Pozitivni i negativni brojevi 0 1 2 3

Pozitivni i negativni brojevi 0 1 2 3 4 5 X Davno, davno ljudi nisu znali za negativne brojeve. Međutim, danas o njima znamo jako puno i teško je zamisliti kako bismo bez njih opisali mnoge pojave. Created by Inna Shapiro © 2007

Pozitivni i negativni brojevi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Zadatak 1. • Otkrij pravilo i nađi brojeve koji nedostaju u praznim poljima: a b c 5 -11 6 32 -18 -14 -17 5 -14 14 11 57

Rješenje c=-(a+b) a b c 5 -11 6 32 -18 -14 -17 5 12 -14 14 0 11 57 -68

Zadatak 2. • Petar je izabrao nekoliko pozitivnih i nekoliko negativnih brojeva na brojevnom pravcu. Marija ih je sve zbrojila i dobila 25. Nakon toga je Petar sve brojeve pomaknuo za 5 ulijevo. Marija je zbrojila nove brojeve i dobila – 35. • Koliko je brojeva Petar izabrao?

Rješenje • Zbroj je bio 25, a nakon izmjene -35. • Stoga je razlika između starog i novog zbroja 25 - (-35) = 60. • Zbroj se je promijenio za onoliko za koliko su se promijenili svi pribrojnici zajedno. Kako se svaki pribrojnik promijenio za 5, zaključujemo da je Petar izabrao 60 : 5 = 12 brojeva.

Zadatak 3. • Koji brojevi nedostaju u praznim poljima ako je svaki broj (počevši od trećeg s lijeve strane) jednak zbroju dvaju prethodnih brojeva (lijevo od njega) ? 2 0

Rješenje Krećemo s popunjavanjem susjednih polja. Prvo ćemo u desno. . . a zatim u lijevo. . . -42 26 -16 10 -6 4 -2 2 0 2 2

Zadatak 4. • Josip ima 9 karata na kojima su napisani brojevi: -6, -4, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6. • Može li on uzeti nekoliko karata tako da zbroj na njima bude – 8 ? • Ako se to može na više načina, možeš li ih nekoliko nabrojati?

Rješenje • • Evo nekoliko načina: -6, -2, -1, 1 -6, -2, -4, 4 -6, -2, -1, 1, -4, 4 -6, -4, 2, -1, 1 -6, -4, -2, -1, 2, 3

Zadatak 5. • Julija tvrdi da može napisati 19 brojeva tako da je zbroj bilo koja 3 uzastopna broja pozitivan, ali da je pritom ukupan zbroj svih brojeva negativan. • Može li se to zaista? ? ?

Rješenje • Može! Na primjer: -7, 4, 4, -7, 4, 4, -7

Zadatak 6. • Zamijeni slova brojevima tako da zbrojevi u svim retcima, stupcima i u obje glavne dijagonale budu jednaki. A 8 B -14 2 C -8 -4 -6 -2 D E 4 F -18 G

Rješenje Uočimo zbroj u jednoj dijagonali: 4 - 2 - 8 - 14 = -20. Toliki zbroj mora biti u svim retcima, stupcima i dijagonalama. -20 A 8 6 B -14 2 -10 C -8 -4 -6 -2 D 0 E -12 4 -16 F -18 G 10 1. stupac: A = -20 - (4 -6+2) = -20 2. redak: C = -20 - (2 -8 -4) = -10 B = -20 - (-20+8 -14) = 6 D = -20 - (6 -8 -18) = 0 E = -20 - (-6 -2+0) = -12 F = -20 - (8 -10 -2) = -16 G = -20 - (4 -16 -18) = 10

Zadatak 7. • Izračunaj: -100 - 99 - 98 -…-1 + 0+ 1 + 2 +…+ 100 + 101

Rješenje • Promijenimo redoslijed pribrojnika: -100 - 99 - 98 -…-1 + 0 + 1 + 2 +…+ 100 + 101= = (-100 + 100) + (- 99 + 99) + … + (-1 + 1) + + 0 + 101 = = 101 • Dakle, rješenje je 101.

Zadatak 8. • Izračunaj: 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … + 301 + 302

Rješenje • Grupirajmo pribrojnike: 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … + 301 + 302 = = 1 + (2 - 3 - 4 + 5) + (6 - 7 - 8 + 9) + … + + (298 - 299 - 300 + 301) + 302 • Kako su rezultati u svim zagradama jednaki 0, traženi rezultat je 1+302 = 303.

Zadatak 9. • Branko je napisao dugačak zbroj: 17 = 17 + 16 + 15 + 14 +…+ X • Koliki je broj X, tj. koji je zadnji broj u njegovom zbroju?

Rješenje • X = -16 jer je 17 + 16 + 15 + 14 +…+ 1 + 0 + (-1) +…+ (-16) = = 17 + 0 = = 17 (suprotni brojevi se ponište)

Zadatak 10. • Popuni ovu tablicu upisujući brojeve 1 i -1 tako da zbroj u svakoj 2 x 2 podtablici bude 0.

Rješenje 1 -1 -1 1

Autorica prezentacije: Inna Shapiro Originalnu prezentaciju na engleskom jeziku možete naći na: http: //www. raisesmartkids. net/ Prevela s engleskog: Antonija Horvatek Najtoplije zahvaljujem kolegici Inni Shapiro na dopuštenju da ovu prezentaciju stavim na svoje web stranice. Antonija Horvatek Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/