Potaov chemie 4 pednka vod 1 pednka Molekula

Počítačová chemie (4. přednáška) • Úvod (1. přednáška) • Molekula – Struktura molekuly (2. , 3. a 4. přednáška) – Geometrie molekuly (5. přednáška) – Vhled do praxe (6. přednáška) • Molekulové modelování – Molekulová mechanika (7. a 8. přednáška) – Kvantová mechanika (9. a 10. přednáška) – Molekulová dynamika (11. přednáška) – Vhled do praxe (12. přednáška)

Hledání cyklů • Komunikační sítě • Elektrické obvody • Odběr surovin a výrobků v průmyslové výrobě • Logistika • Chemie • ….

Hledání cyklů v chemii • Predikce chemických vlastností molekuly • Studium reaktivity a chemická syntéza – přítomnost cyklu snižuje flexibilitu molekuly – cykly omezují počet možností prostorového uspořádání molekuly • Vytváření názvů sloučenin – cykly = výchozí struktury při tvorbě názvu

Molekulový graf ® obecný graf • Informace, nutné pro hledání cyklů: – množina atomů – vazby mezi nimi (není nutné znát jejich násobnost) => K hledání cyklů zjednodušíme na obecný graf • Molekulový graf: MG = (V, E, L, j, b) • Obecný graf příslušný MG: G = (V, H), kde H obsahuje všechny hrany z E, ale násobné pouze jedenkrát. Poznámka: Dále budeme značit |V| = N a |H| = M.

Molekulový graf ® obecný graf - příklad Molekulový graf: Obecný graf: ® ?

Molekulový graf ® obecný graf - příklad Molekulový graf: Obecný graf: ®

Množina cyklů Zápis množiny cyklů grafu G = (V, H): C = {R 1, …, Rc}, kde c je počet cyklů Ri je cyklus, Ri Í H a i Î 1 … c Typy množin cyklů: • Množina základních cyklů (Fundamental Set of Rings, FSR) • Množina všech cyklů (Set of All Rings, SAR) • Množina nejmenších základních cyklů (Smallest Set of Smallest Rings, SSSR)

Množina základních cyklů (FSR) • Obsahuje minimální počet cyklů, které pokrývají všechny kruhové vrcholy a hrany daného grafu. • Prvky FSR (základní cykly) jsou nezávislé = žádný cyklus ve FRS nelze vyjádřit jako kombinaci ostatních cyklů této množiny • Celkový počet základních (tedy nezávislých) cyklů je roven cyklomatickému číslu c: c=M-N+1

Konstrukce FSR • Sestrojení kořenového stromu grafu: – zvolíme libovolný vrchol v Î V – potomky kořene jsou vrcholy, spojené s vrcholem v hranou – prvky další vrstvy jsou vrcholy, spojené hranou s potomky kořene – výše uvedený postup se opakuje až do okamžiku, kdy jsou do stromu zapojeny všechny vrcholy

Konstrukce FSR II • Vlastnosti kořenového stromu: – strom obsahuje N vrcholů a N-1 hran => M - N + 1 hran není ve stromu zařazeno tyto hrany se nazývají hrany kruhového uzávěru – počet základních cyklů grafu = počet hran kruhového uzávěru

Konstrukce FSR III Každá hrana kruhového uzávěru generuje jeden základní cyklus a to následovně: – zvolíme libovolnou hranu a postavíme se ve stromu na její dva koncové vrcholy – aplikujeme metodu zpětného prohledávání do vyšších úrovní stromu směrem ke kořeni – nalezené hrany přidáváme do nově vytvořeného cyklu – jakmile se dvě větve spojí ve společném vrcholu, proces končí Opakováním této jednoduché procedury pro všechny hrany kruhového uzávěru vytvoříme množinu základních cyklů.

Konstrukce FSR - příklad Graf:

Konstrukce FSR - příklad Graf: Kořenový strom (s kořenem v 1): Hrany kruhového uzávěru: e 7, e 8, e 9 Cykly grafu: R 1= {e 1, e 4, e 7, e 5, e 2}, R 2= {e 2, e 5, e 8, e 6, e 3}, R 3= {e 1, e 4, e 9, e 6, e 3} Poznámka: Pro jinou volbu kořene nalezneme odlišnou množinu cyklů.

