Povijest matematike Doba renesanse F M Brckler Ak

Povijest matematike Doba renesanse F. M. Brückler Ak. God. 2008/09

Razvoj matematičke notacije • U renesansi se počinje sustavno razvijati matematička notacija • Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su raširene latinske riječi res i census • U doba renesanse uvode se oznake +, −, =, <, >, √

Njemačka renesansa • Johan Müller (Regiomontanus), 15. st. – trigonometrija; res-census terminologija • Johannes Widman, 15. st. – prvo korištenje znakova + i − • Michael Stifel, 16. st. – koristi znakove + i − te √ (Arithmetica integra, 1544. ), za 24: 8 pište 8)24, ima i oznake za potencije

• Christoff Rudolff, 16. st. – prva njemačka knjiga o algebri (1525. Die Coss kosisti), oznake za treći i četvrti korijen: • Adam Riese, 16. st. – aritmetički udžbenik “za svakog”

Engleska renesansa • Robert Recorde, 16. st. – znak = • Thomas Harriot, 16. -17. st. – znakovi < i >; sferna trigonometrija i kartografija; uočio da ako su a, b, c rješenja kubne jednadžbe, možemo ju zapisati u obliku (x-a)(x-b)(xc)=0

Francuska renesansa • Nicolas Chuquet, 15. st. – prva francuska knjiga o algebri (1484. ), potencije s pozitivnim i negativnim koeficijenitima (i nulom), npr. 123 odgovara današnjem 12 x 3 • François Viète (1540. -1603. ) – predlaže korištenje suglasnika za konstante, a samoglasnika za nepoznanice • Koristi +, −, razlomačku crtu

Talijanska renesansa • Fra Luca Pacioli (1445. -1517. ) Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita: res-census terminologija, p. za +, m. za −, R. za √ 6. p. R. 10 18. m. R. 90 108. m. R. 3240. p. R. 3240. m. R. 90 hoc est 78. (6 + √ 10) (18 - √ 90) = (108 - √ 3240 + √ 3240 - √ 900) (Broj 90 je zapravo štamparska što je 78. greška: treba biti 900 ali je margina bila preuska pa je odbačena zadnja nula)

• Rafael Bombelli (1526. -1572. )

Renesansna algebra • Rješenje jednadžbe u radikalima je opis (formula) rješenje opisana preko četiri osnovne računske operacije i korijena (konačno mnogo operacija!) • Mogu li se jednadžbe stupnja 3 riješiti u radikalima? A što je s jednadžbama stupnja 4?

• Fra Luca Pacioli u Summa-i: diskusija jednadžbi 4. stupnja: x 4 = a + bx 2 se može riješiti preko kvadratne jednadžbe, a x 4 + ax 2 = b i x 4 + a = bx 2 se ne mogu riješiti pri trenutnom stanju znanosti • matematičari renesanse znaju da je dovoljno znati riješiti kubnu jednadžbu bez kvadratnog člana: y 3 + Ay 2 + By + C = 0 y =x − A/3 x 3 + px = q

• nepoznati neg. brojevi više tipova kubnih jednadžbi: x 3 + px = q x 3 = px + q x 3 + q = px • Scipione del Ferro (1465. -1526. ) – ca. 1515. rješava reduciranu jednadžbu prvog tipa, postupak drži tajnim • poslije njegove smrti to rješenje imaju (bar) njegov zet Hannibal Nave te student kojem je del Ferro pred smrt otkrio metodu (Antonio Fior, osrednji matematičar, hvali se poznavanjem rješenja)

Niccolo Fontana Tartaglia (1499 -1557) • samouk matematičar, 1512. kad su Francuzi osvojili Brescia-u usred općeg pokolja dobija udarac sabljom u čeljust koja mu je rasječena i ostavljen je kao mrtav, zahvaljujući majčinoj brizi preživljava, no ostaje mu nakaznost i teškoće u govoru zbog kojih dobiva nadimak Tartaglia = mucavac

• Tartaglia rješava jednadžbu tipa x 3 + px 2 = q i ne taji svoje otkriće • Fior ga izaziva na natjecanje (1535): svaki zadaje 30 zadataka, rok 50 dana, pobjednik je tko riješi više • Tartaglia je očekivao da će svi Fiorovi zadaci biti istog tipa; razvija vlastitu, u biti del Ferrovu, metodu za ostale tipove i pobjeđuje (u 2 sata riješio sve Fiorove probleme)

