POSODOBITEV UNIH NARTOV VPELJEVANJE IN SPREMLJANJE TER USPOSABLJANJE

POSODOBITEV UČNIH NAČRTOV: VPELJEVANJE IN SPREMLJANJE TER USPOSABLJANJE UČITELJEV OBDELAVA PODATKOV PRI POUKU MATEMATIKE Dr. Amalija Žakelj 21. in 22. AVGUST 2008 Operacijo delno financira Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada ter Ministrstvo za šolstvo in šport. Operacija se izvaja v okviru Operativnega programa razvoja človeških virov v obdobju 2007 -2013, razvojne prioritete: Razvoj človeških virov in vseživljenjsko učenje; prednostne usmeritve: Izboljšanje kakovosti in učinkovitosti sistemov izobraževanja in usposabljanja.

SODOBNI DIDAKTIČNI PRISTOPI K UČENJU IN POUČEVANJU IZZIV Izbira primernih didaktičnih pristopov za uresničevanje zastavljenih ciljev.

CILJI iz učnega načrta: • “ … spodbujati inovativnost, kreativnost, samoinciativnost, kritično mišljenje; samoinciativnost • kritično razmišljati o orodjih za obdelavo podatkov; kritično razmišljati • povezovati znanja znotraj predmeta in med predmeti …”

OBDELAVA PODATKOV

Cilji učenja in poučevanja obdelave podatkov pri pouku matematike • Tehnike dela s podatki so pomemben del problemskih znanj (urejeni podatki lahko omogočijo uvid v rešitev problema) STRATEGIJE REŠEVANJA. • Delo s podatki je zelo naravna vez med poukom matematike in drugimi predmeti oz. izvenšolskimi izkušnjami IZVOZ. doc. • Aktivnosti, povezane z delom s podatki, lahko služijo kot prva izkušnja z verjetnostjo VERJETNOST. doc.

ORODJA ZA OBDELAVO PODATKOV • povzemanje podatkov • uporaba orodij za obdelavo podatkov Smiselno je, da se pri delu s podatki vsebine navezujejo na matematične vsebine, ugotovljena dejstva pa primerno utemeljimo.

1. POVZEMANJE PODATKOV • Kje se podatki nahajajo, izražamo z merili za osredinjenost. • Razpršenost pdatkov izražamo z merili za razpršenost.

1. 1 Merila za osredinjenost • aritmetična sredina - povprečna vrednost • mediana - po velikosti osrednji podatek • modus - najpogostejša vrednost

Lastnosti povprečne vrednosti Za katere podatke je smiselno računati povprečne vrednosti? • Povprečne vrednosti je smiselno računati le za številčne podatke. • Povprečne vrednosti ni smiselno računati za: opisne podatke in opisne podatke vrstne podatke

Razumevanje povprečne vrednosti Vsakdanja pojmovanja povprečne vrednosti oz. razumevanje povprečne vrednosti kot: • tipičen podatek • ocena vrednosti • pričakovana vrednost

Odnos med posameznimi števili in njihovo povprečno vrednostjo. V račuanliškem krožku je 10 dijakov, ki so v povprečju stari 16 let. Kaj lahko iz tega sklepamo? • • Da je največ otrok v skupini starih 16 let. Da so (vsi) otroci stari približno 16 let. Da naj bi bili otroci v skupini stari 16 let. Da je prav toliko otrok starejših od 16 let, kolikor jih je mlajših. • Da je vsota starosti vseh otrok v skupini 160 let. S primeri podkrepimo, da je le zadnje razumevanje pravilno.

Aritmetična sredina Raziskati povezove med podatki. • Nekega dne so pri pouku matematike izmerili višine vseh učencev. Povprečna višina dečkov je bila 160 cm, povprečna višina deklic pa 150 cm. Alenka je bila najvišja med vsemi in sicer 180 cm, Zdenko pa najmanjši med vsemi in sicer 130 cm. Dva učenca sta manjkala, zato so njuni višini izmerili naslednji dan in povprečje ponovno izračunali. Presenetljivo se povprečna višina deklic in povprečna višina dečkov ni spremenila.

