Probabilidade e Estatstica Aplicadas Contabilidade I Prof Dr

Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 1

Distribuições Discretas de Probabilidade Capítulo 5 2

Distribuições Discretas de Probabilidade • Variáveis aleatórias • Distribuições Discretas de Probabilidade • Valores Esperados e Variância • Distribuição Binomial • Distribuição de Poisson • Distribuição Hipergeométrica 0, 40 0, 30 0, 20 0, 10 0 1 2 3 4 3

Variáveis Aleatórias • Uma variável aleatória é a descrição numérica do resultado de um experimento • Uma variável aleatória discreta pode assumir um número finito de valores ou uma sequência infinita de valores • Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção de intervalos 4

Exemplo: JSL Eletrodomésticos • Variável aleatória discreta com um número finito de valores • Seja x = número de TVs vendidas na loja em um dia, em que x pode tomar 5 valores (0, 1, 2, 3, 4) 5

Exemplo: JSL Eletrodomésticos • Variável aleatória discreta com um número infinito de valores • Seja x = número de clientes que vão até a loja em um dia, em que x pode assumir os valores 0, 1, 2, . . . • Podemos contar os clientes que chegam, mas não há nenhum limite superior finito no número que podemos chegar 6

Variáveis Aleatórias Questão Variável Aleatória x Tipo Tamanho da família x = Número de dependentes indicados no imposto de renda Discreta Distância de casa até a loja x = Distância em quilômetros de casa até Contínua o local da loja Ter cachorro ou gato x = 1 se não possui animal de estimação; Discreta = 2 se possui cachorro(s) apenas; = 3 se possui gato(s) apenas; = 4 se possui cachorro(s) e gato(s); 7

Distribuições Discretas de Probabilidade • A distribuição de probabilidade para uma variável aleatória descreve como as probabilidades são distribuídas ao longo dos valores da variável aleatória • Podemos descrever uma distribuição de probabilidade discreta com uma tabela, gráfico, ou equação 8

Distribuições Discretas de Probabilidade • A distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, denotada por f(x), que fornece a probabilidade para cada valor da variável aleatória • As condições necessárias para uma função probabilidade discreta são: 9

Distribuições Discretas de Probabilidade • Usando dados históricos sobre as vendas de TV, . . . uma representação tabular da distribuição de probabilidade para as vendas de TV foi desenvolvida Número Unid. Vend. de Dias 0 80 1 50 2 40 3 10 4 20 200 x 0 1 2 3 4 f(x) 0, 40 0, 25 0, 20 0, 05 0, 10 1, 00 80/200 10

Distribuições Discretas de Probabilidade • Representação gráfica da Distribuição de Probabilidade Probabildade 0, 50 0, 40 0, 30 0, 20 0, 10 0 1 2 3 4 Valores da Variável Aleatória x (vendas de TV) 11

Distribuição de Probabilidade Discreta Uniforme • os valores da variável aleatória são igualmente prováveis 12

Valor Esperado e Variância • 13

Valor Esperado e Variância • Valores Esperados x 0 1 2 3 4 f(x) 0, 40 0, 25 0, 20 0, 05 0, 10 E (x) = Número esperado de TVs vendidas em um dia xf(x) 0, 00 0, 25 0, 40 0, 15 0, 40 1, 20 14

Valor Esperado e Variância • Variância e Desvio Padrão x x-μ 0 1 2 3 4 -1, 2 -0, 2 0, 8 1, 8 2, 8 (x - μ )2 1, 44 0, 04 0, 64 3, 24 7, 84 f(x) 0, 40 0, 25 0, 20 0, 05 0, 10 (x - μ )2 f(x) 0, 576 0, 010 0, 128 0, 162 0, 784 Variância das Vendas Diárias = s 2 = 1, 660 TVs ao quadrado Desvio padrão das vendas diárias = 1, 2884 TVs 15

