POTENCIJE Potencije 1 POTENCIJE n a EKSPONENT BAZA

POTENCIJE Potencije 1

POTENCIJE n a EKSPONENT BAZA Broj a naziva se baza ili osnovica potencije, dok se broj n naziva eksponent potencije. Potencije 2

n ka = n k∙a koeficijent potencije an Potencije 3

Potencije se koriste: - pri zapisu formula (formula za površinu kvadrata P = a a = a 2 ) - pri zapisu velikih i malih brojeva u fizici, kemiji, . . . Npr. Brzinu svijetlosti zapisat ćemo c = 3 108 m/s, umjesto c = 300 000 m/s Starost Zemlje zapisat ćemo 4, 5 109 god. umjesto 4 500 000 godina Promjer atoma vodika zapisat ćemo 10 -10 m umjesto 0, 000001 m Potencije 4

Potencija broja s prirodnim eksponentom Neka je a realan, a n prirodan broj. n-tom potencijom broja a nazivamo umnožak u kojem se broj a javlja n puta. n a =a ·a ·a ·… ·a n faktora Primjer 1. 2 2 2 = 25 Potencije 5

Potencija s negativnim cjelobrojnim eksponentom Ako je n prirodan broj i a realan broj različit od nule, tada je a -n = Primjer: 3 -2 = Potencije 6

Znanstveni ili standardni zapis realnog broja Potencije 7

Zadaci 1. 1. Napiši svaki od sljedećih brojeva u standardnom obliku: a) prosječan ljudski vijek traje t = 2 385 000 sekundi t = 2 385 000 s = … = 2. 385 109 s b) promjer crvene krvne stanice je 2 r = 0. 000 076 53 mm = … = 7. 653 10 -5 mm Potencije 8

c) atomska masena konstanta u iznosi: u = 0. 0000000000000166 kg u = 1. 66 10 -27 kg d) najbliža zvijezda Proxima Centauri udaljena je od Sunca 40 225 000 000 km r = 40 225 000 000 km= 4. 0225 1013 km Potencije 9

1. Računanje s potencijama jednakih baza 1. 1. Zbrajanje i oduzimanje: Općenito zbrajati (i oduzimati) možemo samo potencije jednakih baza i jednakih eksponenata Tada koristimo svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju! Potencije 10

1. 2. Množenje potencija jednakih baza Potencije jednakih baza se množe tako da se zajednička baza potencira zbrojem njihovih eksponenata. tj. n a m a = n+m a pri čemu je a 0 ; n, m Z Potencije 11

1. 3. Djeljenje potencija jednakih baza Potencije jednakih baza se dijele tako da se zajednička baza potencira razlikom njihovih eksponenata. tj. n a : m a = n-m a pri čemu je a 0 ; n, m Z Potencije 12

Zadaci 2. 1. Pojednostavi izraze: a)4 x 3 – 11 x 3 + 21 x 3 = 14 x 3 b)5 a 2 b + ab 3 - 2 a 2 b – 3 ab 3 = 3 a 2 b – 2 ab 3 2. Izračunaj i rezultate napiši u obliku potencija: a)23 · 25 = 23+5=28 b)78 : 76 = 78 -6=72 c)a 5 · a-6 = a 5 -6=a-1 d)(a+b)6 · (a+b)4 = (a+b)6+4=(a+b)10 Potencije 13

Potenciranje potencije Potencija an se potencira cijelim brojem m tako da se baza a potencira umnoškom eksponenata Za a 0 i m, n Z vrijedi n m (a ) = n m a Potencije 14

Zadaci 3. 1. Izračunaj: 2 2 y 3 2 = x 4 y 6 2 3 2 x a) (x y ) = b) (-x 3 y)3= (-1)3 x 3 3 y 3 = -x 9 y 3 c) (-2 a 4 b-2)4 = (-2)4 a 4 4 b-2 4 =16 a 16 b-8 d) (4 a 2 y 7)3 = 43 a 2 3 y 7 3 = 64 a 6 y 21 2. Napiši u obliku potencije broja 2: a)512 = 29 b) 1024 = 210 c) 6 26 + 20 25 = 6 2 25 + 20 25 = 32 25 = 210 Potencije 15

2. Računanje s potencijama jednakih eksponenata 2. 1. Množenje potencija Umnožak n-tih potencija brojeva a i b ¸an i bn jednak je n-toj potenciji umnoška tih brojeva a i b , tj. an bn = (a b)n a, b 0, n Z Potencije 16

2. 2. Dijeljenje potencija Kvocijent n-tih potencija brojeva a i b ¸ an i bn jednak je n-toj potenciji kvocijenta tih brojeva a i b , tj. a, b 0, n Z Potencije 17

Zadaci 4. 1. Izračunaj: a = 24 a a (2 · 3 · 4) a) 2 3 4 = 2 x 102 x = 1502 x 2 x 15 b) 5 3 10 = c) 7 x+y 2 x+y 3 x+y = (14 3)x+y =42 x+y 2. Podijeli: a)120 x : 6 x = (120 : 6)x = 20 x b)125 a+b : 15 a+b = Potencije 18

3. Skrati razlomke: a) Potencije 19

3. Skrati razlomke: b) Potencije 20

KRAJ Potencije 21