PORCENTAJES U D 4 Angel Prieto Benito 4

PORCENTAJES U. D. 4 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

PORCENTAJES ENCADENADOS U. D. 4. 4 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

Valor inicial • • Sabemos que: Cantidad inicial +/- r% = Cantidad final Cf = Co ( 1 +/- r/100) Cf = Co. Índice de variación Luego: Co = Cf / Índice de variación Valor actual Siempre: i = -----------Valor antiguo • • Ejemplo 1 Un coche nos ha costado 18. 000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 5%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año? . • Índice de variación = i = 1 + r/100 = 1 + 5/100 = 1, 05 • PVP (2006) = PVP (2007) / i = 18. 000 / 1, 05 = 17. 123 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

• Ejemplo 2 • Un piso nos ha costado 180. 000 €. Nos dicen que en este último año ha subido un 8%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año? . • Índice de variación = i = 1 + r/100 = 1 + 8/100 = 1, 08 • PVP (2006) = PVP (2007) / i = 180. 000 / 1, 08 = 166. 667 € • Ejemplo 3 • Un ordenador nos ha costado 1. 000 €. Nos dicen que en este último año han bajado un 15%. ¿Cuánto nos habría costado de haberlo comprado hace un año? . • Índice de variación = i = 1 - r/100 = 1 - 15/100 = 0, 85 • PVP (2006) = PVP (2007) / i = 1. 000 / 0, 85 = 1. 176 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

I. P. C. • • • Sabemos que: Cantidad inicial +/- r% = Cantidad final Cf = Co · ( 1 +/- r/100) Cf = Co. Iv Siendo i = 1+/- r/100), donde el signo depende de si es aumento o disminución porcentual. Luego: i = Cf / Co Valor actual Siempre: i = -----------Valor antiguo El índice de variación más popular es el IPC (Índice de Precios de Consumo). Si el IPC es mayor que la unidad (i >1) es que el precio de las cosas o servicios que consumimos a aumentado, que “la vidsa está más cara”; mientras que si el IPC es menor que la unidad (i < 1) el precio de las cosas o servicios que consumimos a disminuido. IPC = 1, 05 El precio de las cosas a aumentado un 5% IPC = 0, 97 El precio de las cosas a disminuido un 3% @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

I. P. C. • • El IPC puede referirse a un mes, un trimestre, un año, una década, etc. Valor a finales de Junio IPC (Junio) = --------------------Valor a principios de Junio • • • Valor a finales de 2015 IPC (2015) = -------------------Valor a principios de 2015 • A veces en la TV vemos un IPC negativo. Falso. El IPC como todos los índices son siempre POSITIVOS. Será 0 < IPC < 1, si los precios bajan e IPC > 1 si los precios suben respecto al periodo anterior. Lo que ocurre es que en los medios de comunicación lo que nos dan son los incrementos, el r %, razón por la que a veces son negativos. • • • IPC r = 0, 05 El precio de las cosas a aumentado un 5% IPC r = – 0, 03 El precio de las cosas a disminuido un 3% @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

PORCENTAJES ENCADENADOS • • • TANTO POR UNO ENCADENADOS • • Ejemplo 1 Al comprar un objeto nos hacen un 20% de descuento, pero al pagarlo nos aplican un 16% de IVA. Hallar el índice de variación conjunta o global. • • Si nos hacen un 20% de descuento: i =1 – 20/100 = 1 – 0, 2 = 0, 80 Se paga el 80% del p. v. p. Si nos imponen un 16% de IVA: i = 1 + 16/100 = 1 + 0, 16 = 1, 16 Se abona el 116 % del precio trass el descuento. En total: El 116% del 80% será 1, 16. 0, 8 = 0, 928 , que es el 92, 8 % del precio o índice global, Ig. Pf = PVP·Ig = 0, 9280·PVP • • La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al PRODUCTO de estos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

