Por Ledo Vaccaro Machado BEMVINDO A APRESENTAO PARA

Por Ledo Vaccaro Machado

BEM-VINDO A APRESENTAÇÃO PARA OBTER EXPLICAÇÕES SOBRE A APRESENTAÇÃO, CLIQUE AQUI. PARA SELECIONAR ASSERTIVA, CLIQUE AQUI. PARA IR PARA A PRIMEIRA ASSERTIVA, CLIQUE AQUI.

V FUNÇÕES DOS COMANDOS (BOTÕES) F SAIR Finaliza a apresentação Remete à descrição dos comandos (este slide). Destinam-se a classificação das assertivas: verdadeira (V) ou falsa (F). Se a assertiva for classificada corretamente, escutam-se palmas. SELECIONAR ASSERTIVA RETORNAR Retorna ao último Em caso contrário, escuta-se barulho de uma explosão. Remete a um menu com todas JUSTIFICATIVA as assertivas da apresentação. Remete a uma demonstração slide apresentado. As retas r e s são paralelas ao plano e. . . ou a um contra-exemplo da assertiva que está sendo analisada. Remete ao slide imediatamente anterior ao que está sendo observado. Palavras destacadas com cores Remete ao slide imediatamente nos textos dos slides de justificativa posterior ao que está sendo observado. remetem a um hipertexto. RETORNAR

MENU SAIR 1 Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO s r As retas r e s são paralelas ao plano e não são paralelas entre si.

MENU SAIR 2 Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA r CONTRAEXEMPLO r Os planos e são paralelos à reta r e não são paralelos entre si.

MENU SAIR 3 Uma reta paralela a dois planos secantes é paralela à interseção deles. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s Seja a reta r paralela aos planos secantes e . Consideremos r’, a projeção ortogonal de r r r sobre o plano . As retas r ’ e r’ são paralelas e as retas r’ e s, interseção de e , são coplanares e não possuem nenhum ponto em comum pois, se isso acontecesse, r teria um ponto em comum com . Assim, r’ e s são para-lelas.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s rr ’ r é paralela a r’ e r’ é paralela a s. Logo, r é paralela a s. C. Q. D.

MENU SAIR 4 Uma reta paralela a uma plano é paralela a qualquer reta do plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO r s A reta r é paralela ao plano e a reta s está contida em . As duas retas são reversas. Não são paralelas.

MENU SAIR 5 Um plano paralelo a uma reta é perpendicular a um único plano que contém a reta. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

Consideremos o plano paralelo à reta r VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r t s Consideremos o plano paralelo à reta r e suponhamos que existam dois planos distintos, e , que passem por r e sejam perpendiculares a.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r t P s B A Consideremos o plano paralelo à reta r e suponhamos que existam dois planos distintos, e , que passem por r e sejam perpendiculares a . Tomemos um ponto P em r e a perpendicular a passando por P. Essa perpendicular deve estar contida em e também em . Isso é impossível pois a perpendicular a um plano passando por um ponto é única. Logo, o plano perpendicular a passando porr é único. C. Q. D.

MENU SAIR 6 Um plano secante a uma reta é secante a todo plano que contém a reta. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA r DEMONSTRAÇÃO P Qualquer plano que contenha a reta r passará pelo ponto P, que é um ponto de . Assim, tal plano tem um ponto em comum com e é distinto de , logo é secante a . C. Q. D.

MENU SAIR 7 Se duas retas são perpendiculares, então toda reta paralela a uma delas é perpendicular a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA t u CONTRAEXEMPLO r v s As retas r e s são perpendiculares. As retas t, u e v são paralelas a r e não são perpendiculares a s, são ortogonais.

MENU SAIR 8 Se duas retas são paralelas, então toda reta perpendicular a uma delas é perpendicular a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO r t s As retas r e s são paralelas. As retas s e t são perpendiculares e as retas t e r não são perpendiculares, são ortogonais.

MENU SAIR 9 Se duas retas são paralelas, então toda reta que forma ângulo reto com uma delas forma ângulo reto com a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO t r’ r s’ Sejam r e s retas paralelas e t uma reta que forma 90º com r. Tracemos as retas r’ e s’ paralelas a r s e s, respectivamente, e que são concorrentes com t. r’ é perpendicular a t visto que t e r formam 90º. r’, s’ e t formam duas paralelas cortadas por uma transversal. Desse modo, t e s’ são perpendiculares. Logo, a reta t forma 90º com s. C. Q. D.

MENU SAIR 10 Se duas retas são ortogonais, toda reta paralela a uma delas forma ângulo reto com a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s t r Sejam r e s retas ortogonais e t uma paralela a s. Tracemos o plano , um plano perpendicular a s e que contém r. Como t é paralela a s, t é perpendicular a e, por isso, forma 90º com qualquer reta de . Logo, t é forma 90º com r. C. Q. D.

MENU SAIR 11 Sejam r, s e t três retas do espaço. Se r é perpendicular a s e s é perpendicular a t então, necessariamente, r é perpendicular a t. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA r t CONTRAEXEMPLO s r é perpendicular a s, s é perpendicular a t e r não é perpendicular a t.