Girolamo Cardano 1501. -1576. • Liječnik iz Pavia-e • Buran renesansni život • Cardano saznaje za natjecanje i postojanje rješenja kubne jednadžbe, želi saznati Tartaglia-inu metodu i poziva ga 1539. u Milano • uspijeva ga nagovoriti, uz zakletvu da metodu neće odati

Kad su kub i stvari* skupa Jednaki nekom diskretnom broju Nađi druga dva broja Koji se za taj razlikuju Tad ćeš to zadržati kao naviku Da im je produkt uvijek jednak Točno kubu treće od stvari Ostatak tad kao opće pravilo Od njihovih oduzetih kubnih korijena Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari Rješenje kubne jednadžbe * cosa = stvar (sinonim za nepoznanicu u doba renesanse); algebraičari = kosisti cosa i kub = jednadžba x 3 + ax = b (a, b > 0)

• Cardano i student mu Ferrari razvijaju metodu do kraja, a saznaju i da Tartaglia nije prvi koji je otkrio rješenje 1545 Cardano objavljuje Ars magna u kojoj je rješenje jednadžbi 3. i 4. stupnja (uz isticanje otkrića del Ferra i Tartagliae) • Tartaglia 1546 objavljuje svoju verziju priče, napada Cardana, za čiju obranu je zadužen Ferrari, koji ga izaziva na natjecanje (u Milanu 1548) – Tartaglia napušta natjecanje

Metoda: x 3 = 3 px + 2 q pretpostavimo da je rješenje oblika x=u+v

Pojava kompleksnih brojeva • Cardano – rješavanje prethodne jednadžbe • Rafael Bombelli 1572. daje prva pravila za rad s kompleksnim brojevima • Jednostavno je pretpostavio da postoje brojevi oblika a+√b i primijenio uobičajena pravila

http: //math. fullerton. edu/mathews/n 2003/Complex. Number. Origin. html

Lodovico Ferrari (2. 2. 1522. -5. 10. 1565. ) Riješio je jednadžbu 4. stupnja svođenjem na jednadžbe 2. i 3. stupnja: za slučaj jednadžbe bez kubnog člana, iz x 4 + px 2 + qx + r = 0 svodimo na potpun kvadrat: x 4 + 2 px 2 + p 2 = px 2 - qx + p 2 - r (x 2 + p)2 = px 2 - qx + p 2 - r E, sad: za svaki y je (x 2 + p + y)2 = px 2 - qx + p 2 - r + 2 y(x 2 + p) + y 2 = (p + 2 y)x 2 - qx + (p 2 - r + 2 py + y 2) (*)

Desna strana je kvadratna u x i možemo odabrati y tako da bude potpun kvadrat (tj. diskriminanta bude 0 – taj uvjet daje kubnu jednadžbu za y: -8 y 3 -20 py 2+(8 r-16 p 2)y+q 24 p 3+4 pr=0). Riješimo tu kubnu jednadžbu- za dobiveni y je desna strana u (*) potpun kvadrat, pa korjenujemo i dobijemo kvadratnu jednadžbu za x: x 2+p+y=kv. korijen desne strane.

François Viète (1540 -1603) Quod est, nullum non problema solvere. – Nema problema koji se ne može riješiti. • dao prvu jednadžbu stupnja n s n rješenja • Arhimedovom metodom, upisivanjem 393216 erokuta izračunao je π na 9 decimala • dao, koliko je poznato, najstariji prikaz broja π kao beskonačnog produkta • Viètove formule • vidi: Osječka matematička škola, 2 (2002), br. 2

• Viète – pravnik i hobi-matematičar, savjetnik kraljeva Henrika III i IV • 1590 dešifrirao španjolski kod • 1593 belgijski matematičar Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus, 1561 -1615) zadaje zadatak s jednadž-bom stupnja 45; nizozemski ambasa-dor u Francuskoj izjavljuje da Francus-ka nema dovoljno dobrih matematičara da riješe van Roomenov problem kralj Henrik IV ga daje Vièteu, koji ga rješava uočivši u njegovoj pozadini trigonometrijsku relaciju

Otkriće logaritama

Zašto uvesti logaritme? • lakše je zbrajati nego množiti korisno je moći svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja • ideja: napraviti tablice koje brojevima koje treba množiti pridružuju brojeve koje ćemo umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara dobivenom zbroju • dva izvora otkrića logaritama: izrada trigonometrijskih tablica za korištenje u navigaciji; kamatni račun

