POTENCIAO E FUNO EXPONENCIAL prof Andr Aparecido da

POTENCIAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL prof. André Aparecido da Silva anndrepr@yahoo. com. br 1

POTENCIAÇÃO A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Relembrando: Expoente Potência Base 2

POTENCIAÇÃO Exemplo: • 210 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 • 34 3 x 3 x 3 = 81 • 3

Lembre-se 1 Quando o expoente é par, a potência é sempre positiva. 4

Lembre-se 2 Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. 5

Casos Particulares 3 Expoente 1: As potências de expoente 1 são iguais a base. 6

Casos Particulares 4 Expoente Zero: As potências de expoente zero são iguais a 1. 7

Casos Particulares Resumindo todo número elevado a potencia 0 é igual a 1 8

Outros Exemplos 9

Exemplos 0, 3 x 0, 3 09 00 0, 09 10

Potência com Expoente Inteiro Negativo 11

Considere o Quociente: Pela propriedade do quociente de potência de mesma base temos: Escrevendo o quociente em forma de fração temos: 12

Temos: 13

Resumindo Na divisão de potencias de mesma base, podemos preservar a base e diminuir os expoentes. . . 14

EXEMPLOS • 5³ / 5² = 12 • 10 • 5 6 / 3 -2 5 = 4 10 / 6² = 5¹ = 5 12 -4 =10 5 -2 6 = 3 6 8 =10 = 216 15

Note ainda que: Isso significa que como inverso de pode ser interpretado 16

Conclusão A potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a uma outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. 17

Fixando: Oposto do expoente Inverso da base 18

Fixando: Oposto do expoente Inverso da base 19

Em certos casos podemos escrever uma fração como potência de expoente negativo: Oposto do expoente Inverso da base 20

Exemplos: 21

Propriedades As propriedades da potenciação estudadas são válidas também para potências com expoente inteiro negativo. 22

Exemplos 23

Potencia com base negativa Antes, Que tal lembrarmos das regras de sinais! Observe: ▬ sinal negativo 1 + sinal positivo Lembre-se: Multiplicação de sinais diferentes, resultado negativo. Multiplicação de sinais iguais, resultado positivo. 24

Potencia com base negativa O cálculo de potências com base negativa é semelhante ao de base positiva. Exemplos: a) (-4)2 Base Expoente par. = (- 4) = +16 b) (-3)4 = Potência (-3) = +81 Toda potência de base negativa e expoente par, é um número inteiro positivo. 1 25

Potencia com base negativa O cálculo de potências com base negativa é semelhante ao de base positiva. Potência Expoente ímpar. Exemplos: a) (-5)3 = (-5) = -125 Base b) (-1)5 =(-1). (-1) = -1 x 1 Toda potência de base negativa e expoente ímpar, é um número inteiro negativo. 26

Potencia com base negativa O EXPOENTE 1 Por convenção, adotamos as regras: Toda potência de expoente 1 é sempre igual à base. Exemplos: 1 a) (+9)1= +9 c) b) (-13)1= -13 d)(-10)1= 1 (0) =0 -10 27

Potencia com base negativa O EXPOENTE 0 (zero) Por convenção, adotamos as regras: Toda potência de expoente 0 (zero) e base diferente de 0 (zero) é igual à 1. Exemplos: a) (-14)0 = b)(+27)0 = 1 1 c) (-9)0 1 d) (-530)0= =1 1 28

Potencia com base negativa Devemos dar atenção a duas situações de significados e valores diferentes. Exemplos: a) (-4)2 = (-4) = +16 (-4)2 significa o quadrado de -4. b) - 2 4 = - 4. 4 = -16 -42 significa o oposto do quadrado de 4. 1 Logo: (- 4)2 ≠ - 42 29

Potencia com base negativa Conclusão: Sempre que trabalhar com potências, tenha atenção as suas propriedades, regras e sinais. 1 30

CUIDADO!!!! Um abuso muito vulgar, é apresentar números que aumentam com o adjetivo sensacionalista de “crescimento exponencial” É muito provável que 90% das pessoas não sabem o que significa verdadeiramente essa expressão.

Xadrez e Exponenciação

Função Exponencial 1 33

Continuando • f(x) = 2 x é uma função exponencial. Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.

A tabela

O gráfico da função y(x) D(f) = R Im (f) = R*+ a = 2, a > 1, Portanto f é crescente em todo seu domínio x 2

Comportamento do gráfico da função exponencial Através função exponencial g(x) = ½x e usando uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.

A tabela da função g(x) = x ½

Comportamento gráfico da x função g(x) = ½ D(f) = R Im (f) = R*+ a = 1/2, 0 < a < 1 Portanto g é decrescente em todo seu domínio

Resumindo. . . Tendo a função f(x) = ax, se “a” for maior que 1 a função será crescente, se “a” for maior que zero e menor que 1 a função será decrescente

Outro Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Questão. . . Como ficaria o gráfico desta função f(x) = 3 x+1 ?

Equação Exponencial

Vamos a resolução Nossa equação agora é 2+ 4 x x 4 = 412 Aqui as bases são iguais, logo, posso cortar e trabalhar só com os expoentes. . .

Vamos a resolução 2+ 4 x x 4 = 12 4 Temos agora a seguinte equação x 2+ 4 x =12. Colocando o 12 para outro lado da igualdade teremos x 2+ 4 x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara x 2+ 4 x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara x 2+ 4 x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara

Outro Exemplo Vamos primeiramente deixar todos os termos em bases iguais, para isto basta decompor 8 em fatores iguais, então o 8 poderá ser escrito como 23.

Continuando Como todas as bases são iguais, agora podemos cortar as bases e trabalhar só com os expoentes.

Continuando

Continuando

Continuando

Substituindo na equação

Terminando a equação

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações Para inverter numerador e denominador vou deixar com a potencia negativa

Agora um exemplo com frações Agora cortando as bases teremos…

Material elaborado pelo: Prof. André Aparecido da Silva Disciplina Matemática. Disponível no site: www. oxnar. com. br/ 68