Složitost konstrukce FSR Vztah mezi M a N - obecný graf: – Maximální počet hran vzhledem k počtu uzlů má úplný graf (každé dva uzly jsou spojeny hranou). – Pro úplný graf platí: • Graf má N vrcholů • Z každého vrcholu vychází N-1 hran • Každá hrana má 2 vrcholy* => M = (N-1). N/2 *Ve výše uvedeném vzorci musíme dělit 2, abychom hrany nepočítali dvakrát (jedenkrát za každý její koncový vrchol). => Pro obecný graf platí: 0 £ M £ (N-1). N/2

Složitost konstrukce FSR II Vztah mezi c (počet cyklů) a N - obecný graf: c = M - N +1 0 £ c £ N 2/2 - 3/2 N + 1 Pro účely výpočtu časové složitosti algoritmu v nejhorším případě: c » N 2

Složitost konstrukce FSR III Vztah mezi M a N - molekulový graf: – Počet hran v molekule závisí na vaznosti atomů (~ stupeň vrcholů) v molekule: • Vaznost atomů: C: 4 N: 3 O, S: 2 H, F, Cl, Br, I: 1. • Průměrná vaznost atomu v molekule (f. B) se nachází převážně v intervalu: 1, 5 - 3 (čím více cyklů má molekula, tím větší je průměrná vaznost) – Pro molekulový graf platí: • Graf má N vrcholů • Z každého vrcholu vychází f. B hran • Každá hrana má 2 vrcholy => M = N. f. B /2

Složitost konstrukce FSR IV Vztah mezi c (počet cyklů) a N - molekulový graf: c = M - N +1 c = N. f. B/2 - N +1 = N (f. B/2 - 1) + 1 c se nachází převážně v intervalu 0 až N/2

Složitost konstrukce FSR V • Vytvoření stromu: – Přidáváme postupně N vrcholů => nutno projít N-1 hran => složitost vytvoření stromu je O(N)

Složitost konstrukce FSR VI • Dohledání cyklů: – Počet cyklů je c – Cyklus může obsahovat nejvýše N vrcholů a tedy N-1 nových hran => složitost dohledání cyklů je O(c. N) • Složitost konstrukce FSR je O(c. N). * *Pro obecný graf O(N 3).

Nevýhody FSR • FSR není určena jednoznačně • Na grafu s více než 1 cyklem lze nalézt více cyklů, než udává cyklomatické číslo grafu • Dvě cesty k obecnější množině cyklů: – množina všech cyklů (SAR) – množina nejmenších základních cyklů (SSSR)

Konstrukce SAR - kombinace cyklů Nechť FSR = {R 1, R 2, . . . , Rc} je množina základních cyklů, kde Ri Í E pro i = 1, 2, . . . , c. Pak každý libovolný cyklus grafu lze vytvořit kombinací (složením) hran cyklů Ri, Rj Î FSR operací XOR. Poznámka: Operace XOR se označuje symbolem Å.

Konstrukce SAR - kombinace cyklů II Nechť P a R jsou dvě množiny, pak jejich složení definujeme takto: P Å R = {e; e Î P nebo e Î R, ale ne současně} (Mají-li P a R společnou hranu, tato hrana ve výsledné množině nebude. )

Konstrukce SAR - kombinace cyklů III Operací složení nemusí vždy vzniknout cyklus: – P a R jsou disjunktní: – P a R sdílejí pouze jeden vrchol: – P a R jsou „nevhodné“ pro složení:

Konstrukce SAR - kombinace cyklů IV Algoritmus: • Vytvořit libovolnou množinu základních cyklů (FSR). • FOR každou možnou k-tici cyklů z FSR, kde k = 1, 2, …, {počet cyklů} DO: IF Kombinací cyklů této k-tice vzniknul cyklus. THAN IF Tento cyklus nebyl nalezen dříve. THAN Ulož cyklus.

Konstrukce SAR - kombinace cyklů V Optimalizace algoritmu: • Vytvořit libovolnou množinu základních cyklů (FSR). • Rozdělit FSR na vzájemně disjunktní shluky cyklů. • FOR každou možnou k-tici cyklů z každého shluku, kde k = 1, 2, …, {počet cyklů ve shluku} DO: IF Kombinací cyklů této k-tice vzniknul cyklus. THAN IF Tento cyklus nebyl nalezen dříve. THAN Ulož cyklus.