• 1593. dva danska matematičara predlažu korištenje trig. tablica za olakšanje računa pomoću formule sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B) • npr. za 0. 17365· 0. 99027, u tablicama nađemo 0. 17365 = sin(10), 0. 99027 = cos(8) te iz formule slijedi 0. 17365· 0. 99027 =sin(10)cos(8) = (sin(18) + sin(2))/2 = /tablice/ = (0. 30902 + 0. 03490 )/2 = 0. 17196

Tko je izmislio logaritme? • John Napier (Neper, 1550 -1617) • škotski aristokrat, fanatični protestant, glavni interes mu je teologija i održava-nje svojih imanja, a matematika je hobi • najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat: tablica logaritama • Joost Bürgi (1552 -1632) • najpoznatiji švicarski urar svog doba, konstruirao više znanstvenih instrumenata • radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

Napierova konstrukcija logaritama • Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614. • ideja: parovi nizova (uz fiksnu bazu: aritmetički niz eksponenata i pripadni geometrijski niz potencija): zbroj/razlika eksponenata odgovaraju produktima/kvocijentima potencija • prvo je svoje eksponente zvao “umjetni brojevi”, kasnije je smislio složenicu od “logos” i “arithmos”

Nap. Log je padajući i nema baš svojstva koja danas očekujemo od logaritma

Promatramo paralelno gibanje dvije točke A i B. Točka A se giba konstantnom brzinom (107) njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima čine aritmetički niz. Točka B giba se od 0 do 107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada i brzine u uzastopnim intervalima čine geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po iznosu jednaka putu koji još treba preći). Udaljenost koju je točka A prešla do n-tog trenutka Napier zove logaritmom od udaljenosti koju B još treba preći u tom trenutku.

Briggsov doprinos • Henry Briggs (1561 -1630) – prof. geometrije u Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, 1615. putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira o logaritmima • već prije posjeta je u pismu predložio izradu tablice onog što bismo danas zvali dekadskim logaritmom i počeo ju konstruirati (dakle, predlaže log(1) = 0, log(10) = 1) • Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu log. od brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14 decimala • Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike broja (mantisa je najveće cijelo brojeva dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

A što je napravio Bürgi? • tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620. • promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s bazom 1, 0001 i promjene potencije koje uzrokuju promjenu eksponenta za 1 • tablica N, L za L=0, 1, 2, . . . • vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova • finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104) nova tablica (de facto samo izmjena baze na (1+0, 0001)10000) – ponavljanje postupka dovodi do toga da je baza sve bliža broju e

geometrijski: ako je N=1, 000110000 L i L=0, 0001 onda se prirasti L mogu prikazati kao pravokutnici širine N i visine 1/N gdje se za svaki N njegov prirast N bira tako da je površina pravokutnika L; Tada je L suma tih prirasta od 1 do N – što je aproksimativno ln N! N

Primjene matematike u fizici i astronomiji

Nikola Kopernik (1473 -1543) • od ca. 1510. razvija koncept heliocentričnog sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ) • prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno retrograd-no kretanje planeta • De revolutionibus orbium coelestium (1543) – pregled pripadne matematičke teorije • naizgled lošije od Ptolomeja: Kopernik pretpostavlja kružne orbite mjerenja naizgled bolje odgovaraju Ptolomejevom nego njegovom koceptu

• Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu, je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant, Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu; Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio luteranskom teologu A. Osianderu koji je već imao iskustva s tiskanjem matematičkih tekstova • Osiander je umjesto originalnog Kopernikova predgovora umetnuo pismo čitateljima u kojima kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji način računanja pozicija nebeskih tijela; • također je malo izmijenio naslov tako da manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

Galileo Galilei (1564 -1642) • obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom, fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i matematikom (prije svega kao argument u svojim fizikalnim i astronomskim radovima), ali i glazbom i slikanjem • 1609. izradio vlastiti teleskop i pomoću njega otkrio kratere na Mjesecu, Sunčeve pjege, četiri najveća Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje dokazuju kopernikanski stav: moguće su samo ako je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).

