Prednka LS FEM Teria Matice Obsah matice vod

Prednáška – LS – FEM Teória - Matice Obsah: • matice – úvod • ekvivalentné úpravy matíc • hodnosť matice • príklady Matematika LS 2013

3. 2 Matice • Podnik vyrába 3 druhy výrobkov: A, B, C • Používa 4 druhy surovín: v, x, y, z • Ako zapíše podnik spotrebu surovín v jednotlivých kvartáloch? T

3. 2 Matice T Definícia: Nech m, n sú prirodzené čísla. Maticou typu m·n nazývame sústavu m·n reálnych čísel usporiadaných do schémy (tabuľky), obsahujúcej m riadkov a n stĺpcov. Zápis matice typu m·n:

Symboly a označenia • Označenie matíc - veľkými písmenami, napr. A, B, . . . , X, Y. • Reálne čísla aik ( i = 1, 2, . . . , m, k = 1, 2, . . . , n) nazývame prvky matice. • Indexy prvku matice znamenajú: i – poradové číslo riadku, k – poradové číslo stĺpca. T

Druhy matíc T • Štvorcová matica - rovnaký počet riadkov a stĺpcov • Obdĺžniková matica obdĺžniková matica typ 2∙ 4 štvorcová matica typ 3 ∙ 3

Druhy matíc T • Prvky aii v štvorcovej matici (pre i = 1, . . . , n) nazývame diagonálne prvky. • Diagonálne prvky tvoria hlavnú diagonálu štvorcovej matice. • Jednotková matica n-tého stupňa matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sa rovnajú číslu 1 a ostatné sú nuly (označenie E alebo En).

• Vedúcim prvkom riadku matice nazývame prvý nenulový prvok v tomto riadku. T • Ak sú všetky prvky v riadku rovné 0, tak riadok nemá vedúci prvok. • Matica v redukovanom trojuholníkovom tvare: a) vedúci prvok každého nenulového riadku je 1, b) každý stĺpec, obsahujúci vedúci prvok niektorého riadku, má všetky ostatné prvky 0, c) ak ai j a aks sú dva vedúce prvky riadkov matice A a platí i < k, tak aj j < s, d) ak p-tý riadok matice A je nenulový a r-tý riadok je nulový, tak p < r.

Operácie s maticami 1) Súčet matíc: - matice sú rovnakého typu - sčítavame prvky na rovnakých miestach Nech A a B sú matice typu m n. Súčtom matíc A a B nazývame maticu C typu m n s prvkami cij = aij + bij pre i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n.

Operácie s maticami 2) Súčin reálneho čísla k a matice A: - Vynásobíme všetky prvky číslom k Súčinom reálneho čísla k a matice A typu m n nazývame maticu C typu m n s prvkami cij = k aij pre i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n.

3) Súčin matíc: C = A · B Súčinom matice A typu m r s maticou B typu r n nazývame maticu C typu m n s prvkami cik = ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k +. . . + air br k pre i = 1, 2, . . . , m a k = 1, 2, . . . , n. cik = ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k +. . . + air br k T

Hodnosť matice T Definícia: Hodnosť matice A (typu m n) je nezáporné číslo h(A), vyjadrujúce maximálny počet lineárne nezávislých riadkov (resp. stĺpcov) matice A. Označenie hodnosti: h(A)

Veta (o ekvivalentných riadkových - ERÚ, resp. stĺpcových úpravách matice) T Hodnosť matice A sa nezmení, ak: 1) vymeníme poradie jej riadkov (stĺpcov), 2) vynásobíme (vydelíme) niektorý jej riadok (stĺpec) nenulovým číslom, 3) pripočítame k niektorému riadku (stĺpcu) matice A násobok iného riadku (stĺpca) matice A, 4) pridáme alebo vynecháme riadok (stĺpec) v matici A, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov (stĺpcov) matice A.

T • Z matice A po ekvivalentnej úprave dostaneme maticu B, ktoré majú rovnakú hodnosť: h(A) = h(B). • Vtedy hovoríme, že matica A je ekvivalentná s maticou B. • Zápis ekvivalencie matíc: A ~ B. • Hodnosť matice A zistíme tak, že ju upravíme pomocou ERÚ (alebo ESÚ) na trojuholníkový tvar, resp. na redukovaný trojuholníkový tvar.

T • Hodnosť matice v trojuholníkovom tvare, resp. v redukovanom trojuholníkovom tvare sa rovná počtu jej nenulových riadkov. • Uvedený postup úprav matice nazývame Gaussov algoritmus. Poznámka: akú má hodnosť nulová matica? Odpoveď: nula.

T DEF. : Regulárna a singulárna matica Štvorcová matica A stupňa n sa nazýva regulárna, ak pre jej hodnosť platí h(A) = n. Štvorcová matica A stupňa n sa nazýva singulárna, ak pre jej hodnosť platí h(A) < n. singulárna regulárna

Definícia: Inverzná matica T Veta: Inverznú maticu k matici A získame tými istými ekvivalentnými riadkovými úpravami z jednotkovej matice, ktorými dostaneme z matice A jednotkovú maticu.