Konstrukce SAR - kombinace cyklů VI • SAR vzniká kombinací k-tic základních cyklů pro k = 1, 2, …, c • Pro počet k-tic platí: c c 0 + 1 + 2 + … + c = 2 c • Složitost konstrukce SAR: O(c. 2 c)

Konstrukce SSSR • Vytvoření prořezaného grafu • Vytvoření HR grafu • Prohledání HR grafu a nalezení externích cyklů • Prohledání HR grafu a nalezení interních cyklů

Konstrukce SSSR - prořezaný graf • Definice: Prořezaný graf (pruned graph) grafu G je takový podgraf GP grafu G, který neobsahuje vrcholy stupně jedna (tzv. koncové vrcholy). • Algoritmus: WHILE $ koncové vrcholy DO: Odstraň koncové vrcholy Odstraň hrany z nich vycházející

Konstrukce SSSR - prořezaný graf - příklad • Isoalloxazin (flavin): • Obecný graf isoalloxazinu:

Konstrukce SSSR - prořezaný graf - příklad II • Isoalloxazin je součástí flavinadenindinukleotidu, enzymu, který zprostředkovává přenos dvou elektronů v rámci metabolických reakcí (např. citrátový cyklus):

Konstrukce SSSR - prořezaný graf - příklad III • Obecný graf isoalloxazinu: • Prořezaný graf isoalloxazinu:

Konstrukce SSSR - HR graf • Definice: – Reducibilní vrchol: Vrchol stupně 2. – Ireducibilní vrchol: Vrchol stupně 3 a více. – Homeomorfně redukovaný graf (homeomorphically reduced graph, HR graf) grafu G: • Obsahuje pouze ireducibilní vrcholy grafu G. • Hrana HR grafu vyjadřuje takovou cestu v grafu G, která: – Spojuje dva ireducibilní vrcholy. – Neobsahuje další ireducibilní vrcholy.

Konstrukce SSSR - HR graf II – Zápis hrany HR grafu: (u, v, VR), kde: Vrcholy u a v jsou: – počáteční (u) a koncový (v) vrchol cesty v grafu G – vrcholy hrany v HR grafu, reprezentující tuto cestu Množina VR je seznamem reducibilních vrcholů, nacházejících se v grafu G na cestě z vrcholu u do vrcholu v. – Algoritmus pro tvorbu HR grafu: • Vstup: Prořezaný graf GP = (V, H) • Výstup: HR graf HRG = (V´, H´), kde: – V´ Í V – H´ = { (u, v, VR) | u, v Î V´; VR = {w | w Î V - V´}}

Konstrukce SSSR - HR graf III Inicializace HRG: V´= Æ, H´ = Æ FOR " v Î V DO: IF v je ireducibilní THAN " incidentní hrany vrcholu v dej do FIFO fronty F. WHILE fronta F je neprázdná DO Vyjmi hranu h z fronty F. Vytvoř cestu, začínající v, h a pokračující dalšími hranami a vrcholy až do nejbližšího ireducibilního vrcholu u. Reducibilní vrcholy mezi v a u umísti do množiny VR. Hrany mezi v a u umísti do množiny HR. Úprava HR grafu: V´ : = V´ È {v, u} H´ : = H´ È {(v, u, VR)} Úprava grafu G: V : = V - VR H : = H - HR IF je fronta F prázdná THAN V : = V - {v}

Konstrukce SSSR - HR graf - příklad Prořezaný graf: HR graf : ?

Konstrukce SSSR - HR graf - příklad Prořezaný graf: HR graf - popis: h 1: h 2: h 3: h 4: h 5: h 6: (v 3, v 12, (v 3, v 5, (v 3, v 12, (v 5, v 10, (v 10, v 12, {v 1, v 2, v 13, v 14}) {v 4}) Æ) {v 6, v 7, v 8, v 9}) Æ) {v 11}) HR graf - obrázek:

Konstrukce SSSR - vyhledání externích cyklů • Definice: – Externí (vnější) cyklus: Obsahuje jeden nebo dva vrcholy. – Interní (vnitřní): Obsahuje tři a více vrcholů. • Cykly v SSSR jsou nezávislé (žádný z nich nelze vytvořit kombinací ostatních) a pokrývají celý graf (jejich kombinací lze vytvořit SAR). • Externí cykly obsahující jeden vrchol nelze vytvořit kombinací ostatních cyklů v grafu => nutně musí být v SSSR. • Pro externí cykly obsahující dva vrcholy existuje jednoduchý algoritmus, který z každé množiny externích cyklů, tvořených stejnými vrcholy*, vybere podmnožinu nezávislých cyklů. *Pouze v rámci této skupiny mohou být dané externí cykly závislé.

