Probabilidade e Esperana Condicional Como definir apropriadamente FXx

Probabilidade e Esperança Condicional • Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)? • Duas situações: – Y discreto – Y contínuo

Caso Discreto

Exemplo • O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?

Exemplo • O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro l. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média m. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

Caso Contínuo • FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

Caso contínuo • Caso geral: • Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

Exemplo • Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X? 1 1

Exemplo • Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia -noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meianoite. a) Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? b) Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? c) Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?

Exemplo • Se X e Y são independentes e têm densidades f. X e f. Y, qual é a densidade de X+Y?

Exemplo • Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

Somas e médias de v. a. i. i. d. • Dada uma sequência de variáveis aleatórias i. i. d. X 1, X 2, …, Xn , obter a distribuição de:

Somas e médias de v. a. i. i. d. • Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X • Fácil calcular médias e variâncias

Somas e médias de v. a. i. i. d. • Quando n , Var(X) 0 • Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média m. • É possível tornar esta afirmativa precisa?

Desigualdade de Markov • Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:

Desigualdade de Chebyshev • Seja X uma variável aleatória tal que EX = m e Var(X) = s 2. Então, para todo d > 0:

Lei Fraca dos Grandes Números (Chebyshev, 1867) • Sejam X 1, X 2, … v. a. i. i. d, com EX 1 = m e Var X 1 = s 2. Então, para todo d > 0,

Lei Forte dos Grandes Números (Kolmogorov, 1925) • Sejam X 1, X 2, … v. a. i. i. d, com EX 1 = m. Então: • Em consequência, para todo d > 0:

Observações • Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1. • Exemplos – Jogo de São Petersburgo – X~Cauchy (f. X(x) = 1/(1+x 2))

Teorema Central do Limite • Estimativa para P(|X–m| d) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa. • É possível refiná-la? • Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a variância, de modo a ter média 0 e variância 1. • Resultado: a distribuição da versão padronizada converge para uma distribuição fixa (a normal).

Teorema Central do Limite • Sejam X 1, X 2, … v. a. i. i. d, com EX 1 = m e Var X 1 = s 2. A distribuição de converge para a normal padrão:

Noções de Simulação • Teorema Fundamental Seja F uma f. d. a. qualquer e seja U uma v. a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f. d. a da v. a. X = F-1(U) é F.

Exemplos • Como gerar uma v. a. com distribuição exponencial l? • Como gerar uma v. a. com distribuição binomial (3; 0, 6)? • Como gerar uma v. a. com distribuição N(60, 102)?

Para gerar v. a. normais • Algoritmo de Box-Muller são normais e independentes

Método de aceitação/rejeição • Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x [a, b]. Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M. V Retornar U (que é uma v. a. de densidade f)

Método de aceitação/rejeição • Método de aceitação/rejeitação MV U

Método de aceitação/rejeição • Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x [a, b]. Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M. V Retornar U (que é uma v. a. de densidade f)

Outros métodos • Algoritmo de Metrópolis • Importance Sampling (Mac. Kay, cap. 29)