Potencije s bazom 10 U knjinici Potentia 10

Potencije s bazom 10

U knjižnici Potentia 10 je polica. Na svakoj se polici nalazi 10 knjiga, svaka knjiga ima 10 stranica i na svakoj je stranici 10 redaka, a u svakom je retku po 10 riječi. Svaka riječ ima 10 slova. Koliko je ukupno slova u knjižnici? 10 ∙ 10 ∙ 10 = 106 6 faktora Brojevni izraz: 10 ∙ 10 ∙ 10 Kraći zapis: potencija 106 (čitaj: deset na šestu) Vrijednost izraza: 1 000 (6 nula) U umnošku gdje su svi faktori jednaki, množenje možemo kraće zapisati kao potenciju. Takvu računsku radnju nazivamo potenciranje.

Potencija je kraći zapis umnoška jednakih faktora. (čitaj: a na entu) n a =b eksponent (broj koji kazuje koliko ima jednakih faktora) vrijednost potencije baza (broj koji množimo samim sobom) an = a ∙ a ∙. . . ∙ a n faktora → n – ta potencija broja a

Potencije broja 10 103 = 10∙ 10 = 1000 102 = 10∙ 10 = 100 101 = 10 Vrijednost potencije broja 10 ima onoliko nula koliki je eksponent potencije. Izraz 10 n = 10 ∙. . . ∙ 10 nazivamo n tom potencijom broja 10. n faktora

Po dogovoru uzima se zapis a 1 = a. Svaki broj s eksponentom 1 jednak je samom sebi. Eksponent 1 možemo izostaviti.

Razlikuj (− 10)n od − 10 n. a) (− 10)3 = (− 10) ∙ (− 10) = − 1 000 b) − 103 = − 10 ∙ 10 = − 1 000 c) (− 10)2 = (− 10) ∙ (− 10) = 100 d) − 102 = − 10 ∙ 10 = − 100 Potencije s negativnom bazom, a parnim eksponentima imaju pozitivan rezultat. Potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentima imaju negativan razultat. Redoslijed računskih operacija: Ako zagrade ne određuju redoslijed računskih radnji, najprije obavljamo potenciranje. Pr. 1. 1 000 : 102 = 1 000 : 100 = 10

Računanje s potencijama kojima je baza 10 množenje i dijeljenje potencija Zad. 1. Zapiši umnožak kao potenciju a) 102 ∙ 103 = 10 ∙ 10 = 105 b) (− 10)1 ∙ (− 10)3 = (− 10) ∙ (− 10) = (− 10)4 c) 11 ∙ 12 ∙ 17 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 110 Dakle, vrijedi: 102 ∙ 103 = 102 + 3 = 105 Općenito: 10 m ∙ 10 n = 10 m + n Množenje potencija jednakih baza: Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo. m n m+n a ∙a = a

Zad. 2. Zapiši količnik kao potenciju Dakle, vrijedi: 103 : 102 = 103 - 2 = 101 Općenito: 10 m : 10 n = 10 m - n Dijeljenje potencija jednakih baza: Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. am : a n = a m – n

102 : 102 = 102 – 2 = 100 103 : 103 = 1000 : 1000 = 1 a 0 = 1 → bilo koji broj na nultu je jedan am : a m = a 0 = 1 Računanje s potencijama kojima je baza 10 potenciranje umnoška i količnika Zad. 3. Potenciraj umnožak (10 ∙ a)4 = (10 ∙ a) ∙ (10 ∙ a) = = (10 ∙ 10) ∙ (a ∙ a∙ a) = = 104 ∙ a 4 = 10 000 a 4 Potenciranje umnoška: Umnožak potenciramo tako da potenciramo svaki njegov faktor, a dobivene vrijednosti pomnožimo. (a ∙ b)n = an ∙ bn Potencija umnoška jednaka je umnošku potencija.

Zad. 4. Potenciraj količnik Potencija količnika: Potencija količnika jednaka je količniku potencija djeljenika i djelitelja. (a : b)n = an : bn

Računanje s potencijama kojima je baza 10 potenciranje potencije Zad. 5. Izračunaj (102)3 = 102 ∙ 102 = 102 + 2 = 106 Dakle, vrijedi: (102)3 = 102 ∙ 3 = 106. Vrijedi i općenito: (10 m)n = 10 m ∙ n. Potenciranje potencije: Potenciju potenciramo tako da bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo. (am)n = am ∙ n

Potencije s bazom 10, eksponentom nula i negativnim cjelobrojnim eksponentom Zad. 6. Izračunaj količnik 102 : 105. Prema pravilu za dijeljenje potencija kojima je baza 10 slijedi: 102 : 105 = 102 – 5 = 10– 3. Dakle: Potencija sa cjelobrojnim eksponentom: Potencija s bazom 10 i negativnim cjelobrojnim eksponentom jednaka je potenciji baze sa suprotnim (pozitivnim) eksponentom.

Računanje s potencijama kojima je baza 10 zbrajanje i oduzimanje potencija Zad. 7. Izračunaj spretno upotrijebivši svojstvo distributivnosti množenja. 3 ∙ 102 + 2 ∙ 102 = 102 ∙ (3 + 2) = 102 ∙ 5 = 100 ∙ 5 a ∙ c ± b ∙ c = (a ± b) ∙ c = 500 Zbrajanjem i oduzimanjem mogu se pojednostavniti samo one potencije koje imaju jednake baze i jednake eksponente. Potencije jednakih baza i jednakih eksponenata se zbrajaju ili oduzimaju tako da im zbrojimo/oduzmemo koeficijente pa taj rezultat pomnožimo zajedničkom potencijom. Zad. 8. Izračunaj: 3 ∙ 53 + 2 ∙ 53 − 7 ∙ 53 = (3 + 2 − 7) ∙ 53 = − 2 ∙ 53

Znanstveni zapis broja Vrlo velike ili vrlo male brojeve ponekad je teško međusobno usporediti. Zato ih često pišemo u obliku umnoška broja između 1 i 10 i potencije s bazom 10. Takav se zapis često naziva znanstvenim (standardnim) zapisom racionalnog broja. Primjerice, brojevi 6. 3 ⋅ 1012, 7. 68 ⋅ 10 -5, 3. 24 ⋅ 104 primjeri su brojeva zapisanih u znanstvenom zapisu. Zad. 9. Zapiši pregledno u obliku umnoška, tako da jedan od faktora bude potencija s bazom 10. 295 000 = 295 ⋅ 106 Za znanstveni zapis broja ispred decimalnetočke moramo imati točno jednu znamenku različitu od nule. 295 ⋅ 106 = 2. 95 ⋅ 102 ⋅ 106 = = 2. 95 ⋅ 102 + 6 = = 2. 95 ⋅ 108