Konstrukce SSSR - vyhledání externích cyklů II • Existuje-li taková hrana HR grafu, která začíná a končí ve stejném vrcholu, tvoří externí cyklus s jedním ireducibilním vrcholem. • Existuje-li J hran HR grafu pro J > 1, které začínají ve vrcholu v a končí ve vrcholu u, generují tyto hrany J 1 externích cyklů se dvěma ireducibilními vrcholy. • Algoritmus pro tvorbu množiny externích cyklů HR grafu: – Vstup: HRG = (V´, H´) s ohodnocenými vrcholy – Výstup: množina externích cyklů SE

Konstrukce SSSR - vyhledání externích cyklů III Inicializace SE: SE : = Æ FOR " h Î H´ DO: IF h == (u, u, VR) THAN Ext_ring : = {h}; SE : = SE È {Ext_ring} Vytvoř frontu hran: Seřaď hrany z množiny H´ podle počátečních vrcholů, skupiny hran se stejnými počátečními vrcholy seřaď dále podle koncových vrcholů. WHILE fronta je neprázdná DO Vyjmi z fronty hranu h (h = (u, v, VR)) a všechny následující hrany s vrcholy u a v zařaď je do množiny Suv. IF |Suv| > 1 THAN Najdi v Suv hranu hmin s nejmenším počtem prvků v VR. FOR " k Î Suv, k != hmin DO Ext_ring : = {k, hmin}; SE : = SE È {Ext_ring}

Konstrukce SSSR - vyhledání interních cyklů • Mějme HR graf s vrcholy ohodnocenými přirozenými čísly. • Pak je každý cyklus jednoznačně určen vrcholem s nejmenším ohodnocením. • Pokud existují cykly A a B tak, že vrcholy cyklu A Í vrcholů cyklu B, pak říkáme, že cyklus B je obálkou cyklu A. Takovýto cyklus B nemůže patřit do SSSR (do nejmenší množiny nejmenších cyklů).

Konstrukce SSSR - vyhledání interních cyklů II Inicializace SI: SI : = Æ FOR " v Î V´ DO: Vytvářej strom (s kořenem v) cest v HR grafu, vzniklých prohledáváním do hloubky Při " přidání uzlu u do procházené cesty se rozhoduje: IF u == v THAN Int_ring : = {hrany dané cesty} /*cesta akceptována*/ IF $ R Î SI: Int_Ring Í R THAN /*R == obálka */ SI : = (SI - {R}) È {Int_ring}; odstranění závislých cyklů ELSE IF $! R Î SI: R Í Int_Ring THAN /*Int_Ring!= obálka*/ SI : = SI È {Int_ring}; odstranění závislých cyklů ELSE IF o(u) < o(v) nebo (u už náleží do cesty) THAN Cesta zamítnuta, procházíme vedlejší cestu. ELSE Přidej do cesty další uzel.

Konstrukce SSSR - dokončení • Množiny externích a interních cyklů sjednotíme: SALL = SE È SI • HR hrany v cyklech v množině SALL nahradíme klasickými hranami, a to následovně: HR hrana: (u, v, {w 1, w 2, . . . , wn}) se nahradí hranami: {u, w 1}, {w 1, w 2}, . . . , {wn, v} • Tím jsme z množiny SALL vytvořili množinu SSSR.

Literatura k vyhledávání cyklů • Havelková L. : Paralelizace sekvenčních algoritmů v chemii. Masarykova univerzita diplomová práce (1995) • Kučera L. : Kombinatorické algoritmy. SNTL, (1989)

Formáty pro zápis struktury molekuly Úplný výpis atomů a vazeb SMILES Další formáty

Formáty pro zápis struktury molekuly - úplný výpis atomů a vazeb Každý atom je označen číslem. Pro každý atom je uveden typ atomu. Jsou uvedeny informace o všech dvojicích atomů, které jsou vázány chemickou vazbou (včetně nebo bez multiplicity).

Formáty pro zápis struktury molekuly - úplný výpis atomů a vazeb II Kromě informací o atomech a vazbách může soubor obsahovat další chemické informace (např. náboje atomů a další fyzikální konstanty). Informace o vazbách mohou být uvedeny v různých formátech, například: • Informace o jednotlivých vazbách: 11 30 1 • // atom 11 je vázán s atomem 30 jednoduchou vazbou Informace o vaznosti atomu: 11 30 (1) 31 (1) 32 (1) // atom 11 je vázán s atomy 30, 31 a 32 //jednoduchou vazbou Poznámka: Multiplicita nemusí být uvedena, řádky mohu mít jiný formát případně obsahovat klíčová slova.

Formáty pro zápis struktury molekuly - úplný výpis atomů a vazeb III Tento formát má mnoho (= několik desítek) různých implementací. Tady je několik nejvýznamějších: PDB soubory z Protein Data. Bank MOLsoubory pro software Elsevier MDL SDF soubory z databází organických molekul ALC, TOP, HIN, MDL, M 3 D, MOL 2, MOLEN, atd.

