Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali SERIE TEMPORALI

Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

SERIE TEMPORALI Ø Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) Ø Introduzione della variabile t Ø Analisi nel dominio del tempo Ø Analisi nel dominio della frequenza ES-1

ES-2 Serie temporali e computer Ø I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x( • ) di una variabile reale t (segnali analogici). Ø Necessità di segnali campionati A/D segnale converter T Ø Teorema di Nyquist x(NT) x(T) sequenza n. T T = periodo di campionamento {x(n. T)} = sequenza

ES-3 Dal segnale discreto al vettore Hp: x(t) ad energia finita {x(n. T)} di lunghezza finita NT Proiezione lungo l’asse Fi Punto dello spazio N-D x(n-N+1) FN-1 {x(n)} = x x(n-1) x(n) F 1 F 0 Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale

ES-4 L’operatore ritardo delta di Dirac d basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo x(n) Z-1 x(n-1) operatore ritardo Z-1 x(n-1) Z-1 x(n-N+1) linea di ritardo

ES-5 Lo spazio del segnale input asse x x(n-3) x(n-2) x(n-1) z x(n) Traiettoria del Segnale Z-1 asse y Z-1 asse z x(n) x(n-4) x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n-3) x(n-5) x(n-4) x(n-3) x(n-2) linea di ritardo x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) x x(n-2) x(n-1) y Spazio di ricostruzione o Spazio del segnale Ø La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie. Un enorme numero di campioni enorme dimensione dello spazio Sottospazio del segnale

Il sottospazio del segnale Segnale periodico (K campioni) ES-6 Spazio K’- dimensionale (K’ K ) K’ dipende dalla complessità della traiettoria x t basta 1 -D x 1 K’ = 1 x bastano 2 -D (2 << K ) x 2 K’ = 2 Mappaggio uno a uno traiettoria e serie temporale 1 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 20 40 60 80 100 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1 Potrebbe servire K-D K’=K ? ?

ES-7 Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale x(NT) x(T) 1 2 K’ Finestra temporale “sliding”

IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE) N y (n ) = å wi x(n - i ) = w x(n ) = x (n )w T w = [w 0 w 1 K x(n -N)] x(n-1) y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane pesi w 1 z-1 w 2 w. N ] FIR FINITE IMPULSE RESPONSE (risposta impulsiva finita) w 0 z-1 T i =0 x(n ) = [x(n ) x(n - 1) K x(n) ES-8 z-1 x(n-N) Linea di ritardo S y(n)

ES-9 x(n-N) x x(n-1) y è la proiezione di x sul vettore peso w x(n) Il C. L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale, secondo la direzione dei pesi La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione contenuta nell’input Idea base del filtraggio

Esempi di filtraggio ES-10

ES-11 ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO (SISTEMI LINEARI) La risposta impulsiva Risposta impulsiva [h(n)] ØDescrive completamente un sistema lineare per il combinatore lineare Ø d (n) z-1 w 0 w 1 + w 2 w 0 w 1 w 2 h(0) h(1) h(2) ØLa h(n) di un C. L. ha lunghezza finita FIR h(i) = wi h 3

ES-12 La convoluzione y(n) risposta ad un generico input x(n) convoluzione sistema causale Per il combinatore lineare M + N campioni (notare la pesantezza del calcolo)

ES-13 Sistemi ricorrenti e stabilità IL FILTRO IIR Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback input Esempio: Eq. ne alle differenze x(n) + output y(n) z-1 y(n-1) 1 -m Coefficiente di feedback ØLa h(n) ha estensione infinita IIR Infinite Impulse Response (risposta impulsiva infinita)

Analisi della stabilità 1 h(n) 0<m<1 ES-14 m decrescente stabile n m=0 m< 0 1 h(n) n 1 h(n) marginalmente stabile instabile n Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input a risposta impulsiva di durata finita Importanza del coefficiente di feedback

ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA ES-15 ØDescrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO x(t) {x(n)} Tf = N Tc n = 0, … , N-1 Intervallo di campionamento Numero di campioni t n=0 x(n) Tc n=N-1 generico campione n = 0, … , N-1 segnale campionato

ES-16 La trasformata di Fourier Trasformata di Fourier del segnale X( f ) x(t) t Tc (N-1)Tc N numeri Tf = N Tc 0 fc/2 fc Spettro continuo fc

ES-17 La trasformata di Fourier discreta (DFT) DFT IDFT X (k) Tf = NTc t Tc N-1 N CAMPIONI ff fc/2 Spettro di N righe k

ES-18 d(n - N +1) x(N -1) X(N -1) d(n - 1) x(0) Dominio del tempo x(k) R X(1) d(n) X(0) Dominio della frequenza X(k) C X(k) = k - esimo coeff. di Fourier {X(k)} = trasformata di Fourier discreta DFT o spettro {|X(k)|} = spettro delle ampiezze {/ X(k)} = spettro delle fasi

ES-19 La Z-trasformata z C z-1 operatore ritardo Combinatore lineare

La funzione di trasferimento ES-20 Funzione di trasferimento Z-trasformata della risposta impulsiva (polinomio algebrico) Convoluzione in t Moltiplicazione in z

La risposta in frequenza H(e jwt) = H’(w) ES-21 risposta in frequenza H’(w) è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jw T| Im(z) z =j z w Re(z) z =1 z =-j -1 H’(w) è periodica in w con 2 p/T (come e jw. T)

ES-22 DFT della risposta impulsiva Proprietà: ØRisposta a regime ØCalcolo veloce (FFT) ØH’(w) C |H’(w)| / H’(w)

ES-23 Poli e zeri della risposta in frequenza zeri: poli: z=0 z = 1 -m polo Osservazioni qualitative: zero Stabilità 0<m<1 Polo nel cerchio unitario

ES-24 Filtri lineari x(N) x(1) H(k) kcut Tc y(N) y(1) Segnale + Rumore ad alta frequenza Segnale filtrato Tf = N Tc |X(k)| |Y(k)| |H(k)| rumore k k 1 kcut PASSA – BASSO N 1 N

ES-25 |H’(w)| f f fc Passa - basso fc Passa - banda Per la scelta dei wi : ØProcedura di sintesi ØProcedure di ottimizzazione f fc Passa - alto