Probabilidade Aula 03 Prof Christopher Freire Souza Centro

Probabilidade Aula 03 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www. ctec. ufal. br/professor/cfs

2 Probabilidade Christopher Freire Souza Objetivo • Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades

3 Probabilidade Christopher Freire Souza Conteúdo • • • Fundamentos Contagem Regra da adição Regra da multiplicação Probabilidade através de simulações

4 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Para que? • Processos determinísticos ▫ Satisfeitas algumas condições, comportamento conhecido ▫ Ex: Ao colocar água pura para esquentar, qual a chance dela entrar em ebulição a 100 o. C? • Processos estocásticos ▫ Comportamento aleatório ▫ Ex: Ao puxar uma peça de dominó, qual a chance de ser: A bomba de sena? Uma bomba? Não-bomba? Bomba de sena, caso se queira adivinhar a bomba que seu parceiro comentou ter puxado.

5 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade • Técnica matemática aplicada para medir a chance de ocorrência de um evento

6 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Conteúdo • Breve revisão de Análise Combinatória • Espaço Amostral • Evento • Probabilidade de um evento (uma bomba) • Probabilidade para experimentos nãoeqüiprováveis • Probabilidade do evento complementar (não-bomba) • Probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos (bomba de sena) • Probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro já ocorreu (bomba de sena dentre bombas) • Probabilidade de coincidências • Probabilidade para eventos correlacionados

7 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Análise combinatória • • Contagem Princípio multiplicativo Fatorial Arranjo simples • Permutação simples • Permutação com repetição • Combinação simples

8 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Contagem • Problema: Eric, Elane e Alison disputam uma eleição para representante discente. Quantos resultados diferentes pode ter esta eleição? 1. 2. 3. 4. 5. 6. Er, A, El Er, El, A A, Er, El A, El, Er El, A, Er El, Er, A

9 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Princípio multiplicativo (Contagem sem descrição) • Problema: Eu tenho duas calças e quatro camisas e não sabia o que vestir para vir dar esta aula. De quantas formas eu poderia me vestir, considerando que eu não me importo se a calça e a blusa combinam? • Uma forma de resolver é multiplicar a quantidade de opções de calça pela de blusa. • Assim temos: 2 x 4=8

10 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Fatorial • É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto cujos fatores são números naturais consecutivos de n a 1. • n!=n. (n-1). (n-2). . . 3. 2. 1, sendo n natural e maior que 1. • Observe que: • n!=n. (n-1)! • Assim, 0!=1

11 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Arranjo simples (Contagem de formas de agrupar elementos sem repetição de elementos) • Quantos conjuntos de três letras (r =3) podem ser criados com as 26 letras do alfabeto (n=26)? 26 25 24 A n, r = 26. 25. 24 = 15600 • A ordem dos elementos importa

Permutação simples • Problema: No passatempo Sudoku, uma única linha de uma matriz 3 x 3 não foi preenchida. Sabe-se que restam apenas os números 3, 5 e 9 como opções. Não havendo uma dica de que número poderia estar em cada “casa”, de quantas formas pode ser preenchida a linha? Pn=A n, n www. ctec. ufal. br/profess or/cfs 12 1 4 7 6 2 8 ? ? ? 3 3 3 5 5 9 9 P = 3. 2. 1 = 6 3 2 1 3 5 9 5 3 9 9 5 3 3 9 5 5 9 3 5 Opções

13 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Permutação com repetição • Anagrama extraído do Código da Vinci: ▫ “O, Draconian devil! Oh, lame saint” • Decifrado para: ▫ “Leonardo da Vinci – The Mona Lisa” • Problema: Quantos anagramas tem a palavra FERVOROSO?

14 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Combinação simples • Qual o número de maneiras nas quais cinco cartas podem ser selecionadas de uma baralho? 3 4 5 6 7 52 51 50 49 48 C. r! = A • A ordem dos elementos não importa

15 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Espaço amostral • Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (processo estocástico).

16 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Evento • Qualquer subconjunto do espaço amostral. • Impossível: Peça com 13 pontos • Simples: Peça com zero pontos • Certo: Peça com menos que 13 pontos

17 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Evento • Complementar: Mais que zero pontos, é o evento complementar do evento zero pontos. • Intersecção e união, como na teoria de conjuntos • Disjunto (mutuamente excludente): intersecção é nula.