Formáty pro zápis struktury molekuly - úplný výpis atomů a vazeb IV Příklad PDB souboru pro molekulu formaldehydu:

Formáty pro zápis struktury molekuly - úplný výpis atomů a vazeb V Zhodnocení: Výhody: • Nejobecnější zápis struktury molekuly • Snadno použitelné jako vstup pro algoritmy, pracující se strukturou Nevýhody: • Zabírá hodně místa • Není vhodné pro některé speciální typy úkolů.

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES znamená následující: Simplified Molecular Input Line Entry Specification = zakódování struktury molekuly do řetězce. Dále uvedu stručný popis SMILES. Podrobnější informace najdete např. zde: http: //www. daylight. com/dayhtml/smiles/

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování atomů - syntaxe Syntaxe v jazyce*, specifikujícím SMILES: atom : '[' <mass> symbol <chiral> <hcount> <sign<charge>> ']' ; Popis: symbol chemická značka atomu * = nespecifikovaný atom <sign<charge>> znaménko a náboj <mass> atomová hmotnost <chiral> chiralita (nebudeme používat) <hcount> počet vázaných vodíků

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování atomů - příklady Obrázek SMILES string Popis [S] Elementární síra C Methan (C vázaný s tolika H, aby měl plně obsazenou valneční vrstvu) S Sirovodík (S vázaný s tolika H, aby měl plně obsazenou valneční vrstvu) [OH-], [OH-1] Hydroxidový anion [235 U] Izotop uranu s at. hmot. 235 [*+2] Nespecif. atom s nábojem 2+

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování vazeb - syntaxe Syntaxe v jazyce, specifikujícím SMILES: bond : <empty> | '-' | '=' | '#' | ': ' ; Popis: <empty> = # : libovolná vazba (při níž je valenční vrstva plně obsazena) jednoduchá vazba dvojná vazba trojná vazba aromatická vazba

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování vazeb - příklady Obrázek SMILES string Popis CH 3 -CH 3 CC, C-C, [CH 3]-[CH 3] Ethan H-C N CH 2=CH 2=CH-CH=CH 2 ? C=O, O=C Formaldehyd C#N, N#C Kyanovodík C=C (lze i cc) Ethen C=C-C=C (lze i cccc) ccc 1, 3 -butadien Nelze odhadnout typ vazeb

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování větvení - syntaxe Syntaxe v jazyce, specifikujícím SMILES: branch : '(' <chain> ')' | '(' <chain> <branch> ')' | '(' <branch> <chain> ')' | '(' <chain> <branch> <chain> ')' ; Popis: <chain> řetězec <branch> větev

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování větvení - příklady Obrázek SMILES string Popis Isobutanová kyselina CC(C)C(=O)O FC(F)F, C(F)(F)F Fluoroform O=Cl(=O)[O-], Perchlorátový anion Cl(=O)(=O)[O-] 4 -heptanová kyselina CCCC(C(=O)O)CCC

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování větvení - příklady Obrázek Popis Isobutanová kyselina Fluoroform Perchlorátový anion 4 -heptanová kyselina

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – kódování cyklů Zvolíme v cyklu libovolnou vazbu a její koncové atomy označíme číslem. Cyklus v místě dané vazby přerušíme a zapíšeme ho jako lineární sekvenci atomů. Příklady:

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES - zhodnocení Výhody SMILES: • Komprimace místa • Možnost zápisu molekuly pomocí regulárního výrazu Nevýhody SMILES: • Nejednoznačnost (neexistuje „korektní“ pořadí atomů, 1 fakt lze zapsat více způsoby). • Nutnost vytvoření úplného výpisu předtím, než lze na molekulu aplikovat nějaký algoritmus (izomorfismus, cykly atd. )

Formáty pro zápis struktury molekuly - SMILES – zhodnocení II Využití SMILES: • Názvosloví a automatického generování názvů. • Vyhledávání částí molekul pomocí regulárních výrazů. Rozšíření SMILES: Pokročilejší verzí SMILES stringů jsou SMARTS stringy. Jsou definovány stejně jako SMILES + obsahují navíc další pravidla. Podrobněji o SMARTS: http: //www. daylight. com/dayhtml/doc/theory/ theory. smarts. html

Formáty pro zápis struktury molekuly - další formáty • Fingerprints • CHUCKLES, CHORTLES, and CHARTS • SMIRKS, SSMARTS atd