Prctica 4 Mtodos Directos para Sistemas de Ecuaciones

Práctica 4 Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales v Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales v Método de eliminación de Gauss v Limitaciones de los Métodos Directos

Una red eléctrica a R 1 V I 1 b R 1 R 1 I 2 I 3 I 4 R 2 d R 2 c R 4 R 4 R 3

Una red de calles 200 300 x 1 500 x 2 A B x 3 400 350 100 C x 4 D x 6 x 5 E 600 x 7 F 400 450

Matriz de incidencia

Ecuación del Calor v Modelo matemático v Matriz asociada T 0 T 1 T 2 . . . Tn Tn+1

Teorema de RouchéFrobenius v El sistema Amnx = b es compatible si y sólo si rango(A) = rango(A|b) v Un sistema compatible es determinado sii rango(A) = n v Un sistema compatible indeterminado tiene n – rango(A) variables libres v. Solución xc = xp + núcleo(A)

Eliminación de Gauss Operaciones elementales v Eliminar fila i tomando la fila k como pivote s s lik = aik / akk , aij = aij - lik * akj A(i, : ) = A(i, : ) - L(i, k)*A(k, : ); v Escalar fila i dividiéndola por el pivote aii s s aij = aij / aii A(i, : ) = A(i, : )/A(i, i); v Permutar las filas i y k s s aik aki A([i, k], : ) = A([k, i], : );

Fases de la eliminación v. Sistema inicial v. Triangularización v. Sustitución regresiva Ax = b Ux = c x = A– 1 b

Factorización LU Sistema original Ax = b LUx = b Sistemas triangulares Ly = b Ux = y » [L, U] = lu(a) » [L, U, P] = lu(a) v Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz. v Inversa por el método de Jordan-Gauss

Limitaciones de los Métodos Directos v. Acumulación del error de redondeo u Coste de la eliminación: O(n 3) v. Sensibilidad al error de redondeo Sistemas mal o bien condicionados u Número de condición u v. Estrategia de Pivotación Parcial v. Llenado de la matriz. u Matrices dispersas

Sensibilidad al error de redondeo v. Sistema mal condicionado : u Un pequeño cambio en la matriz causa un gran cambio en la solución. v. Sistema bien condicionado : u Pequeños cambios en la matriz causan pequeños cambios en la solución. v. Condicionamiento de una matriz

Número de condición de una matriz v cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf v rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1 rcond(matsingular) = 0 v rcond y det

Pivotación parcial v. Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionado. v. Estrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columna. v. El operador para resolver Ax = b

Matrices Dispersas v. Creación de matrices dispersas sparse(A) u full(a) u speye(n) u v. Operaciones usuales u + - * lu v. Otras funciones de MATLAB issparse(A) u spy(a) u

Matrices estructuradas v. Matrices banda v. Matrices tridiagonales v. Ecuación del Calor v. Coste de las operaciones con matrices dispersas v. Eliminación en sistemas tridiagonales