Probabilidade e Estatstica Aplicadas Contabilidade I Prof Dr
Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 1
Introdução à Probabilidade Capítulo 4 Parte A 2
Introdução à Probabilidade • Experimentos, Regras de Contagem e Atribuindo Probabilidades • Eventos e suas Probabilidades • Algumas Relações Básicas de Probabilidade • Probabilidade Condicional • Teorema de Bayes 3
Probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento Possibilidade Crescente de Ocorrência Probabilidade: 0 O evento é muito raro de ocorrer. 0, 5 A ocorrência do evento é tão provável quanto improvável. 1 O evento é quase certo de ocorrer. 4
Um experimento e seu espaço amostral • Um experimento é um processo que gera resultados bem definidos • O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados experimentais • Um resultado experimental também é chamado de ponto amostral para identificá-lo como um elemento do espaço amostral 5
Exemplo: Investimentos de Bradley • Bradley tem investido em duas ações, Markley Petróleo e Collins Mineração. Bradley determinou que os possíveis resultados desses investimentos de três meses a partir de agora são os seguintes Investimento Ganho ou Perda em 3 Meses (em $mil) Markley Pet. Collins Miner. 10 8 5 -2 0 -20 6
Regra de Contagem para Experimentos em Múltiplas Etapas • Se um experimento pode ser descrito como uma sequência de k etapas com n 1 resultados possíveis na primeira etapa, n 2 resultados possíveis na segunda etapa e assim por diante, o número total de resultados experimentais será dado por (n 1) (n 2). . . (nk) • Uma representação gráfica útil de um experimento em múltiplas etapas é o diagrama em árvore 7
Regra de Contagem para Experimentos em Múltiplas Etapas • Os investimentos de Bradley podem ser vistos como um experimentos em duas etapas. Envolvendo duas ações, cada uma com um conjunto de resultados experimentais Markley Pet. : n 1 = 4 Collins Miner. : n 2 = 2 Número Total de Resultados Experimentais: n 1 n 2 = (4)(2) = 8 8
Diagrama em Árvore Markley Pet. Collins Miner. (Etapa 2) (Etapa 1) Resultados Experimentais Ganho 8 (10, 8) Ganho $18. 000 Ganho 10 Ganho 5 Empate Perda 20 Ganho 8 Perda 2 (10, -2) Ganho $8. 000 (5, 8) Ganho $13. 000 (5, -2) Ganho $3. 000 Ganho 8 (0, 8) Ganho $8. 000 Perda $2. 000 Perda 2 (0, -2) (-20, 8) Perda $12. 000 (-20, -2) Perda $22. 000 9
Regra de Contagem de Combinações • 10
Regra de Contagem de Permutações • 11
Atribuindo Probabilidades • Método Clássico: atribui probabilidades baseado no pressuposto de que todos os resultados experimentais são igualmente prováveis • Método da Frequência Relativa: atribui probabilidades baseado na experimentação ou dados históricos • Método Subjetivo: atribui probabilidades baseado no julgamento (grau de confiança) 12
Método Clássico • Se n resultados experimentais são possíveis, a probabilidade de 1/n é atribuída a cada resultado experimental Exemplo • Experimento: rolar o dado • Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Probabilidades: cada ponto amostral tem 1/6 chance de ocorrer 13
Método da Frequência Relativa Exemplo: Aluguel de Ferramentas • A empresa de aluguel de ferramentas gostaria de atribuir probabilidades para o número de polidores de automóveis que aluga cada dia. Os registros mostram as seguintes frequências de aluguéis diários dos últimos 40 dias Número de Polidores Alugados 0 1 2 3 4 Número de Dias 4 6 18 10 2 14
Método da Frequência Relativa • Cada atribuição de probabilidade é dada pela divisão da frequência (número de dias) pela frequência total (número total de dias). Número de Número Polidores Alugados de Dias Probabilidade 0, 10 4 0 0, 15 6 1 4/40 0, 45 18 2 0, 25 10 3 0, 05 2 4 1, 00 40 15