Ejemplos • EJEMPLO 2 • El precio de un ordenador marca 1000 €. Nos hacen un 12 % de descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 21% de IVA. ¿Cuánto pagamos por el ordenador? . • • Si nos hacen un 12% de descuento: i =1 – 12/100 = 1 – 0, 12 = 0, 88 Se paga el 88% del p. v. p. Si nos imponen un 21% de IVA: i = 1 + 21/100 = 1 + 0, 21 = 1, 21 Se abona el 121 % del precio tras el descuento. En total: El 121% del 88% será 1, 21. 0, 88 = 1, 0648 , que es el 106, 48 % del precio o índice global, Ig. Pf = 1000· 1, 0648 = 1 064, 80 € Al final pagamos más de lo señalado a pesar del descuento. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8

Ejemplos • EJEMPLO 3 • Un piso me costó hace pocos años 100. 000 €. Su valor ha aumentado un 25%. Pero al venderlo, los gastos me suponen un 20% de su valor. ¿Qué dinero voy a obtener finalmente si le vendo? . • • • Si su valor ha aumentado un 25%: i = 1 + 25/100 = 1 + 0, 25 = 1, 25 Vale el 125 % del valor anterior. Si tengo que restar los gastos a lo que vale: i =1 – 20/100 = 1 – 0, 20 = 0, 80 Obtengo el 80% de lo que vale. En total: El 125% del 80% será 1, 25. 0, 80 = 1, 00 , que es el 100 % del precio o índice global, Ig. Pf = 100 000 · 1 = 100 000 € • • • Importante: A pesar de que la subida (25%) es mayor en porcentaje que los gastos (20%), los porcentajes se aplican a cantidades diferentes (100. 000 € y 125. 000 €), por lo cual el balance final es nulo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 9

Ejemplos • Ejemplo 4 • He obtenido 12. 000 € al vender una plaza de garaje que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 10%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 10% de su valor de venta. • ¿Por cuánto dinero compré la plaza de garaje? . • • Índice global = Ig = (1 + r/100). (1 – r’/100) = = (1 + 10/100). (1 – 10/100) = 1, 1 x 0, 9 = 0, 99 Pf = Po. Ig Po = Pf / Íg Po = 12. 000 / 0, 99 = 12. 120 € Importante: Como se ve he perdido dinero, pues aunque los porcentajes son iguales (10%), el de Hacienda es sobre una cantidad mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

Ejemplos • Ejemplo 5 • He obtenido 2. 000 € al vender un coche de segunda mano que compré hace un año. Su precio ha aumentado en un 8%, pero he tenido que pagar a Haciendo un 4% de su valor de venta. • ¿Por cuánto dinero compré el coche? . • • Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) Ig = (1 + 8/100). (1 – 4/100) = 1, 08 x 0, 96 = 1, 0368 Pf = Po. Ig Po = Pf / Íg • Po = 2. 000 / 1, 0368 = 1. 929 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

Ejemplos • Ejemplo 6 • • • Un vestido de novia, a lo largo del año sufre las siguientes variaciones en su precio: En Marzo sube un 10% En Mayo sube un 15% En Agosto baja un 8% Y en Noviembre baja un 12%. ¿Qué me costó en Enero si ahora (Diciembre) vale 2. 000 €? . • • • Índice global = (1 + r/100). (1 – r’/100) Ig = (1 + 10/100). (1 + 15/100). (1 – 8/100). (1 – 12/100) = = 1, 10 x 1, 15 x 0, 92 x 0, 88 = 1, 21 Pf = Po. Ig Po = Pf / Íg Po = 2. 000 / 1, 21 = 1. 653 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12

Ejemplos • Ejemplo 7 • • • A finales de 2003 un piso costaba 180. 000 €. En el año 2004 su precio aumentó un 12%. En el año 2005 aumentó un 10%. Y en el año 2006 aumentó un 8, 5 %. Hallar el valor del piso a principios de 2007. • • • 2004 Índice de variación: i = 1 + 0, 12 = 1, 12 2005 Índice de variación: i = 1 + 0, 10 = 1, 10 2006 Índice de variación: i = 1 + 0, 085 = 1, 085 Índice global: Ig = 1, 12. 1, 10. 1, 085 = 1, 33672 Precio actual del piso: 180. 000. 1, 33672 = 240. 609 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 13