Distribuição Binomial • Quatro propriedades de um experimento binomial 1. A experiência consiste de uma sequência de n ensaios idênticos 2. Dois resultados, sucesso e fracasso, são possíveis em cada ensaio 3. A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não muda de ensaio para ensaio 16 4. Os ensaios são independentes pressuposto de estacionariedade

Distribuição Binomial • O nosso interesse é o número de sucessos que ocorrem nos n ensaios • Seja x denotar o número de sucessos ocorrem nos n ensaios 17

Distribuição Binomial • 18

Distribuição Binomial • Número de resultados experimentais que fornecem exatamente x sucessos em n ensaios Probabilidade de uma determinada sequência de resultados ensaios com x sucessos em n tentativas 19

Distribuição Binomial • Exemplo: Evans Eletrônicos Evans está preocupado com uma taxa de retenção baixa para os funcionários. Nos últimos anos, a gestão tem visto um turnover de 10% dos funcionários horistas anualmente. Assim, para qualquer empregado horista escolhidos de forma aleatória, a Administração estima uma probabilidade de 0, 1 de que a pessoa não estará na empresa no próximo ano 20

Distribuição Binomial • Usando a Função de Probabilidade Binomial Escolhendo 3 funcionários horistas de forma aleatória, qual é a probabilidade de que um deles vai deixar a empresa este ano? Seja: p = 0, 10, n = 3, x = 1 21

Distribuição Binomial • Diagrama de Árvore 1 o Funcion. 2 o Funcion. Sair (0, 1) 3 o Funcion. S (0, 1) x 3 Prob. 0, 0010 F (0, 9) S (0, 1) 2 0, 0090 F (0, 9) 1 0, 0810 0 0, 7290 Ficar (0, 9) Sair (0, 1) Ficar (0, 9) S (0, 1) Ficar (0, 9) F (0, 9) 22

Distribuição Binomial • Usando Tabelas de Probabilidades Binomiais p n x 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20 0, 25 0, 30 0, 35 0, 40 0, 45 0, 50 3 0 0, 8574 0, 7290 0, 6141 0, 5120 0, 4219 0, 3430 0, 2746 0, 2160 0, 1664 0, 1250 1 0, 1354 0, 2430 0, 3251 0, 3840 , 4219 2 0, 0071 0, 0270 0, 0574 0, 0960 0, 1406 0, 1890 0, 2389 0, 2880 0, 3341 0, 3750 3 0, 0001 0, 0010 0, 0034 0, 0080 0, 0156 0, 0270 0, 429 0, 4410 0, 4436 0, 4320 0, 4084 0, 3750 0, 0640 0, 0911 0, 1250 23

Distribuição Binomial • 24

Distribuição Binomial • 25

Distribuição de Poisson • A variável aleatória com distribuição de Poisson é frequentemente útil para estimar o número de ocorrências em um intervalo especificado de tempo ou espaço • É uma variável aleatória discreta que pode assumir uma sequência infinita de valores (x = 0, 1, 2, . . . ) 26

Distribuição de Poisson • Exemplos de uma variável aleatória com Distribuição de Poisson: • o número de buracos em 14 metros lineares de placas de pinho • o número de veículos que chegam em um posto de pedágio em uma hora 27

Distribuição de Poisson • Duas propriedades de um Experimento de Poisson 1. A probabilidade de um ocorrência é a mesma para dois intervalos quaisquer de igual comprimento 2. A ocorrência ou não-ocorrência em determinado intervalo é independente da ocorrência ou não ocorrência em outro intervalo 28

Distribuição de Poisson • 29

Distribuição de Poisson • Exemplo: Santa Casa de Misericórdia Os pacientes chegam na emergência da Santa Casa, a uma taxa média de 6 por hora, nas noites de fim de semana Qual é a probabilidade de 4 chegadas em 30 minutos em MERCY uma noite de fim de semana? 30

MERCY Distribuição de Poisson • Usando a Função de Probabilidade de Poisson μ = 6/horas = 3/meia-hora, x = 4 31