Katerega izmed sklepov lahko potrdiš iz teh informacij? • Oba manjkajoča učenca sta deklici. • En manjkajoči učenec je deček, drugi deklica. • Oba manjkajoča učenca sta enako velika. • Povprečna višina vseh učencev se ni spremenila. • Zdenko je še vedno najmanjši.

Kaj preverja naloga? • Raziskati zapleten način povezovanja med podatki. • Razumeti jezik in pojme. • Problem vključuje sposobnost postavljanja vprašanja, kot so: Kako vem? , Kako najdem? , Kaj bi se lahko zgodilo? , Kaj bi se zgodilo, če …? Problem vključuje sposobnost razumevanja ter uporabe matematičnih pojmov, kot je povprečje v situacijah, ki so večplastne

Aritmetična sredina Raziskati povezove med podatki. Na zdravniškem pregledu so vsem zaposlenim izmerili krvni tlak. Povprečni tlak za moške je bil 145 mm. Hg, za ženske pa 135 mm. Hg. Jaka je imel najvišjega izmed vseh in sicer 175 mm. Hg. Na zdravniškem pregledu sta dva zaposlena manjkala, zato so jima krvni tlak izmerili naknadno ter ponovno izračunali povprečje. Izračun je pokazal, da se povprečni tlak niti pri moških, niti pri ženskah ni spremenil.

Katerega izmed sklepov lahko potrdiš iz teh informacij? • Povprečni tlak vseh se je spremenil. • Ali iz opisanega lahko sklepaš, da sta bila oba manjkajoča zaposlena moška? • Ali iz opisanega lahko sklepaš, da sta oba manjkajoča imala enak tlak? • Ali iz opisanega lahko sklepaš, da ima Jaka še vedno najvišji tlak?

Kaj preverja naloga? • Raziskati zapleten način povezovanja med podatki. • Razumeti jezik in pojme. • Problem vključuje sposobnost postavljanja vprašanja, kot so: Kako vem? , Kako najdem? , Kaj bi se lahko zgodilo? , Kaj bi se zgodilo, če …? Problem vključuje sposobnost razumevanja ter uporabe matematičnih pojmov, kot je povprečje v situacijah, ki so večplastne

Povezava aritmetične sredine s poukom geometrije. RAZUMEV. ARIT. SR. . doc Raziščimo: Trikotnika imata enaki povprečji dolžin svojih stranic. Kaj lahko rečemo o njunih obsegih in o njunih ploščinah?

Kaj preverja naloga? • Razmislek. Dejstvo, da imata trikotnika enaki povprečni dolžini stranic, ne pove prav veliko o medsebojnem velikostnem odnosu stranic. Vsak od trikotnikov je namreč lahko enakostranični, enakokraki, raznostranični.

• Iz podatka o aritmetični sredini podatkov ne moremo sklepati na velikostni odnos med podatki, niti ne na razpršenost med podatki, podatkov. • Zagotovo pa lahko ugotovimo vsoto vrednosti podatkov, ki v našem primeru vrednosti podatkov, predstavlja obseg trikotnikov.

Odnos med posameznimi števili in njihovo povprečno vrednostjo. RAZUMEV. ARIT. SR. . doc Raziščimo: Če je povprečna vrednost petih števil 40, kakšna so lahko posamezna števila?

Nazornost lahko dosežemo s stolpčnim diagramom.

Mediana Za mediano je značilno, da je vsaj polovica podatkov od nje večja ali njej enaka, vsaj polovica podatkov pa je od nje manjša ali njej enaka.

Postopek določitve mediane Mediano niza n podatkov določimo takole: • Podatke uredimo po velikosti. • Izračunamo število (n+1)/2 ki pove, kateri podatek urejenega niza po vrsti je mediana. • Če število (n+1)/2 ni celo, vzamemo za mediano povprečje 'sosednjih' podatkov v urejenem nizu.

Določanje mediane za ponavljajoče se podatke Trije dijaki obiskujejo glasbeno šolo eno leto, osem dijakov dve leti, dva dijaka tri leta, en dijak štiri leta in en dijak pet let. Kaj je mediana števila let glasbenih izkušenj?

