Probabilidade e Estatstica Aplicadas Contabilidade I Aluna PAE

Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Aluna PAE: Júlia Peres Tortoli Supervisor: Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes 1

Distribuições Contínuas de Probabilidade Capítulo 6 Parte A 2

Distribuições Contínuas de Probabilidade • Distribuição Uniforme de Probabilidade • Distribuição Normal de Probabilidade • Distribuição Exponencial de Probabilidade f (x) Uniforme f (x) Exponencial Normal x x 3 x

Distribuições Contínuas de Probabilidade • Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor em um intervalo na reta real ou em uma coleção de intervalos • Não é possível obter a probabilidade da variável aleatória assumir um valor particular • Em vez disso, nós obtemos a probabilidade da variável aleatória assumir um valor dentro de um determinado intervalo. 4

Distribuições Contínuas de Probabilidade • A probabilidade da variável aleatória assumir um valor dentro de algum dado intervalo de x 1 até x 2 é definido como sendo a área sob o gráfico da função de densidade de probabilidade entre x 1 e x 2 f (x) Uniforme f (x) x 1 x 2 Exponencial Normal x x 1 x 2 x x 1 xx 12 x 5

Distribuição Uniforme de Probabilidade • 6

Distribuição Uniforme de Probabilidade • 7

Distribuição Uniforme de Probabilidade Exemplo: Restaurante • Os clientes do buffet são cobrados para a quantidade de salada que eles pegam. A amostragem sugere que a quantidade de salada tomada é uniformemente distribuída entre 5 gramas e 15 gramas 8

Distribuição Uniforme de Probabilidade • 9

Distribuição Uniforme de Probabilidade • 10

Distribuição Uniforme de Probabilidade • Distribuição Uniforme de Probabilidade para o Prato de Salada f(x) 1/10 5 10 15 Peso da Salada (g. ) x 11

Distribuição Uniforme de Probabilidade Qual é a probabilidade de que um cliente terá entre 12 e 15 gramas de salada? f(x) P(12 < x < 15) = 1/10(3) = 0, 3 1/10 5 10 12 15 Peso da Salada (g. ) x 12

Distribuição Normal de Probabilidade • A distribuição normal de probabilidade é a distribuição mais importante para a descrição de uma variável aleatória contínua • É amplamente usada em inferência estatística 13

Distribuição Normal de Probabilidade • A distribuição tem sido utilizada em uma grande variedade de aplicações Peso da Pessoas Medições Científicas 14

Distribuição Normal de Probabilidade • A distribuição tem sido utilizada em uma grande variedade de aplicações Resultados de Testes Valores de Precipitação 15

Distribuição Normal de Probabilidade • 16

Distribuição Normal de Probabilidade Características • A distribuição é simétrica; sua medida assimetria é zero x 17

Distribuição Normal de Probabilidade Características • Toda a família de distribuições normais de probabilidade é definida pela sua média μ e seu desvio padrão σ Desvio Padrão σ Média μ x 18

Distribuição Normal de Probabilidade Características • O ponto mais alto da curva normal está na média, que é também a mediana e moda x 19

Distribuição Normal de Probabilidade Características • A média pode ser qualquer valor numérico: negativo, zero ou positivo -10 0 20 x 20

Distribuição Normal de Probabilidade Características • O desvio padrão determina se a curva é achatada ou larga: maiores valores resultam em curvas mais largas e mais achatadas σ = 15 σ = 25 21 x

Distribuição Normal de Probabilidade Características • As probabilidades da variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva. A área total sob a curva é 1 (0, 5 para a esquerda da média e 0, 5 para a direita) 0, 5 22 x

Distribuição Normal de Probabilidade Características • 68, 26% dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de +/- 1 desvio padrão da sua média • 95, 44% dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de +/- 2 desvio padrão da sua média • 99, 72% dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de +/- 3 desvio padrão da sua média 23

Distribuição Normal de Probabilidade Características 99. 72% 95. 44% 68. 26% μ – 3σ μ – 1σ μ – 2σ μ μ + 3σ μ + 1σ μ + 2σ x 24

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • Uma variável aleatória de distribuição normal com média 0 e desvio padrão de 1 diz-se ter uma distribuição normal padrão de probabilidade 25

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • A letra z é utilizada para designar a variável aleatória normal σ=1 0 z 26

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • 27

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • 28

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Exemplo: Pep Zone • Pep Zone vende autopeças e suprimentos, incluindo um óleo de motor popular, multi classe. Quando o estoque desse petróleo cai para 20 litros, um pedido de reposição é colocado Pep Zone 5 w-20 Motor Oil 29

