para a população de tubos de pasta de dentes é de 170 gramas. Caso contrário, o processo será ajustado oz. Glow 31
Exemplo: Creme Dental Brilhante Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ conhecido • Suponha que uma amostra de 30 tubos de creme dental fornece uma amostra média de 172, 84 gramas. O desvio padrão da população acredita-se ser 5, 67 gramas • Faça um teste de hipótese, ao nível de significância de 0, 03, para ajudar a determinar se o processo de enchimento deve continuar a operar ou ser interrompido e corrigido oz. Glow 32
Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ Conhecido Glow • 33
Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ Conhecido Glow Método do Valor p 4. Calcule o Valor p Para z = 2, 74, a probabilidade acumulativa = 0, 9969 Valor p = 2(1 – 0, 9969) = 0, 0062 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como o valor p = 0, 0062 ≤ α = 0, 03, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 97% confiantes de que o peso médio de enchimento dos tubos de pasta de dentes não é 170 gramas 34
Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ Conhecido Glow Método do Valor p 1/2 valor p = 0, 0031 α/2 = 0, 015 z z = -2, 74 -zα/2 = -2, 17 0 zα/2 = 2, 17 z = 2, 74 35
Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ Conhecido Glow Método do Valor Crítico 4. Calcule o Valor Crítico e a regra de rejeição Para α/2 = 0, 03/2 = 0, 15, z 0, 15 = 2, 17 Rejeitar H 0 se z ≤ -2, 17 ou z ≥ 2, 17 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como 2, 74 ≥ 2, 17, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 97% confiantes de que o peso médio de enchimento dos tubos de pasta de dentes não é 170 gramas 36
Teste Bicaudal sobre a Média da População: σ Conhecido Glow Método do Valor Crítico Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 α/2 = 0, 015 -2, 17 α /2 = 0, 015 0 2, 17 z 37
Abordagem Intervalo de Confiança para Testes Bicaudais sobre uma Média da População • Selecione uma amostra aleatória simples da população e use o valor da média amostral para desenvolver o intervalo de confiança para a média populacional µ (Intervalos de confiança são abordados no Capítulo 8) • Se o intervalo de confiança contém o valor hipotético µ 0, não rejeitar H 0. Caso contrário, rejeitar H 0 38
Abordagem Intervalo de Confiança para Testes Bicaudais sobre uma Média da População Glow • 39
Teste sobre a Média da População: σ Desconhecido • 40
Teste sobre a Média da População: σ Desconhecido • Regra de rejeição: Método do Valor p Rejeitar H 0 se valor p ≤ α • Regra de rejeição: Método do Valor Crítico H 0: µ ≥ µ 0 Rejeitar H 0 se t ≤ -tα H 0: µ ≤ µ 0 Rejeitar H 0 se t ≥ tα H 0: µ = µ 0 Rejeitar H 0 se t ≤ -tα/2 ou t ≥ tα/2 41
Valores p e a Distribuição t • O formato da tabela de distribuição t fornecido na maioria dos livros estatísticas não tem detalhamento suficiente para determinar o exato valor de p para um teste de hipóteses • No entanto, ainda podemos usar a tabela de distribuição t para identificar um intervalo para o valor p • Uma vantagem de pacotes de software de computador é que o resultado do computador irá fornecer o valor p para a distribuição t 42
Exemplo: Polícia Rodoviária Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido • A Polícia Rodoviária periodicamente obtém amostras de velocidade de veículos em vários locais em uma estrada específica. A amostra de velocidades do veículo é usada para testar a hipótese H 0: µ ≤ 100 • Os locais onde H 0 é rejeitada são considerados os melhores locais para instalar radares 43
Exemplo: Polícia Rodoviária Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido • No local F, uma amostra de 64 veículos mostra uma velocidade média de 101, 86 km/h com um desvio padrão de 6, 5 km/h. Usar um α = 0, 05 para testar a hipótese 44
Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido • 45
Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido Método do Valor p 4. Calcule o Valor p Para t = 2, 289, o valor p deve ser menor que 0, 025 (para t = 1, 998) e maior que 0, 01 (para t = 2, 387) 0, 01 < valor p < 0, 025 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como o valor p ≤ α = 0, 05, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 95% confiantes de que a velocidade média dos veículos no local F é maior que 100 km/h 46
Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido Método do Valor Crítico 4. Calcule o Valor Crítico e a regra de rejeição Para α = 0, 05 e gl = 64 – 1 = 63, t 0, 05 = 1, 669 Rejeitar H 0 se t ≥ 1, 669 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como 2, 289 ≥ 1, 669, rejeitamos H 0 Estamos pelo menos 95% confiantes de que a velocidade média dos veículos no local F é maior que 100 km/h O local F é um bom candidato para instalação de um radar 47
Teste Unicaudal sobre a Média da População: σ Desconhecido Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 α = 0, 05 0 tα = 1, 669 t 48
Um Resumo das Formas de Hipóteses de Nulidade e Alternativa sobre a Proporção da População • A parte da igualdade das hipóteses sempre aparece na hipótese nula • Em geral, um teste de hipótese sobre o valor de uma proporção populacional p deve ter uma das seguintes três formas (onde p 0 é o valor da hipótese da proporção populacional) Unicaudal (cauda inferior) Unicaudal (cauda superior) Bicaudal 49
Testes sobre a Proporção da População • 50
Testes sobre a Proporção da População • Regra de rejeição: Método do Valor p Rejeitar H 0 se valor p ≤ α • Regra de rejeição: Método do Valor Crítico H 0: p ≥ p 0 Rejeitar H 0 se z ≤ -zα H 0: p ≤ p 0 Rejeitar H 0 se z ≥ zα H 0: p = p 0 Rejeitar H 0 se z ≤ -zα/2 ou z ≥ zα/2 51
Teste Bicaudal sobre a Proporção da População Exemplo: Conselho Nacional de Segurança • Para o Natal e na semana do Ano Novo, o Conselho Nacional de Segurança estima que 500 pessoas seriam mortas e 25. 000 feridas nas estradas do país. O CNS alegou que 50% dos acidentes seria causada por dirigir embriagado 52
Teste Bicaudal sobre a Proporção da População Exemplo: Conselho Nacional de Segurança • Uma amostra de 120 acidentes mostrou que 67 foram causados por motoristas bêbados. Use estes dados para testar a afirmação da CNS, com um α = 0, 05 53
Teste Bicaudal sobre a Proporção da População • 54
Teste Bicaudal sobre a Proporção da População Método do Valor p 4. Calcule o Valor p Para z = 1, 28, a probabilidade cumulativa = 0, 8997 Valor p = 2(1 – 0, 8997) = 0, 2006 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como o valor p = 0, 2006 > α = 0, 05, não rejeitamos H 0 55
Teste Bicaudal sobre a Proporção da População Método do Valor Crítico 4. Calcule o Valor Crítico e a regra de rejeição Para α/2 = 0, 05/2 = 0, 025, z 0, 025 = 1, 96 Rejeitar H 0 se z ≤ -1, 96 ou z ≥ 1, 96 5. Determinar quando rejeitar H 0 Como 1, 28 > -1, 96, não rejeitamos H 0 56
Exercícios Capítulo 9 • Exercícios: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 25, 27, 30, 34, 36, 38 e 41 57
Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 9 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 58
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