Pro se tup hel rovn hlu tupmu Petr

Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG

Obsah Věta Důkaz Diskuze 2

Věta „Velikost libovolného tupého úhlu je rovna velikosti pravého úhlu“ 3

Důkaz Provede se konstruktivně, tzn. je třeba počítat se všemi možnostmi, jak úloha může vypadat 4

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ 5

rovina ρ 6

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 7

přímka p 8

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 9

bod A 10

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 11

bod B 12

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 13

∡BAC’ 14

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 15

∡ABD’ 16

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 17

úsečka AC 18

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 19

úsečka BD 20

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 21

úsečka CD 22

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 23

čtyřúhelník ABCD 24

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 25

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 26

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 27

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD 28

1. případ 29

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB 30

2. případ 31

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p 32

3. případ 33

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p 34

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 35

osa úsečky AB 36

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 37

osa úsečky CD 38

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 39

bod S 40

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 41

úsečka AS 42

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 43

úsečka BS 44

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 45

úsečka CS 46

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 47

úsečka DS 48

pro připomenutí Osa úsečky 49

osa úsečky 50

pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky 51

pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky, tedy: |AS’| = |BS’| Pokud ještě vím, že |AS| = |BS|, potom jasně: |∡SAS’| = |∡SBS’| 53

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l |AS| = |BS| 55

|AS| = |BS| 56

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| 57

|∡BAS| = |∡ABS| 58

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| 59

|CS| = |DS| 60

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) 61

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné 62

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| 63

|∡CAS| = |∡DBS| 64

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS| 65

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD| 67

|∡BAC| = |∡ABD| 68

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p 69

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 70

osa úsečky AB 71

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 72

osa úsečky CD 73

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 74

bod S 75

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS 76

úsečka CS 77

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS 14. Úsečka DS 78

úsečka DS 79

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l |AS| = |BS| 80

|AS| = |BS| 81

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS| |CS| = |DS| 82

|CS| = |DS| 83

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) 84

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné 85

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS| 86

|∡CAS| = |∡DBS| 87

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD| 88

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p 89

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 90

osa úsečky AB 91

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 92

zmenšení… 93

zmenšení… 94

zmenšení… 95

zmenšení… 96

osa úsečky CD 97

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 98

bod S 99

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 100

úsečka AS 101

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 102

úsečka BS 103

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 104

úsečka CS 105

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 106

úsečka DS 107

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l |AS| = |BS| 108

|AS| = |BS| 109

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| 110

|∡BAS| = |∡ABS| 111

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| 112

|CS| = |DS| 113

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) 114

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné 115

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| 116

|∡CAS| = |∡DBS| 117

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS| 118

|∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS| 119

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: l l |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS| |∡BAC| = |∡ABD| 120

|∡BAC| = |∡ABD| 121

Důkaz tímto je hotov 122

Diskuze je to samozřejmě falešný důkaz, tzn. že důkaz není zcela korektní to, že důkaz není v pořádku dokážeme sporem: „Nechť tedy tupý a pravý úhel jsou velikostně shodné“ Spor dokážeme pro každý ze tří případů 123

Spor prvního případu pokračujeme v konstrukci prvního případu 124

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 125

přímka q 126

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 127

bod T 128

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 129

zmenšení. . . 130

zmenšení. . . 131

zmenšení. . . 132

zmenšení. . . 133

bod U 134

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU 135

trojúhelník BTU 136

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° 137

|∡BTU| = 90° 138

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° 139

|∡ABD| = 90° 140

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° 141

|∡TBU| = 90° 142

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° První případ není reálný 143

Spor druhého případu pokračujeme v konstrukci druhého případu 144

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 145

přímka q 146

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 147

bod T 148

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 149

zmenšení. . . 150

zmenšení. . . 151

zmenšení. . . 152

zmenšení. . . 153

bod U 154

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU 155

trojúhelník BTU 156

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° 157

|∡BTU| = 90° 158

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° 159

|∡ABD| = 90° 160

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° 161

|∡TBU| = 90° 162

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Druhý případ není reálný 163

Spor třetího případu pokračujeme v konstrukci třetího případu 164

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 165

přímka q 166

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 167

bod T 168

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 169

zmenšení. . . 170

zmenšení. . . 171

zmenšení. . . 172

zmenšení. . . 173

bod U 174

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU 175

trojúhelník BTU 176

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° 177

|∡BTU| = 90° 178

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° 179

|∡ABD| = 90° 180

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° 181

|∡TBU| = 90° 182

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Ani třetí případ není reálný, ale… 183

Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: l Na přímce q 184

na přímce q 185

Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q l V průniku polorovin, pod přímkou p a q l 186

V průniku polorovin 187

Diskuze Z prvního případu není možné uvažavat o shodnosti trojúhelníků ASC a BDS (trojúhelník BDS splynul v úsečku) a tudíž: |∡CAS| ≠ |∡DBS| 188

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: l |AS| = |BS| 189

|AS| = |BS| 190

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| l |CS| = |DS| l 191

|CS| = |DS| 192

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| l |CS| = |DS|, potom l Z druhého případu se dá usuzovat: l Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss) 193

trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné 194

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| l |CS| = |DS|, potom l Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss) a tudíž i l |∡CAS| = |∡DBS| l 195

|∡CAS| = |∡DBS| 196

Diskuze Odtud však nelze vyvozovat rovnost |∡BAC| = |∡ABD| 197

Diskuze Závěr: důkaz není korektní, protože měl nereálné předpoklady Věta: „Velikost pravého úhlu j rovna. . . “ je nepravdivá 198

Na závěr Důkaz jsem převzal z přednášky pro řešitele matematické olympiády pana Doc. Stanislava Trávníčka z Olomoucké Univerzity Palackého Diskuzi a vyvrácení důkazu jsem provedl sám 199

Díky za pozornost 200