PROBABILIDAD U D 11 2 BCS Angel Prieto

PROBABILIDAD U. D. 11 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 1

TEOREMA DE BAYES U. D. 11. 5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 2

TEOREMA DE BAYES • • Si A 1, A 2, A 3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: P(Ai). P(B / Ai) P(Ai / B) = ------------------------------------P(A 1). P(B / A 1) + P(A 2). P(B / A 2) + … + P(An). P(B / An) Donde P(Ai) son las probabilidades a priori. P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. P(B / Ai) son las verosimilitudes. • Ejemplo_1: • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. . Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? . @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 3

Resolución • • • Probabilidades a priori: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0, 6 Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1 - 0, 6 = 0, 4 Sea chico. Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0, 85 Sea chica y viva en la loc. P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0, 7 Sea chico y viva en la loc. • Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes • • • P(O). P(L / O) 0, 4. 0, 7 0, 28 P(O / L) = -------------------- = ---- = P(A). P(L / A) + P(O). P(L / O) 0, 6. 0, 85 + 0, 4. 0, 79 = 0, 3544 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 4

Resolución gráfica P(L/A)=0. 85 P(A). P(L/A) = 0, 6. 0, 85 = 0, 51 P(A) = 0, 6 P(NL / A)=0, 15 P(A). P(NL/A) = 0, 6. 0, 15 = 0, 09 P(L / O) = 0, 7 P(O). P(L/O) = 0, 4. 0, 7 = 0, 28 P(O)=0, 4 P(NL / O) = 0, 3 P(O). P(NL/O) = 0, 4. 0, 3 = 0, 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 5

• Ejemplo_2: • En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. • • a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave? . b) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra? . c) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A? . d) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al tercer llavero C? . • • RESOLUCIÓN Probabilidades a priori: • • • @ Angel Prieto Benito P(A) = 1/3 = 0, 3333 P(B) = 1/3 = 0, 3333 P(C) = 1/3 = 0, 3333 Sea el primer llavero. Sea el segundo llavero. Sea el tercer llavero. Matemáticas 2º Bachillerato CS 6

• Probabilidades a posteriori: • • • P(A / L) = 1/5 = 0, 20 Abra la llave del llavero A. P(B / L) = 1/7 = 0, 1428 Abra la llave del llavero B. P(C / L) = 1/8 = 0, 125 Abra la llave del llavero C. P(A / NL) = 4/5 = 0, 80 No abra la llave del llavero A. P(B / NL) = 6/7 = 0, 8572 No abra la llave del llavero B. P(C / NL) = 7/8 = 0, 875 No abra la llave del llavero C. • a) • • • P(L) = P(A). P(L/A) + P(B). P(L/B) + P(C). P(L/C) = = 0, 3333. 0, 20 + 0, 3333. 0, 1428 + 0, 3333. 0, 125 = = 0, 066667 + 0, 047619 + 0, 041667 = 0, 155953 • b) • • P(C / NL) = P(C). P(NL/C) = 0, 3333. 0, 875 = 0, 291667 Probabilidad de acertar con la llave: Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 7

• c) • Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes • • • P(A). P(L / A) P(A / L) = ----------------------------- = P(A). P(L/ A) + P(B). P(L/ B) + P( C ). P(L/C) • • • 0, 3333. 0, 20 = ------------------------------------- = 0, 3333. 0, 20 + 0, 3333. 0, 1428 + 0, 3333. 0, 125 • = 0, 066667 / ( 0, 066667 + 0, 047427 + 0, 041667) = • = 0, 066667 / 0, 155953 = 0, 427479 • • d) • = 0, 041667 / 0, 155953 = 0, 267176 Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A: Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C: P(C). P(L / C) P(C / L) = ----------------------------- = P(A). P(L/ A) + P(B). P(L/ B) + P( C ). P(L/C) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 8

Resolución gráfica P(L)=1/5 P(A). P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0, 0667 P(A)=1/3 P(NL)=4/5 P(A). P(NL/A) = 1/3. 4/5 = 0, 2667 P(L)=1/7 P(B). P(L/B) = 1/3. 1/7 P(B)=1/3 P(C)=1/3 = 0, 0476 P(NL)=6/7 P(B). P(NL/B) = 1/3. 6/7 = 0, 2856 P(L)=1/8 P(C). P(L/C) = 1/3. 1/8 = 0, 0416 P(NL)=7/8 P(C). P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0, 2912 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 9