18 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade de um evento • Problemas: ▫ Qual a probabilidade de puxar uma bomba? ▫ Qual a probabilidade de puxar uma sena? ▫ A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é maior que a probabilidade de puxar uma bomba? • Conceito: ▫ Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo número de valores possíveis, considerando-se: igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis excludência mútua entre valores. onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de ocorrência; n. S, os possíveis resultados de um experimento e; n. A, aqueles que denotam o evento. Axiomas fundamentais: 0≤P(A) ≤ 1 P(S)=1 p/ A C B, P(A) ≤ P(B)

19. www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade em experimentos nãoeqüiprováveis • Problema: Como estimar a probabilidade de obter cara numa moeda viciada? • Nos casos em que não se conhece o conjunto de valores da população ou as chances de sair cada resultado são diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela freqüência. • Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes, obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia cara ao lançar a mesma moeda é de 73, 1%.

www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade do evento união • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena ou uma quina? • n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB) • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(AUB)=P(A)+P(B) 20

www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade do evento diferença • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena sem ser uma bomba? • n(A-B)=n(A)-n(A&B) • P(A-B)=P(A)-P(A&B) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(A-B)=P(A) 21

22 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade de um evento complementar (P(Ac)) • Problema: Qual a probabilidade de, ao puxar uma peça, não ser bomba? • P(A)+ P(Ac)=P(S) • P(A)+P(Ac)=1 • P(Ac)=1 -P(A)

23 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade do tipo “um ou mais” ou “pelo menos um” • Qual a probabilidade de ao puxar uma peça ter pelo menos um ponto? • A probabilidade do evento união de todos os resultados que atendem o critério de “pelo menos um” equivale à probabilidade do complementar da intersecção do evento nenhum. P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)

24 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade condicional Problema: Num jogo de 6 peças, seu parceiro acusou ter puxado apenas uma bomba. Qual a probabilidade de ter sido a bomba de sena? • PA(B)=P(A&B)/P(A) • PA(B) = dado que ocorreu A, ocorrer B

25 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade de eventos simultâneos • Problema: Qual a probabilidade de você puxar uma bomba e ela ser de sena? • P(AB)=PA(B). P(A) • PA(B)=P(AB)/P(A)

26 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade de eventos independentes (coincidência) • Qual a probabilidade de puxar uma sena e faltar água? • Dado que: P(AB)=PA(B). P(A) • Se PA(B)=P(B), P(AB)=P(B). P(A)

27 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade indireta de eventos (Teorema da probabilidade total) • Problema: Qual a probabilidade de não-atendimento de demanda por água de uma cidade (P(A)), se sabese que: ▫ Existem dois reservatórios (R 1=150 m 3 e R 2=187, 5 m 3 ) que funcionam de forma complementar (B: R 1 ativo, Bc: R 2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é desativado) ▫ Probabilidades de ativar: P(B)=0, 7; P(Bc)=0, 3. ▫ Probabilidade de superar capacidade: PA(B)=0, 3; PA(Bc)=0, 1 • Dado que:

28 www. ctec. ufal. br/profess or/cfs Probabilidade de eventos correlacionados (Teorema de Bayes) • Problema: Supondo que, para o caso do problema anterior, a demanda não tenha sido atendida, como estimar a probabilidade de o reservatório 1 ter sido ativado. • Ganho de acurácia na estimativa de probabilidade, onde de forma subjetiva se descreve relação entre eventos

29 Probabilidade Christopher Freire Souza Probabilidade através de simulações • Conhecendo-se o processo (formulação conceitual) que descreve um fenômeno (e. g. a relação entre precipitação e vazão), como obter a probabilidade de ocorrência de um valor de vazão? • Inserir repetidas vezes, dado de precipitação aleatoriamente definido dentro de uma faixa de valores possíveis, de maneira a obter um histograma • Aplicações: ▫ Análise de sensibilidade de modelos ▫ Análise de incerteza de estatísticas