Potenciao Professor Clber Borges Definio Potenciao ou exponenciao

Potenciação Professor: Cléber Borges

Definição: • Potenciação ou exponenciação é a forma de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais. • Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes, podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

Definição de potenciação •

Exemplo: • a² = a x a, com n = 2; • a³ = a x a, com n = 3; • a 5 = a x a x a, com n = 5; • Chamamos a de base e n de expoente, e a multiplicação sucessiva após a igualdade chamamos de potência. • A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado.

Potência com expoente negativo •

Exemplo: •

Exemplo: •

Outros tipos de potência • Expoente inteiro maior que 1. • Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do expoente. • Exemplo: • 4³ = 4 x 4 = 64 • 5² = 5 x 5 = 25

Expoente igual a 1. • Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo: • a¹ = a • Exemplo: • 2¹ = 2; • 25¹ = 25

Expoente igual a zero. • Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo: • a 0 = 1 • Exemplo: • 30 = 1 • 80 = 1

Casos particulares de potenciação: • Sendo n um número inteiro, podemos ter: • a = 0 e n > 0 ⇒ an = 0 • a = 0 e n < 0 ⇒ não existe an ∈ R • a > 0 ⇒ an > 0 • a < 0 e n par ⇒ an > 0 • a < 0 e n ímpar ⇒ an < 0

Propriedades da potenciação •

P 2 -Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1. •

P 4 -Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros, de acordo com o valor do expoente. •

P 5 -Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal da potência trocado. •

Propriedades operatórias da potenciação • É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

Produto de potências de mesma base • Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes. • am. an = am + n • Exemplo: 52. 53 = 52 + 3

Divisão de potências de mesma base •

Base negativa e expoente ímpar • Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração. • Exemplo: (-2)3 = -8

Base negativa e expoente par • Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração. • Exemplo: (-5)2 = 25

Potência de potência •

Potência de um produto • Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto. • (a. b)n = (an. bn) • Exemplo: (2. 3)2 = (22. 32) = 2. 2. 3. 3 = 36

Divisão de potências de mesmo expoente •

Multiplicação de potências com o mesmo expoente • Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases. • (an. bn) = (a. b)n • Exemplo: (32. 22) = (3. 2)2 • Observação: • As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros. • Exemplos: • 23. 2 -2 = 23 + (-2) = 2¹ • 5 -3. 2 -3 = (5. 2)-3 = 10 -3

Casos especiais de potências • (-a)n e –na • Essas potências (-a)n e -an geralmente apresentam resultados diferentes, pois: • (-a)n = (-a). …. (-a) (n vezes) • -an = – (a. a. a. …. a) (n vezes)Exemplos: • • (-2)² = (-2) = 4 -2² = – (2. 2) = – 4 (-2)³ = (-2) = -8 -2³ = – (2. 2. 2) = -8 • O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto.

(am)n e amn • Essas potências (am)n e amn geralmente apresentam resultados diferentes, pois: (am)n = (am). …. (am) (n vezes) e am. m. …. m (n vezes) • Exemplos: • (5²)³ = (5²) = 52. 3 = 56 • 523 = 52. 2. 2 = 58