Zgled: • Spodnja tabela prikazuje rezultate v razredu izvedene ankete o tem, koliko filmov so si dijaki ogledali v kinu v preteklem mesecu. • Določimo mediano in povprečje števila filmov, ki so si jih dijaki ogledali. filmov,

Določanje mediane Število v preteklem mesecu gledanih filmov Frekvenca (št. dijakov, ki so si ogledali navedeno število filmov) 0 1 2 3 4 10 6 7 3 4

Število ogledanih filmov: 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 Mediana: 1 Povprečna vrednost: 1, 5

Lastnosti mediane • Mediana ni občutljiva na izstopajoče podatke. • Mediana je po velikosti osrednja vrednost niza podatkov. • Mediano določamo le za vrstne in številske podatke.

Razumevanje pojma mediane Najpogostejše težave so: • dijaki pri določanju mediane podatkov ne uredijo po velikosti; • dijaki obravnavajo ponavljajoče se podatke kot en sam podatek; • dijaki mešajo mediano z njenim položajem v nizu.

Modus Kaj je modus? • Modus ali gostiščnica je vrednost, ki v nizu podatkov najpogosteje nastopa. Modus lahko določimo za opisne, vrstne in številčne podatke. • Modus uporabljamo predvsem pri opisnih podatkih.

Ali je za spodnje podatke možno oz. smiselno izračunati aritmetično sredino, modus oz. mediano? • Ploskve igralne kocke so označene s številkami 1, 2, 3, 4, 5 in 100. Kocko vržemo 15 krat in zabeležimo vržene številke. • Ocene učencev danega razreda pri matematiki.

Primerjava med aritmetično sredino, mediano in modusom MODUS MEDIANA ARIT. SREDINA Vrsta podatkov, kjer jo lahko uporabimo. opisni, vrstni, številčni Opredelitev Podatek, ki se najpogosteje pojavlja. Sredinski podatek v nizu podatkov, razvrščeni po velikosti. Enakomerno razdeljena skupna vrednost vseh podatkov. Izračun Iz frekvenc nastopajočih podatkov. Podatke uredimo po velikosti in določimo osrednjega. Vsota vrednosti delimo s št. vnosov. Kdaj jo uporabimo? Če obstaja prevladujoč pod. , pretežno za opisne podatke. Pri vrstnih podatkih (kadar so izstopajoči podatki). Pri št. podatkih (kadar ni izstopajočih podatkov).

Za katere podatke računamo aritmetično sredino, modus im mediano? Za spodaj navedene vrste podatkov poskusimo ugotoviti, ali so opisni, vrstni ali številski. Premislimo tudi, ali je zanje najbolj siselno ugotavljati aritmetično sredino, modus ali mediano. telesna višina, hišne številke, zvrsti glasbe, vrstni red učencev na tekmovanju, obsegi danih likov, šolske ocene pri angleščini, barva avtomobila, izostanki v šoli, telefonske številke •

Merila za razpršenost podatkov • Merila za osredinjenost podatkov: modus, mediana, aritmetična sredina govorijo o tipični ali osrednji vrednsoti podatkov. Ta informacija pa pogosto premalo natančno opisuje zbrane podatke. • Merila za osredinjenost ne prikažejo razpršenosti podatkov.

1. 2 Merila za razpršenost • razmik • medčetrtinski razmik • kvartili

Razmik • Razmik je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo v nizu podatkov. • Ima podobno pomanjkljivosti kot aritmetična sredina: nanj vplivajo 'izjemne' vrednosti. • Zato razpršenost izražamo na tak način, da primerno izničimo vpliv po velikosti izstopajočih vrednosti. •

Določanje kvartilov • Če je n število podatkov, vrednosti (n+1)/4, 2*(n+1)/4, 3*(n+1)/4 predstavljajo vrstni red 1. , 2. in 3. kvartila v urejenem nizu podatkov. • Če katero od teh števil ni celo, vzamemo za kvartil povprečje dveh sosednih vrednosti.

Določanje kvartilov Če je v urejenem nizu 19 podatkov: prvi, drugi in tretji kvartili so zaporedoma na 5. , 10. , in 15. mestu, saj je (19+1)/4=5, 2*(19+1)/4=10 in 3*(19+1)/4=15). Če je urejenem nizu 20 podatkov: položaj prvega kvartila: (20+1)/4=5. 25. Za prvi kvartil bomo torej vzeli povprečje 5. in 6. podatka v urejenem nizu. Mediana (t. j. drugi kvartil) je povprečje 10. in 11. podatka, ker je 2*(20+1)/4=10. 5, tretji kvartil pa je enak povprečju med 15. in 16. podatkom v urejenem nizu, saj je 3*(20+1)/4=15. 75.