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Exemplo: Pep Zone • O gerente da loja está preocupado que vendas estão sendo perdidas devido a rupturas enquanto espera por uma reposição. Foi determinado que a demanda durante o tempo de reabastecimento é normalmente distribuída com uma média de 15 litros e um desvio padrão de 6 litros. O gerente gostaria de saber a probabilidade de uma falta de estoque, P(x > 20) Motor Oil 30

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil 31

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Tabela de probabilidade cumulativa para a distribuição normal padrão z 0, 00 0, 01. 0, 02 0, 7580 0, 7611 0, 7642 0, 7673 0, 7704 0, 7734 0, 7764 0, 7794 0, 7823 0, 7852 0, 8 0, 7881 0, 7910 0, 7939 0, 7967 0, 7995 0, 8023 0, 8051 0, 8078 0, 8106 0, 8133 0, 9 0, 8159 0, 8186 0, 8212 0, 8238 0, 8264 0, 8289 0, 8315 0, 8340 0, 8365 0, 8389 . . P(z < 0, 83) . . 0, 09 0, 7257 0, 7291 0, 7324 0, 7357 0, 7389 0, 7422 0, 7454 0, 7486 0, 7517 0, 7549 . . 0, 08 0, 6 . . 0, 07 0, 6915 0, 6950 0, 6985 0, 7019 0, 7054 0, 7088 0, 7123 0, 7157 0, 7190 0, 7224 . . 0, 06 0, 5 . . 0, 05 . . . 0, 04 . . . 0, 03 . . . 32

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • Probabilidade de falta de estoque P(x > 20) Pep Zone 5 w-20 Motor Oil 33

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Resolvendo para a probabilidade de falta de estoque Área = 0, 7967 Área = 1 – 0, 7967 = 0, 2033 0 0, 83 z 34

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Distribuição de Probabilidade Normal Padrão • Se o gerente de Pep Zone quer que a probabilidade de uma falta de estoque não seja maior do que 0, 05, qual deve ser o ponto de reposição do estoque? 35

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Resolvendo o ponto de reposição do estoque Área = 0, 9500 Área = 0, 0500 0 z 0, 05 z 36

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Pep Zone 5 w-20 Motor Oil Resolvendo o ponto de reposição do estoque Passo 1: Encontre o valor de z que corta uma área de 0, 05 na cauda direita da distribuição normal padrão z. 0, 00. 0, 01. 0, 02. 0, 03. 0, 04. 0, 05. 0, 06. 0, 07. 0, 08. 0, 09. 1, 5 0, 9332 0, 9345 0, 9357 0, 9370 0, 9382 0, 9394 0, 9406 0, 9418 0, 9429 0, 9441 1, 6 0, 9452 0, 9463 0, 9474 0, 9484 0, 9495 0, 9505 0, 9515 0, 9525 0, 9535 0, 9545 1, 7 0, 9554 0, 9564 0, 9573 0, 9582 0, 9591 0, 9599 0, 9608 0, 9616 0, 9625 0, 9633 1, 8 0, 9641 0, 9649 0, 9656 0, 9664 0, 9671 0, 9678 0, 9686 0, 9693 0, 9699 0, 9706 37 Nós 0, 9738 olhamos 0, 9744 o complemento área 0, 9761 0, 9767 0, 9713 0, 9719 0, 9726 0, 9732 0, 9750 da 0, 9756 de cauda (1 -0, 05 = 0, 95 1, 645). . 1, 9.

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade • Pep Zone 5 w-20 Motor Oil

Distribuição Normal Padrão de Probabilidade Resolvendo o ponto de reposição do estoque • Ao elevar o ponto de reabastecimento de 20 litros para 25 litros disponíveis, a probabilidade de uma falta de estoque diminui de cerca de 0, 20 para 0, 05 • Esta é uma diminuição significativa na chance que Pep Zone terá falta de estoque e incapacidade de atender aos clientes. Pep Zone 5 w-20 Motor Oil

Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais • Quando o número de experimentos, n, torna-se grande, a avaliação da função de probabilidade binomial feita à mão ou com uma calculadora é difícil • A distribuição de probabilidade normal fornece uma ferramenta fácil de aplicar para aproximação das probabilidades binomiais, onde n > 20, np ≥ 5 e n(1 - p) ≥ 5. 40

Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais • Calculando a média e o desviopadrão • Fator de correção de continuidade • Adicionar e/ou subtrair 0, 5 • Aproximação de distribuição discreta para distribuição contínua. 41

Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais • Exemplo: • Um hotel da estância turística de Myrthe Beach tem 120 quartos. Durante os meses de primavera, a ocupação dos quartos é de aproximadamente 75%. • Qual a probabilidade de pelo menos 100 quartos estarem ocupados em um determinado dia? 42

Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais • Exemplo: • n > 20 => n= 120 • np ≥ 5 => np=120*0, 75=90 • n(1 - p) ≥ 5 => n(1 -p)= 120*0, 25=30 43

Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais • Exemplo: • Calculando a média e desviopadrão: • • 44

Exemplo: • Qual a probabilidade de pelo menos 100 quartos estarem ocupados em um determinado dia? • Calculando o Z-score z 0, 00 0, 01 0, 02. . 1, 5 0, 9332 0, 9345 0, 9357 1, 6 0, 9452 0, 9463 0, 9474 1, 7 0, 9554 0, 9564 0, 9573 1, 8 0, 9641 0, 9649 0, 9656 1, 9 2, 0 0, 9713 0, 9719 0, 9726 0, 9772 0, 9778 0, 9782 45

Exemplo: • Qual a probabilidade de pelo menos 100 quartos estarem ocupados em um determinado dia? Área = 1 – 0, 9772 Área = 0, 9772 = 0, 0228 46 0 2 z

Distribuições Contínuas de Probabilidade Capítulo 6 Parte B 47

Distribuição Exponencial de Probabilidade • A distribuição exponencial de probabilidade é útil na descrição do tempo que leva para completar uma tarefa As variáveis aleatórias exponenciais podem ser usadas para descrever: Tempo entre chegadas de veículos em uma cabine de pedágio Tempo necessário para completar um questionário Distância entre grandes defeitos em uma rodovia SLOW 48

Distribuição Exponencial de Probabilidade • 49

Distribuição Exponencial de Probabilidade • A distribuição exponencial possui tendência de assimetria para a direita f(x) • A medida de assimetria para a distribuição x exponencial é 2 50

Distribuição Exponencial de Probabilidade • 51

Distribuição Exponencial de Probabilidade Exemplo: bomba de ar do Al • O tempo entre chegadas de veículos na bomba de ar segue uma distribuição de probabilidade exponencial com um tempo médio entre chegadas de 3 minutos. Al gostaria de saber a probabilidade de que o tempo entre duas chegadas sucessivas será de 2 minutos ou menos 52

Distribuição Exponencial de Probabilidade f(x) 0, 4 P(x < 2) = 1 - 2. 71828 -2/3 = 1 – 0, 5134 = 0, 4866 0, 3 0, 2 0, 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo entre chegadas sucessivas (mins. ) 53

Distribuição Exponencial de Probabilidade • 54

Distribuição Exponencial de Probabilidade • Exemplo: • A S&A advogados realizou um estudo dos tempos de atendimento nos guichês de lanchonetes com serviço drive-thru. O tempo médio entre a colocação de um pedido e o seu recebimento no Mc. Donald’s foi de 3 minutos e 18 segundos (The Cincinnati Enquirer, 9 de julho de 2000). • Filas de espera como estas frequentemente seguem uma distribuição exponencial de probabilidade. 55

Distribuição Exponencial de Probabilidade • Exemplo: • Qual a probabilidade de o tempo de atendimento a um cliente ser superior a 5 minutos? • Calculando a média • Calculando a probabilidade exponencial cumulativa 56

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial A distribuição de Poisson fornece uma descrição apropriada do número de ocorrências por intervalo A distribuição exponencial fornece uma descrição apropriada do comprimento do intervalo entre as ocorrências 57

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial • Se as chegadas seguem uma distribuição de Poisson, o tempo entre as chegadas deve seguir uma distribuição exponencial. 58

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial • Exemplo: • O número de carros que chegam a um lava-rápido durante uma hora é descrito pela probabilidade de Poisson, com uma média de 10 carros por hora. 59

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial • A função probabilidade de Poisson de x chegadas por hora é: 60

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial • Sendo o número médio de chegadas correspondente a 10 carros/hora, o tempo médio entre os carros que chegam é: 61

Relação entre a Distribuição de Poisson e a Distribuição Exponencial • Desse modo, a distribuição exponencial descreve o tempo entre as chegadas, com média 0, 1 hora/carro. Com isso, a função densidade exponencial é dada por: 62

Lista de exercícios Capítulo 6 • Exercícios: 3, 7, 12, 18, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 38 63

Obrigada pela Atenção!!! Lista de exercícios Cap. 6 para a próxima aula. Júlia Peres Tortoli jptortoli@fearp. usp. br Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp. br www. marcelobotelho. com 64