Priemgetallen Een geheel getal n is deelbaar door
Priemgetallen • Een geheel getal n is deelbaar door een geheel getal met gehele uitkomst > 1: samengesteld • Een getal met alleen zichzelf en 1 als deler noemen we priem. • Ieder geheel getal met precies twee delers is een priemgetal – 1 is niet priem • Ieder getal is het product van priemgetallen § op volgorde na uniek
Hoeveel priemgetallen zijn er? • • • Euclides: oneindig veel Stel niet. Nummer ze p 1, p 2, p 3, … , pn– 1, pn Neem N = p 1∙p 2∙p 3 ∙ … ∙ pn– 1∙pn + 1 Als p deelt N, dan p deelt 1 N is priem Tegenspraak – Bewijs uit het ongerijmde
Alternatief bewijs (Kummer, 1878) • • • Neem N = p 1∙p 2∙p 3 ∙ … ∙ pn– 1∙pn N – 1 > pn dus niet priem Dus een zekere pk deelt N – 1 en deelt ook N. pk deelt N–(N– 1) = 1 Tegenspraak
Alternatief bewijs (Saidak, 2005) • n en n+1 hebben verschillende priemdelers • n(n+1) heeft tenminste twee verschillende priemdelers • n(n+1) en n(n+1)+1 hebben gezamenlijke delers • n(n+1)∙(n(n+1)+1) heeft tenminste drie verschillende priemdelers • enzovoorts, enzovoorts • Het aantal priemgetallen is onbegrensd.
Spiraal van Ulam •
Kleinst gemene veelvoud • Ireen en Sven starten tegelijk op dezelfde plek op de ijsbaan. • Ireen 31 s en Sven 30 s per rondje. • Na hoeveel seconden zijn ze tegelijkertijd op dezelfe plek? • Daphne en Churandy starten tegelijk op dezelfde plek op de baan. • Daphne 30 s en Churandy 54 s per rondje.
GGD en KGV •
Algoritme van Euclides •
Delers van 41 en 13 •
- Slides: 11