Medčetrtinski razmik je razlika med tretjim in prvim kvartilom. • Da izničimo vpliv izstopajočih vrednosti, iz nabora odstranimo četrtino po velikosti največjih in četrino po velikosti najmanjših vrednosti. Razliki med največjo in najmanjšo vrednostjo v preostalem naboru pravimo medčetrtinski razmik. •

Pomen medčetrinskega razmika Iz opisa je razvidno, da medčetrinski razmik pove, na kako širokem pasu se nahaja osrednja polovica podatkov. Velik medčetrinski razmik pove, da so podatki razpršeni, majhen pa, da so podatki bolj skoncentrirani.

Prikaz razpršenosti podatkov Škatla z brki. doc • Škatla z brki je enostaven in zelo nazoren Škatla z brki prikaz razporeditve številskih ali vrstnih podatkov. • Z njim na grafičen način podamo informacijo o največjem in najmanjšem podatku, o kvartilih oz. mediani, posredno pa tudi o razmiku ter o medčetrtinskim razmiku.

2. UPORABA ORODIJ ZA OBDELAVO PODATKOV PREISKOVANJA Z izrazom preiskovanje bomo označevali postopke za obravnavo problemskih situacij z nejasnimi izhodišči in cilji (lahko odprti problemi). • Matematiče preiskave. • Empirične preiskave.

ELEMENTI PREISKAVE Preiskovanja lahko temeljijo na zbiranju in obdelavi podatkov. IZHODIŠČE (problemska situacija) 1. postavljanje vprašanja 2. načrtovanje preiskave 3. zbiranje podatkov 4. analiziranje podatkov 5. interpretacija rezultatov 6. predstavitev

ELEMENTI PREISKAVE EMPIRIČNA PREISKAVA MATEMATIČNA PREISKAVA Izhodišče Razišči odsotnost dijakov Razišči deljivost števil s pri pouku 4 in s 6. Postavitev vprašanja Kako vpliva dan v tednu na odsotnost? Katera števila so hkrati deljiva s 4 in s 6? Načrtovanje preiskave Odsotnost po dnevih bomo prikazali s stolpčnim diagramom. V tabelo bomo glede na dva kriterija razvrstili prvih 100 števili in poskušali ugotoviti pravilo. Zbiranje podatkov Beležimo odsotnost po dnevih. Števila razporedimo v tabelo. Analiziranje podatkov Podatke prikažemo s stolpci. V tabeli iščemo zakonitosti. Interpretiranje podatkov Odsotnost učencem povežemo s socialnim kontekstom. Ugotovitev povežemo z znanjem o najmanjših skupnih večkratnikih ali jo kako drugače utemeljimo.

Empirične preiskave Matematične preiskave Ali se bolj izplača kupovati v Obravnavaj presek dveh manjših trgovinah ali v kvadratov. supermarketih? Razišči delitelje števil. Ali bolje berejo fantje ali dekleta Katera števila imajo natanko tri delitelje? Kako dolgo čakajo avtomobili na danem semaforju?

EMPIRIČNE PREISKAVE Cilji empirične preiskave: IZVOZ. doc • uvid v problemsko situacijo, • postavitev vprašanja, • uporaba orodij za obdelavo podatkov.

PRIMERI IZHODIŠČE (problemska situacija) • Raziščimo znanje učencev v prvem letniku pri številih. • Raziščimo kako varne so ceste v naselju Nova vas. • Kateri kraj ima ugodnejše temperaturne razmere za smučanje. • Raziščimo odsotnost učencev pri pouku.

