PROBABILIDAD U D 15 4 ESO E AP

PROBABILIDAD U. D. 15 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

PROBABILIDAD CONDICIONADA U. D. 15. 4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

Probabilidad compuesta • Muchos experimentos se componen de dos o más sucesos consecutivos, dando lugar a múltiples combinaciones. En ese caso la probabilidad de un suceso compuesto de dos o más sucesos simples se llama PROBABILIDAD COMPUESTA, y es igual al producto de probabilidades. • Sea A el primer suceso y B el segundo. Habrá que distinguir dos posibles situaciones según la naturaleza de cada suceso: • • • 1. - SUCESOS INDEPENDIENTES ENTRE SÍ Que los sucesos A y B sean independientes entre sí. Es decir, que la probabilidad de que suceda B no tenga nada que ver con el resultado de A. P(A ∩ B) = P(A). P(B) • Ejemplo • • • Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. P(C ∩ 5) = P(C). P(5) = (1/2). (1/6) = 1/12 = 0, 0833 Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

Probabilidad compuesta • 2. - • • Que los sucesos A y B sean dependientes entre sí. Es decir, que la probabilidad de que suceda B esté condicionada por el resultado de A. P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) • Ejemplo • Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” 2 1 P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) = ------- = 2/20 =1/10 = 0, 10 2+3 1+3 5 4 En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro quedan. • • • SUCESOS DEPENDIENTES ENTRE SÍ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

Probabilidad condicionada • • EJEMPLO 1 En un IES el 35% son varones y el 65% restante mujeres. De los varones, el 25% estudia ESO y el resto Bachillerato. De las mujeres, el 55% estudia ESO y el resto Bachillerato. Se elige un alumno al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y estudie Bachillerato? . b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón y estudie ESO? . • • Tenemos: P(V) = 35% = 35/100 = 0, 35 P(M) = 65% = 65/100 = 0, 65 P(E/V) = 25% = 25/100 = 0, 25 P(B/V) = 75% = 75/100 = 0, 75 P(E/M) = 55% = 55/100 = 0, 55 P(B/M) = 45% = 45/100 = 0, 45 • • a) b) V M E 8, 75% 35, 75% B 26, 25% 29, 25% P(M ∩ B) = P(M). P(B/M) = 0, 65. 0, 45 = 0, 2925 P(V ∩ E) = P(V). P(E/V) = 0, 35. 0, 25 = 0, 0875 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 5

Probabilidad condicionada • … RESOLUCIÓN • Suponemos que las probabilidades del nacimiento de V o de M son idénticas, con lo cual los sucesos elementales son equiprobables, gracias a lo cual podemos aplicar la Regla de Laplace. • • • P(A) = 3 / 8 Pues son 3 los casos favorables frente a los 8 casos posibles o totales. P(B) = 7 / 8 Pues P(B) = 1 – P(VVV), aplicando los sucesos contrarios. P(C) = 3 / 8 + 3 / 8 Pues P(C) = P(AUA) = P(A) + P(A) P(D) = 3 / 4 En este caso estamos ante un suceso condicionado. P(un varón y dos niñas) 3/8 3 P(1 V / 2 M) = ------------------- = ----P(dos niñas como mínimo) 4/8 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Probabilidad condicionada • Ejemplo 3 • • • En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N? . ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N? . • • Resolución Espacio muestral: E={B, B, A, A, A, N, N} • • • P(B∩N) = P(B). P(N/B) = 2/9. 4/8 = 8/72 = 1/9 = 0, 1111 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(A∩A) = P(A). P(A/A) = 3/9. 3/8 = 9/72 = 1/8 = 0, 125 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A). P(N/A) + P(N). P(A/N) = = 3/9. 4/8 + 4/9. 3/8 = 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0, 3333 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

DIAGRAMA DE ÁRBOL • El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. • • NORMAS 1. - Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. • 2. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. • 3. - Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. • 4. - Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. • Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Dos enunciados • Enunciado 1 • • • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad? . ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad? . • Enunciado 2 • En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores? . ¿Y de que no? • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Solución 1 • • • P(L/A)=0, 85 Chica y viva en L P(A)=0, 6 • • • 0, 6. 0, 85 = 0, 51 P(NL/A)=0, 15 0, 6. 0, 15 = 0, 09 Chica y no viva en L P(L/O)=0, 7 0, 4. 0, 7 = 0, 28 Chico y viva en L P(NL/O)=0, 3 0, 4. 0, 3 = 0, 12 Chico y no viva en L P(O)=0, 4 • • P(L) • Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1. = 0, 51 + 0, 28 = 0, 79 @ Angel Prieto Benito P(NL) = 0, 09 + 0, 12 = 0, 21 Matemáticas 4º ESO E. AP. 11

Solución 2 • • • P(E/A)=0, 05 0, 2. 0, 05 = 0, 01 De Ana y con errores P(NE/A)=0, 95 0, 2. 0, 95 = 0, 19 De Ana y sin errores P(E/B)=0, 03 0, 3. 0, 03 = 0, 009 De Bea y con errores • P(NE/B)=0, 97 0, 3. 0, 97 = 0, 291 De Bea y sin errores • • • P(E/C)=0, 02 0, 5. 0, 02 = 0, 01 De Carlos y con errores • P(NE/C)=0, 98 0, 5. 0, 98 = 0, 49 De Carlos y sin errores • P(E) = 0, 01+0, 009+0, 01=0, 029 • • • P(A)=0, 2 P(B)=0, 3 P(C)=0, 5 @ Angel Prieto Benito P(NE)=0, 19+0, 291+0, 49=0, 971 Matemáticas 4º ESO E. AP. 12