PROBABILIDAD TEORA BSICA COMBINATORIA Joan Calventus S http
PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA Joan Calventus S. http: //ustadistica. webnode. cl
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD • La teoría de la probabilidad surgió del interés por los juegos de azar. • Un suceso es el resultado observado (o que pudiera observarse) al realizar un “experimento aleatorio”. • La probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso por el número de casos posibles.
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos” Calcular la probabilidad de obtener 4 puntos: P(4 puntos) = Casos favorables Casos posibles 1 = 6 = 0, 17
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos” ¿Qué probabilidad existe de obtener un nº de puntos par? P(nº de puntos par) = Casos favorables Casos posibles 3 = = 0, 5 6
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº mayor de 7) = Casos favorables Casos posibles 0 = 6 = 0 Probabilidad igual a cero significa que el suceso es IMPOSIBLE.
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor de 7) = Casos favorables Casos posibles 6 = 1 Probabilidad igual a uno significa que el suceso es SEGURO.
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor de 3) = Casos favorables Casos posibles 2 = 6 = 0, 33 Probabilidad cercana a 1 indica mayor posibilidad que ocurra el evento. Probabilidad cercana a 0 indica menor posibilidad que ocurra el evento.
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Probabilidad (complementaria) de que suceda no A AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor de 3) = 1 - P(nº no menor de 3) Casos favorables = 1 P(nº menor de 3) = 1 - Casos posibles 4 6 = 1 - 0, 66 = 0, 33
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = P(nº menor a 3) + P(nº mayor a 5) P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = 2 6 + 1 6 = 3/6 = 0, 5
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD OJO: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) “ o” + En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) U = –
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD “ o” OJO: + En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor a 3 ó nº par) = P(nº menor a 3) + P(nº par) - P(2) 1 2 U 2 4 6 = 1 2 2 4 6 – 2 P(nº menor a 3 ó nº par) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 0, 66
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD “ o” OJO: + En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) Experimento: “Seleccionar al azar una persona del siguiente grupo: ” Calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer o una persona empleada. Empleo Género P( mujer ó empleada) = 5/10 + Muj. Hom. Sí 4 2 No 1 3 6/10 - 4/10 = 7/10 = 0, 70
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: “ y” x P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B) Experimento: “Lanzar dos veces un dado y observar resultado” … o lo que es lo mismo… Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado” P(obtener 2 números pares) = P(par) y P(par) = P(par) x P(par) P(obtener 2 números pares) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 0, 25 Interpretar y valorar resultado: una de cada cuatro veces que realicemos el experimento, obtendremos los dos números pares. ¿Qué les parece? Utilidad? Sentido?
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD AXIOMAS: “ y” P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B) Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado” ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un doble 6? P(obtener doble 6) = P(6) y P(6) = P(6) x P(6) P(obtener doble 6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0, 03 x
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD OJO: “ y” x Un evento (B) es dependiente de otro (A), cuando lo que ocurre con éste influye en la ocurrencia de aquel. En el caso de eventos dependientes: P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) Probabilidad (condicional) de que suceda B luego de haber ocurrido A Experimentos SIN REPOSICION comportan la aparición de eventos dependientes…
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD OJO: “ y” x En el caso de eventos dependientes: P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B/A) Experimento: “De una tómbola con 3 bolas rojas y 7 blancas, extraemos al azar dos de las bolas” Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas. P (ambas bolas sean rojas) = P (1ª bola sea roja) x P (2ª bola sea roja ; habiendo sido roja la 1ª) P (ambas bolas sean rojas) = 3/10 X 2/9 = 6/90 = 0, 07 Interpretar y valorar por qué la probabilidad es tan baja…
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) P (A y no. A) = P (A) x P (no. A) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P(las primeras dos bolas sean Azules y las siguientes tres sean rojas)= P (A y no. A) = P(A) x P(no. A) P (A y no. A) = P(A)2 x P(no. A)3 P (A y no. A) = (2/5)2 x (3/5)3 OS M RE RIA E U EQ NATO R I NO MB CO P (A y no. A) = 4/25 x 27/125 = 108/3125 = 0, 03 Interpretar y valorar el sentido de esta probabilidad tan baja…
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) P (A y no. A) = P (A) x P (no. A) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P (2 azules y 3 rojas) = (2/5)2 x (3/5)3 5! x 2! x (5 -2)! P (2 azules y 3 rojas) = 0, 03 x 5 x 4 x 3! 2 x 3! P (2 azules y 3 rojas) = 0, 03 x 10 = 0, 3 R CO EQ M UE BI R NA EM TO OS RI A P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A) x P(no. A) x C 5, 2 = 0, 03 x 5 x 4 2 Interpretar y valorar por qué la probabilidad es mayor que la anterior
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A)2 x P(no. A)3 x C 5, 2 debe entenderse, en general, como: Cn, k combinaciones de n elementos, tomados de k en k n! Cn, k = k! x (n-k)!
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD “ y” Experimento: “De una tómbola con 3 bolas Azules y 5 Rojas, extraemos al azar (con reposición) cuatro bolas” x Calcular la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y las otras azules. P(primeras dos bolas Azules y las otras dos Rojas)= P(A y R y R)= 3/8 x 5/8 = 225/4096 = 0, 05 Calcular la probabilidad de que dos sean rojas y dos azules. P(dos bolas Azules y dos Rojas)= P(dos Azules) x C 4, 2 P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 3/8 2 x 5/8 2 4 x 3 x 2! P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 0, 14 x 0, 39 x 6 = 0, 33
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Cn, k combinaciones de n elementos, tomados de k en k TE ES EL RA EN A P S L A V I MO SCA T E A N A RN TE E P E D T LA AL LO ULO A U UN LC IÁNG CÁ TR n! k! x (n-k)! sca l Cn, k = Pa 1 1 ulo de 1 Tri áng 1 1. . . 2 3 4 C 1, 0 C 1, 1 1 3 6 C 2, 0 C 2, 1 C 2, 2 C 3, 0 C 3, 1 C 3, 2 C 3, 3 1 4 C 4, 0 C 4, 1 C 4, 2 C 4, 3 C 4, 4 1 . . . C 4, 2 = 6
TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Experimento: “Seleccionar al azar y con reposición a 5 personas del siguiente grupo: ” Calcular la probabilidad de que exactamente dos de las cinco personas sean mujeres con empleo. Empleo Género Muj. Hom. Sí 4 2 No 1 3 1º: Calculamos la probabilidad de seleccionar al azar del grupo a una mujer con empleo: P (mujer con empleo) = 4/10 = 0, 40 2º: Calculamos la probabilidad de que dos de las cinco presenten la característica anterior: P (2 de las 5 sean mujeres con empleo) = 0, 4 2 x 0, 6 3 x C 5, 2 = 0, 16 x 0, 216 x 10 = 0, 35
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