Potencije s bazom 10 Potencije s bazom 10

Potencije s bazom 10 • Potencije s bazom 10 i prirodnim eksponentom • Računanje s potencijama kojima je baza 10 – množenje i dijeljenje potencija • Računanje s potencijama kojima je baza 10 – potenciranje potencije • Potencije s bazom 10, eksponentom nula i negativnim cjelobrojnim eksponentom • Računanje s potencijama kojima je baza 10 – zbrajanje i oduzimanje potencija • Znanstveni zapis broja

Potencije s bazom 10 Od davnih je vremena bilo problema s imenovanjem velikih brojeva. U Grčkoj je najveći broj koji je imao svoj naziv bio mirijada, označujući deset tisuća (pišemo 104). Upravo je Arhimed stvorio poseban sustav označivanja brojeva većih od mirijade. Podijelio je brojeve na periode i redove. U brojeve prvog reda prvog perioda ubrojio je brojeve do broja koji zapisujemo 108. Arhimed je procijenio da je najveći broj 1080 000 000 000! U knjižnici Potentia 10 je polica. Na svakoj se polici nalazi 10 knjiga, svaka knjiga ima 10 stranica i na svakoj je stranici 10 redaka, a u svakom je retku po 10 riječi. Svaka riječ ima 10 slova. Koliko je ukupno slova u knjižnici? 10 ∙ 10 ∙ 10 = 106 6 faktora Brojevni izraz: 10 ∙ 10 ∙ 10 Kraći zapis: potencija 106 (čitaj: deset na šestu) Vrijednost izraza: 1 000 (6 nula) U umnošku gdje su svi faktori jednaki, množenje možemo kraće zapisati kao potenciju. Takvu računsku radnju nazivamo potenciranje.

Potencije s bazom 10 Potencija je kraći zapis umnoška jednakih faktora (čitaj: a na entu) n a =b eksponent (broj koji kazuje koliko ima jednakih faktora) vrijednost potencije baza (broj koji množimo samim sobom) an = a ∙ a ∙. . . ∙ a n faktora za n prirodni broj Vrijednost potencije broja 10 ima onoliko nula koliki je eksponent potencije. Izraz 10 n = 10 ∙. . . ∙ 10 (čitaj: deset na entu) nazivamo n tom potencijom broja 10.

Potencije s bazom 10 Po dogovoru uzima se zapis a 1 = a. Svaki broj s eksponentom 1 jednak je samom sebi. Eksponent 1 možemo izostaviti.

Potencije s bazom 10 Razlikuj (− 10)n od − 10 n. a) (− 10)3 = (− 10) ∙ (− 10) = − 1 000 b) − 103 = − 10 ∙ 10 = − 1 000 c) (− 10)2 = (− 10) ∙ (− 10) = 100 d) − 102 = − 10 ∙ 10 = − 100 Potencije s negativnom bazom, a parnim eksponentima imaju pozitivan rezultat. Potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentima imaju negativan razultat. Ako zagrade ne određuju redoslijed računskih radnji, najprije obavljamo potenciranje. 1 000 : 102 = 1 000 : 100 = 10

Potencije s bazom 10 Računanje s potencijama kojima je baza 10 – množenje i dijeljenje potencija Arhimed (3. st. pr. Kr. ) bio je jedan od najistaknutijih učenjaka. Između ostalog se bavio matematikom, fizikom i astronomijom. U cijelom je svijetu poznat njegov usklik: Eureka! (Našao sam!) te rečenica: Dajte mi polugu i sam ću podići Zemlju. Izračunao je i mogući broj zrnaca pijeska u svemiru. Arhimed je mislio, kao i njegovi suvremenici, da je svemir ograničen. Određujući njegovu veličinu, izračunao je broj zrnaca pijeska u svemiru nije veći od 103 ∙ 104 ∙ 1056, odnosno 1063. Zapišimo umnožak kao potenciju. a) 102 ∙ 103 = 10 ∙ 10 = 105 b) (− 10)1 ∙ (− 10)3 = (− 10) ∙ (− 10) = (− 10)4 c) 11 ∙ 12 ∙ 17 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 110 Dakle, vrijedi: 102 ∙ 103 = 102 + 3 = 105. Vrijedi i općenito: 10 m ∙ 10 n = 10 m + n. Iz primjera uočavamo sljedeće pravilo: Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo. am ∙ an = (a ∙ a ∙. . . ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙. . . ∙ a) = am + n am ∙ a n = a m + n m faktora n faktora m, n – prirodni brojevi

Potencije s bazom 10 Zapišimo količnik kao potenciju. Dakle, vrijedi: 103 : 102 = 103 – 2 = 101. Vrijedi i općenito: 10 m : 10 n = 10 m – n. Iz primjera uočavamo sljedeće pravilo: Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. m faktora am : an a ⋅. . . ⋅ a = = am – n a ⋅. . . ⋅ a n faktora am : a n = a m – n m, n – prirodni brojevi m>n

Potencije s bazom 10 102 : 102 = 102 – 2 = 100 103 : 103 = 1000 : 1000 = 1 am : a m = a 0 = 1 Kad bi pravilo o dijeljenju potencija primijenili na am : am dobili bi a 0. S druge strane, dijeljenjem dvaju istih brojeva dobivamo 1. Zato definiramo da je a 0 = 1. Potencirajmo umnožak. (10 ∙ a)4 = (10 ∙ a) ∙ (10 ∙ a) = = (10 ∙ 10) ∙ (a ∙ a∙ a) = = 104 ∙ a 4 = 10 000 a 4 Umnožak potenciramo tako da potenciramo svaki njegov faktor, a dobivene vrijednosti pomnožimo. (a ∙ b)n = an ∙ bn Potencija umnoška jednaka je umnošku potencija.