PREISKAVE Cilj: postavitev vprašanja, zbiranje in analiziranje Cilj: rezultatov, interpretacija rezutatov, uporaba orodij za prikazovanje podatkov (škatla z brki). IZZIV: Raziščimo kako varne so ceste v IZZIV: naselju Nova vas. EP VARNE CESTE PREDSTAVITEV. doc

PREISKAVE Cilj: analizirati vpliv vprašalnika na zbiranje podatkov, analizirati vpliv uporabljenih kriterijev za odločanje, kritični odnos do interpretacije rezultatov. IZZIV: EP NAGRADE DELAVNICA 1 – P. doc

PREISKAVE Cilj: izkustevno učenje verjetnosti. Aktivnosti, povezane z delom s podatki lahko služijo kot prva izkušnja z verjetnostjo. VERJETNOST. doc

1. Postavitev vprašanja Zahtevnost postavljanja vprašanja • Kaj želimo preiskati? • Kaj želimo ugotoviti ali izmeriti? • V kakšnih enotah bodo izražali podatke? • Kako bomo do podatkov prišli? • Katere podatke bomo morali zbrati? • Kaj bomo naredili z zbranimi podatki? • Ali predvidevamo kakšne težave? • Je mogoče odgovoriti na vprašanje, ki smo si ga zastavili? • Kako bomo uporabili rezultate svojega dela?

2. Pomen načrtovanja preiskave • nemoten potek preiskave • pomembno je (metakognitivno) znanje, saj moramo vsako zahtevnejše matematično opravilo načrtovati • namen preiskovanja je predvsem učenje procesov, ne pa ugotavljanje dejstev

3. Zbiranje podatkov obsega vrsto procesov: • štetje, • merjenje, • beleženje, • čiščenje • kodiranje • tabeliranje podatkov.

4. Urejanje in analiziranje podatkov • podatke strukturiramo (jih uredimo, razvrstimo ipd. ) • podatke skrčimo (določimo sredine, razpršenost) • podatke grafično predstavimo z ustreznimi prikazi

5. Interpretiranje rezultatov EP NAGRADE PREISKAVA 1 -P. doc • Interpretacija naj bo predvsem povzetek ugotovljenih dejstev. • Razvijanje kritičnega odnosa do interpretacije rezultatov. • Pazljivost pri posploševanju ugotovitev.

Kaj naj še vsebuje interpretacija? • Ali smo res odgovorili na zastavljeno vprašanje? • Bi lahko na vprašanje odgovorili z drugačnimi vrstami podatkov? • So zbrani podatki verodostojni? • Kaj pravzaprav pomenijo dobljeni rezultati?

6. Predstavitev preiskave Glede na to, da je namen preiskovanj, povezanih z zbiranjem podatkov, učenje procesov, je povsem smiselno, če poročilo odseva faze preiskovanja, kot jih navajamo v tem poglavju, torej: • • postavitev vprašanja, načrt dela, zbiranje podatkov, obdelava zbranih podatkov ter ugotovitve oz. interpretacijo rezultatov.

Sodobni didaktični pristopi k učenju in poučevanju: • reševanje odprtih problemov (povezovanje znanja, uvid odprtih problemov v problemsko situacijo, postavitev raziskovalnega vprašanja …); • reševanje zaprtih problemov (povezovanje znanja, zaprtih problemov izbira primerne strategije, utemeljevanje pričakovanih rešitev …); • modeliranje avtentičnih situacij (reflektiranje znanj, modeliranje abstraktni modeli, uporaba IKT …); • problemsko učenje in poučevanje (kognitivni konflikt);

Sodobni didaktični pristopi k učenju in poučevanju: • PREISKAVA 1 -P. doc preiskovanja(empirična preiskovanja( preiskovanja, povezovati znanja, uporaba obdelave podatkov); • razvijanje različnih strategij reševanja problemov (pomen strategij, izbira primernih strategij, poznavanje strategij …); • bralne strategije (prelet, vprašanja, branje, ponovni bralne strategije pregled, poročanje); • sodelovalno učenje in poučevanje; • debatne tehnike … debatne tehnike

IZZIV: Izbira primernih didaktičnih pristopov za uresničevanje ciljev. CILJI: DIDAKTIČNI PRISTOPI: • spodbujati inovativnost, kreativnost, samoinciativnost, kritično samoinciativnost mišljenje; • reševanje odprtih problemov; problemov • modeliranje avtentičnih modeliranje situacij (abstraktni modeli, uporaba IKT, validacija modela …); • kritično razmišljati orodjih za obdelavo podatkov, kritični odnos do interpretacije razultatov. • preiskovanje (uporaba preiskovanje obdelave podatkov).