predložio Galilejsku relativnost: svuda vrijede iste definicije gibanja Galilejeve transformacije (točne za male brzine, za velike ih se mora zamijeniti Lorenzovim) 1632. Dijalog od dva glavna sustava svijeta – zamišljeno kao rasprava između kopernikanskog i ptolomejskog sustava, ismijava argumente Crkve pada u nemilost, prisiljen odreći se kopernikanskih stavova i stavljen je u kućni pritvor; u kućnom pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima, matematički vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e dimonstrationi matematiche)

Johannes Kepler (1571 -1630) • 1596. Mysterium cosmographicum – prvi kozmološki model, mistički pitagorejski pogledi na svemir • uvjereni pristaša kopernikanske teorije • uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim tablicama – analizira ih nakon Braheove smrti • iz računa zaključuje da su planetarne orbite elipse Keplerov prvi kozmološki model (1596)

Astronomia Nova (1609 – tri Keplerova zakona kretanja planeta 1. planeti se kreću po elipsama u čijem jednom fokusu je Sunce 2. radij-vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prelazi jednake površine 3. kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini glavne poluosi orbite (Harmonices mundi , 1619) Keplerova eliptička orbita za Mars

Simon Stevin (1548 -1620) • Belgijanac, vanbračno dijete, majka se kasnije vjenčala u kalvinističku obitelj • radio razne činovničke poslove, tek s 35 godina upisao sveučilište (Leiden) • važni doprinosi u trigonometriji, mehanici, arhitekturi i utvrđivanju, glazbi, zemljopisu i navigaciji • 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana o decimalnim razlomcima (koje su prije njega koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u Evropu); komentira da je opće uvođenje decimalnih mjernih jedinica samo pitanje vremena

• 1586 De Beghinselen der Weegconst: teorem o trokutu sila (poticaj razvoja statike); treatise De Beghinselen des Waterwichts: hidrostatika – razvoj Arhimedovih ideja; tlak tekućine na plohu ovisi o visini tekućine i površini plohe. • 1586 (3 godine prije Galilea): različite mase danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u Delftu) • 1608 De Hemelloop: astronomija – zagovornik Kopernika • piše i o perspektivi (čak za slučaj da platno nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi: gdje treba biti oko promatrača ako znamo gdje je objekt i kakva mu je slika)

Primjena matematike u likovnoj umjetnosti u doba renesanse • Zlatni rez kao idealni omjer • Pravila linearne perspektive

De divina proportione, (1509) – Luca Pacioli Luca Paciooli kako ga je prikazao Jacopo de Barbari, 1495

ilustracije: da Vinci tema: zlatni rez, poliedri. . . http: //www. georgehart. com/virtual-polyhedra/leonardo. html

http: //www. math. nus. edu. sg/aslaksen/projects/perspective/ Pravila linearne perspektive • F. Brunelleschi – ca. 1415. ponovno otkriva pravilo jedinstvene izbježne točke paralelnih pravaca koji ne leže u ravnini slike, izračunavanje veličine slike objekta

• L. Alberti – De Pictura (1445. ): prvo cjelovito djelo o pravilima perspektive • P. Della Francesca – više matematičkih djela o perspektivi, s vlastitim teoremima (De prospectiva pingendi) P. Della Francesca: Bičevanje Krista

Albrecht Dürer (1471 -1528) • iz Nürnberga, treće od 18 djece Mađara (Ajtos Türer Dürer), otac mu je bio draguljar • već s 13 godina se ističe kao slikar, od 1486 radi kao šegrt u radionici za oltare, 1494 se ženi bogatom nasljednicom • put u Italiju 1494. -95. : iako nije upoznao nikog od većih matematičara, a niti Leonarda, saznao je o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost počinje proučavati matematička djela (EE idr. )

• od ca. 1500 pokazuje matematički utjecaj u svojim djelima, u to doba postaje i slavan • nakon smrti oca 1502. Dürer se mora brinuti za invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima težak život koji mu uništava zdravlje • 1505. -7. opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a zanima ga učenje matematike • od 1508. skuplja materijale za djelo o primjeni matematike u umjetnosti, postavio osnove nacrtne geometrije • 1514. Melankolija – prvi magični kvadrat u Evropi • 1525. Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit matematika za umjetnike; tu se nalaze i Dürerove krivulje, konstrukcije pravilnih poligona, . . .

Melankolija (1514. )

Serija drvoreza “Život djevice” (ima ih još. . . )