PROBABILIDAD U D 13 1 BCS Angel Prieto

PROBABILIDAD U. D. 13 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

PERMUTACIONES U. D. 13. 2 * @ Angel Prieto Benito 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I 2

Las claves de la Combinatoria • Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. • En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. • En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de orden, importando el conjunto de dichos elementos. • En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

PERMUTACIONES ORDINARIAS ( SIN REPETICIÓN ) • De m elementos tomados de m en m , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, un grupo se diferencie de los demás en el orden de colocación de los elementos. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN P = m! m Lista de todos los alumnos de una clase Colocar los libros en una estantería Maneras de colocarse unas personas alrededor de una mesa @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

Factorial de un número • • Se llama factorial de un número entero y positivo n , al producto de n factores consecutivos, que comienzan en la unidad y terminan en n. 2! = 1. 2 = 2 3! = 1. 2. 3 = 6 4! = 1. 2. 3. 4 = 24 5! = 1. 2. 3. 4. 5 = 120 Los símbolos 1! y 0! no tienen significado por si mismos, pero por convenio (y sobre todo por funcionamiento práctico) su valor es 1. • Todo número factorial se puede descomponer en factores. Ello es muy práctico en la simplificación de operaciones. Así: 8! = 8. 7. 5. 4! , 13! = 13. 12. 11. 10. 9! , 110! = 110. 109. 108! • • • 13! / 8! = 13. 12. 11. 10. 9. 8! /8! = 13. 12. 11. 10. 9 110! / 108! = 110. 109. 108! / 108! = 110. 109 Etc @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

• EJEMPLO 1 • Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar? • • Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todas letras y deben ser letras distintas… Luego son permutaciones ordinarias P 4 = 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 • EJEMPLO 2 • Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una lista? • • Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir alguno de ellos… Luego son permutaciones ordinarias P 6 = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 manera distintas de ordenarlos. • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

• EJEMPLO 3 • Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una mesa circular? • • Resolución: Importa el orden de colocación, tomo los 6, y no hay repetición … Luego son permutaciones ordinarias, pero no vale la posición relativa Pn-1 = (n – 1)! = (6 – 1)! = 5 ! = 120 • EJEMPLO 4 • Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres? • • Resolución: Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )… Luego son variaciones ordinarias V 24, 6 = 24! / (24 -6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96. 909. 120 Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24. Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6 pupitres, uno para cada alumno. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7