Potencije s bazom 10 Potencirajmo količnik. Potencija količnika jednaka je količniku potencija djeljenika i djelitelja. (a : b)n = an : bn

Potencije s bazom 10 Računanje s potencijama kojima je baza 10 – potenciranje potencije Engleski pisac Herbert George Wells (1886 - 1946. ) bio je pisac znanstvenofantastičnih djela. U pripovijesti Prvi ljudi na Mjesecu inteligentni kukci koji stanuju na Mjesecu služe se jedinicom duljine koja se naziva lunar. Brojevi koji označuju volumen Mjeseca i njegove površine su jednaki. Kada bismo htjeli saznati koliko metara ima lunar, mogli bismo se poslužiti formulom 4/3 r 3 = (2 r)2, u kojoj r označuje duljinu promjera Mjeseca koji je izražen u lunarima. (Duljina promjera Mjeseca iznosi oko 1 738 km). Da bi riješili taj problem, moramo izačunati (2 r)2, odnosno izvršiti potenciranje umnoška. Izračunajmo (102)3 = 102 ∙ 102 = 102 + 2 = 106 Dakle, vrijedi: (102)3 = 102 ∙ 3 = 106. Vrijedi i općenito: (10 m)n = 10 m ∙ n. Potenciju potenciramo tako da bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo. (am)n = am ∙. . . ∙ am = am ∙ n n faktora (am)n = am ∙ n

Potencije s bazom 10, eksponentom nula i negativnim cjelobrojnim eksponentom Na slici je virus gripe. Njegova masa iznosi 707 ∙ 10 -15 grama. Promotrimo količnik 100 : 100, tj. 102 : 102. Znamo da je 100 : 100 = 1 pa je i 102 : 102 = 1. Iz pravila za dijeljenje potencija jednakih baza slijedi: 102 = 102 – 2 = 100. Budući da je 102 : 102 = 100, zaključujemo: 100 = 1. Potencija s bazom 10 i eksponentom 0 jednaka je 1. Izračunajmo količnik 102 : 105. Prema pravilu za dijeljenje potencija kojima je baza 10 slijedi: 102 : 105 = 102 – 5 = 10– 3. Dakle: 10– 3 =

Potencije s bazom 10 Potencija s bazom 10 i negativnim cjelobrojnim 1 eksponentom jednaka je potenciji baze 10 sa suprotnim (pozitivnim) eksponentom. Međunarodni dogovoreni izrazi za potencije broja 10 Prefiksi za male brojeve Prefiksi za velike brojeve

Potencije s bazom 10 Računanje s potencijama kojima je baza 10 – zbrajanje i oduzimanje potencija Zadaci vezani za potenciranje dio su više povijesnih anegdota. Evo jedne od njih. U 17. stoljeću jedan je poljski velikaš, želeći pokazati svoju raskoš, naručio za svoga konja srebrne potkove ukrašene zlatnim zakovicama. Cijena mu se učinila previsoka, pa se kovač ponudio da potkove napravi besplatno, a zauzvrat da za 24 zlatne zakovice velikaš plati sljedeće: za prvu zakovicu 2 novčića, za drugu 4, za treću 8 novčića itd. – za svaku sljedeću zakovicu velikaš je trebao platiti dvostruko višu cijenu od vrijednosti prethodne zakovice. Velikaš je pristao, ali se jako iznenadio kada je kovač rekao ukupnu cijenu. Izračunaj spretno upotrijebivši svojstvo distributivnosti množenja. 3 ∙ 102 + 2 ∙ 102 = 102 ∙ (3 + 2) = = 102 ∙ 5 = = 100 ∙ 5 = = 500 a ∙ c ± b ∙ c = (a ± b) ∙ c Zbrajanjem i oduzimanjem mogu se pojednostavniti samo one potencije koje imaju jednake baze i jednake eksponente. Potencije jednakih baza i jednakih eksponenata se zbrajaju ili oduzimaju tako da im zbrojimo/oduzmemo koeficijente pa taj rezultat pomnožimo zajedničkom potencijom. Izračunaj: 3 ∙ 53 + 2 ∙ 53 − 7 ∙ 53 = (3 + 2 − 7) ∙ 53 = = − 2 ∙ 53

Potencije s bazom 10 Znanstveni zapis broja Blaise Pascal (1623. – 1662. ) napravio je jedan od prvih strojeva za računanje, jedini čiji primjerci i danas postoje. Stroj je napravio kad je imao 19 godina da bi ocu olakšao poslovna računanja. Napravio je 50 primjeraka za komercijalnu prodaju ali je novčani uspjeh izostao jer je cijena proizvodnje stroja bila prevelika. Vrlo velike ili vrlo male brojeve ponekad je teško međusobno usporediti. Zato ih često pišemo u obliku umnoška broja između 1 i 10 i potencije s bazom 10. Takav se zapis često naziva znanstvenim (standardnim) zapisom racionalnog broja. Primjerice, brojevi 6. 3 ⋅ 1012, 7. 68 ⋅ 10 -5, 3. 24 ⋅ 104 primjeri su brojeva zapisanih u znanstvenom zapisu. Zapiši pregledno u obliku umnoška, tako da jedan od faktora bude potencija s bazom 10. 295 000 = 295 ⋅ 106 Za znanstveni zapis broja ispred decimalnetočke moramo imati točno jednu znamenku različitu od nule. 295 ⋅ 106 = 2. 95 ⋅ 102 ⋅ 106 = = 2. 95 ⋅ 102 + 6 = = 2. 95 ⋅ 108

Potencije s bazom 10