MERCY Distribuição de Poisson • Usando a tabela de Probabilidade de Poisson μ x 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2, 7 2, 8 2, 9 3, 0 0 0, 1225 0, 1108 0, 1003 0, 0907 0, 0021 0, 0743 0, 0672 0, 0608 0, 0550 0, 0498 1 0, 2572 0, 2438 0, 2306 0, 2177 0, 2052 0, 1931 0, 1815 0, 1703 0, 1596 0, 1494 2 0, 2700 0, 2681 0, 2652 0, 2613 0, 2565 0, 2510 0, 2450 0, 2384 0, 2314 0, 2240 3 0, 1890 0, 1966 0, 2033 0, 2090 0, 2138 0, 2176 0, 2205 0, 2225 0, 2237 0, 2240 4 0, 0992 0, 1082 0, 1169 0, 1254 0, 1336 0, 1414 0, 1488 0, 1557 0, 1622 0, 1680 5 0, 0417 0, 0476 0, 0538 0, 0602 0, 0668 0, 0735 0, 0804 0, 0872 0, 0940 0, 1008 6 7 0, 0146 0, 0174 0, 0206 0, 0241 0, 0278 0, 0319 0, 0362 0, 0407 0, 0455 0, 0504 32 0, 0044 0, 0055 0, 0068 0, 0083 0, 0099 0, 0118 0, 0139 0, 0163 0, 0188 0, 0216 8 0, 0011 0, 0015 0, 0019 0, 0025 0, 0031 0, 0038 0, 0047 0, 0057 0, 0068 0, 0081

MERCY Distribuição de Poisson • Distribuição de Poisson das chegadas Probabilidade de Poisson Probabilidade 0, 25 0, 20 Na verdade a sequência continua: 11, 12, … 0, 15 0, 10 0, 05 0, 00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de Chegadas em 30 Minutos 10 33

Distribuição de Poisson • 34

MERCY Distribuição de Poisson • 35

Distribuição Hipergeométrica • A distribuição de probabilidade hipergeométrica relaciona-se restritamente com a distribuição de probabilidade binomial • Entretanto, para a distribuição hipergeométrica: • Os experimentos não são independentes • A probabilidade de sucesso se modifica de experimento para experimento 36

Distribuição Hipergeométrica • 37

Distribuição Hipergeométrica • Representa o número de maneiras pelas quais n – x fracassos pode Número de maneiras pelas ser relacionado de um total quais x sucessos podem de N – r fracassos ser relacionados de um na população total de r sucessos na população Representa o número de maneiras pelas quais uma amostra de tamanho n pode ser relacionada de uma população de tamanho N 38

Distribuição Hipergeométrica ZAP • Exemplo: Neveready Bob Neveready retirou duas baterias sem carga de uma lanterna e, inadvertidamente, mistura-os com as duas baterias boas que ele separado para substituir. As quatro baterias parecem idênticas Bob agora seleciona aleatoriamente duas das quatro baterias. Qual é a probabilidade que ele tem de selecionar as duas baterias boas? ZAP 39 ZAP ZA P

Distribuição Hipergeométrica • 40

Distribuição Hipergeométrica • 41

Distribuição Hipergeométrica • 42

Distribuição Hipergeométrica • Considere um distribuição hipergeométrica com n experimentos e seja p = (r/n) indicando a probabilidade de sucesso no primeiro experimento • Se o tamanho da população é grande, o termo (N – n)/(N – 1) se aproxima de 1 • O valor esperado e a variância podem ser descritos como E(x) = np e Var(x) = np(1 – p) • Note que estas são as expressões para o valor esperado e variância de uma distribuição binomial 43

Distribuição Hipergeométrica • Quando o tamanho da população é grande, uma distribuição hipergeométrica pode ser aproximada por uma distribuição binomial com n experimentos e uma probabilidade de sucesso p = (r / N) 44

Exercícios Capítulo 5 • Exercícios: 2, 4, 7, 8, 14, 17, 22, 26, 30, 34, 38, 40, 42, 43, 46, 48, 51, 52 45

Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 5 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 46