Método Subjetivo • Quando as condições económicas e a situação de uma empresa mudar rapidamente, pode ser inadequado para atribuir probabilidades com base apenas em dados históricos • Podemos usar todos os dados disponíveis, bem como nossa experiência e intuição, mas no final um valor de probabilidade deve expressar o nosso grau de confiança de que o resultado experimental ocorrerá • As melhores estimativas de probabilidade muitas vezes são obtidas através da combinação das estimativas da abordagem clássica ou de frequência relativa com a estimativa subjetiva 16
Método Subjetivo • Aplicando o método subjetivo, os analistas atribuíram as seguintes probabilidades Resultado Exper. (10, 8) (10, -2) (5, 8) (5, -2) (0, 8) (0, -2) (-20, 8) (-20, -2) Ganho ou Perda $18. 000 Ganho $13. 000 Ganho $8. 000 Ganho $2. 000 Perda $12. 000 Perda $22. 000 Perda Probabilidade 0, 20 0, 08 0, 16 0, 26 0, 10 0, 12 0, 06 17
Eventos e suas Probabilidades • Um evento é um conjunto de pontos amostrais • A probabilidade de um evento é igual à soma das probabilidades dos pontos amostrais do evento • Sempre que podemos identificar todos os pontos amostrais de um experimento e atribuir probabilidades a cada um, temos condições de calcular a probabilidade de determinado evento 18
Eventos e suas Probabilidades Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)} P(M) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2) = 0, 20 + 0, 08 + 0, 16 + 0, 26 = 0, 70 19
Eventos e suas Probabilidades Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa C = {(10, 8), (5, 8), (0, 8), (-20, 8)} P(C) = P(10, 8) + P(5, 8) + P(0, 8) + P(-20, 8) = 0, 20 + 0, 16 + 0, 10 + 0, 02 = 0, 48 20
Alguma Relações Básicas de Probabilidade • Existem algumas relações de básicas de probabilidade que podem ser usadas para calcular a probabilidade de um evento sem conhecimento de todas as probabilidades dos pontos amostrais • Complemento de um Evento • União de Dois Eventos • Interseção de Dois Eventos • Eventos Mutuamente Exclusivos 21
Complemento de um Evento • O complemento de um evento A é definido como o evento que consiste em todos os pontos amostrais que não estão em A • O complemento de A é denotado como Ac • P(A) + P(Ac) = 1 Diagrama de Venn Evento A Ac Espaço Amostral S 22
União de Dois Eventos • Evento A Evento B Espaço Amostral S 23
União de Dois Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0, 20 + 0, 08 + 0, 16 + 0, 26 + 0, 10 + 0, 02 = 0, 82 24
Interseção de Dois Eventos • Evento A Evento B Espaço Amostral S 25 Interseção de A e B
Interseção de Dois Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0, 20 + 0, 16 = 0, 36 26
Lei da Adição • 27
Lei da Adição Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0, 82 (Mesmo resultado do cálculo anterior) 28
Eventos Mutuamente Exclusivos • Dois eventos são mutuamente exclusivos se os eventos não possuem pontos amostrais em comum • Dois eventos são mutuamente exclusivos se, quando um evento ocorrer, o outro não pode ocorrer também Evento A Evento B Espaço Amostral S 29
Eventos Mutuamente Exclusivos • 30
Probabilidade Condicional • 31
Probabilidade Condicional Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa P(C | M) = Collins Mineração Lucrativa dado Markley Petróleo Lucrativa = 0, 5143 32
Lei da Multiplicação • 33
Lei da Multiplicação Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa Sabemos: P(M) = 0, 70, P(C | M) = 0, 5143 = 0, 36 (Mesmo resultado do cálculo anterior) 34
Eventos Independentes • 35
Lei da Multiplicação para Eventos Independentes • 36
Lei da Multiplicação para Eventos Independentes Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa Por isso: M e C não são independentes 37
Exercícios Capítulo 4 – Parte A • Exercícios: 8, 9, 10, 11, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 28, 32, 34, 35, 37 38
Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 4 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 39
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