Potenciranje i korjenovanje komleksnih brojeva Potenciranje kompleksnih brojeva

Potenciranje i korjenovanje komleksnih brojeva

Potenciranje kompleksnih brojeva Množenje komleksnih brojeva zadano je formulom Ukoliko su z 1 i z 2 isti brojevi ( i ) dobiti ćemo: Pomnožimo li to još jednom brojem z slijedi:

Zaključujemo: Poopćenjem dobivamo tzv. De Moivrevu formulu vrijedi dakle :

Abraham de Moivre (1667. -1754. ) -engleski matematičar -bavio se matematičkom analizom i teorijom vjerojatnosti. Predaja kaže da je prorekao dan svoje smrti. Uočio je da svakog dana spava 15 minuta duže pa je aritmetičkom progresijom zaključio da će umrijeti onaj dan kada bude spavao 24 sata. Navodno se tako i dogodilo.

Primjer 1. Izračunaj:

Rješenje:

Zadaci: l 1. Rj. l 2. Rj. l 3. Rj. l 4. Rj.

Korjenovanje kompleksnih brojeva n-ti korijen kompleksnog broja z je svako rješenje jednadžbe. Pišemo:

Odredimo li n-ti korijen kompleksnog broja z, z≠ 0. Brojeve z i w prikazujemo u trigonometrijskom obliku: Tada iz Slijedi: Cijeli broj: 0, 1, . . . , n-1 Pozitivan realni broj

Korijen kompleksnog broja n-ti korijen kompleksnog broja ima točno n različitih vrijednosti: Svi brojevi imaju isti modul leže na kružnici sa središtem u ishodištu, radijusa. Argumenti tih brojeva razlikuju se za 2π/n čine pravilni n-terokut u kompleksnoj ravnini.

Prikaz trećeg korijena broja: -1+i

Prikaz četvrtog korijena broja: 16

Primjer 2. Odredimo sve vrijednosti korijena te sve vrijednosti korijena prikazanih u prošlim crtežima.

Zadaci: Udžbenik str. 75. zadaci: 15. 1), 7) 16. 1) 18. 2) 21. 25. 2), 3) DZ. 15. 4), 5) 16. 2), 3) 18. 1) 20. 22. 25. 1), 4)