MENU SAIR 12 Sejam r, s e t três retas do espaço. Se r é perpendicular a s e s é perpendicular a t então, necessariamente, r é paralela a t. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA r t CONTRAEXEMPLO s r é perpendicular a s, s é perpendicular a t e r não é paralela a t.

MENU SAIR 13 Se uma reta é perpendicular a uma reta de um plano, então ela é perpendicular ao plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO s r s é perpendicular a r. r é uma reta do plano e s não é perpendicular ao plano .

MENU SAIR 14 Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO s t r Sejam r e s retas paralelas de um plano e t uma perpendicular às duas. A reta t está contida em e não é perpendicular a .

MENU SAIR 15 Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r a P b Sejam a e b duas retas do plano e r uma reta perpendicular a a e a b. As três retas concorrem no ponto P.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s A a P S B b Sejam a e b duas retas do plano e r uma reta perpendicular a a e a b. As três retas concorrem no ponto P Provemos que r é também perpendicular a qualquer outra reta que passe por P. Para tanto, tracemos uma reta s de que passe por P e tomemos um segmento AB que intercepta s no ponto S, com A em a e B em b.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A a P S F B b Consideremos ainda os pontos E e F da reta r tais que P seja o ponto médio de EF. Desta forma, a é mediatriz de EF e b também. Logo, AE AF e BE BF. Os triângulos ABE e ABF têm os três lados respectivamente congruentes, logo são triângulos congruentes.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A P S F a b B Consideremos ainda os pontos E e F da reta r tais que P seja o ponto médio de EF. Desta forma, a é mediatriz de EF e b também. Logo, AE AF e BE BF. Os triângulos ABE e ABF têm os três lados respectivamente congruentes, logo são triângulos congruentes.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A P a b S F B Consideremos ainda os pontos E e F da reta r tais que P seja o ponto médio de EF. Desta forma, a é mediatriz de EF e b também. Logo, AE AF e BE BF. Os triângulos ABE e ABF têm os três lados respectivamente congruentes, logo são triângulos congruentes.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A a P b S F Consideremos ainda os pontos E e F da reta r tais que P seja o ponto médio de EF. Desta forma, a é mediatriz de EF e b também. Logo, AE AF e BE BF. Os triângulos ABE e ABF têm os três lados respectivamente congruentes, Blogo são triângulos congruentes.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A P S a b F B

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s P S a A b B F

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s P S Sendo os triângulos ABE e AFB congruentes, os ângulos E B e F B são congruentes. E a A b B F

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s A a P S F B b Sendo os triângulos ABE e AFB congruentes, os ângulos E B e F B são congruentes. Os triângulos EAS e FAS têm dois lados e os ângulos que eles formam respectivamente congruentes ( EA FA, AS comum e E S F S ), logo são triângulos congruentes. Então, ES FS.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r E s P S F a b Assim, a reta s passa no ponto médio de EF, o ponto P, e também no ponto S equidistante de E e de F. Logo, s é mediatriz de EF e, consequentemente, s é perpendicular a r. C. Q. D.

MENU SAIR 16 Se uma reta é perpendicular a uma reta paralela a um plano, então ela é perpendicular ao plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA r CONTRAEXEMPLO s A reta r é perpendicular a reta s que, por sua vez é paralela ao plano . Entretanto, r não é perpendicular a .

MENU SAIR 17 Se uma reta é perpendicular a uma reta perpendicular a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s Q P Seja r uma reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto P de . Seja, também, a reta s perpendicular a r passando por Q, não pertencente a . A reta s ou é paralela a ou é secante a . Suponhamos que s seja secante e provemos que isso é um absurdo.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s Q P Seja r uma reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto P de . Seja, também, a reta s perpendicular a r passando por Q, não pertencente a . A reta s ou é paralela a ou é secante a . Suponhamos que s é secante e provemos que isso é um absurdo.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s Q P

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s r Q P

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s r Q P T Chamemos de T o ponto comum a s e e tracemos o triângulo PQT. Este triângulo têm dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, a reta s não é secante ao plano , ou seja, ela é paralela a e, consequentemente, existe reta em que é paralela a s.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s r Q P Chamemos de T o ponto comum a r e e tracemos o triângulo PQT. Este triângulo têm dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, a reta s não é secante ao plano , ou seja, ela é paralela a e, consequentemente, existe reta em que é paralela a s.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s Q P Chamemos de T o ponto comum a r e e tracemos o triângulo PQT. Este triângulo têm dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, a reta s não é secante ao plano , ou seja, ela é paralela a e, consequentemente, existe reta em que é paralela a s.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r Q s P Chamemos de T o ponto comum a r e e tracemos o triângulo PQT. Este triângulo têm dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, a reta s não é secante ao plano , ou seja, ela é paralela a e, consequentemente, existe reta em que é paralela a s.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s T Q P Outra possibilidade é a reta s passar pelo ponto P. Vamos mostrar que, neste caso, s está contida em e, consequentemente, existe reta em paralela a s. Suponhamos que s é secante a e formemos o triângulo PQT. Este triângulo também teria dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, s está contida em . C. Q. D.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s P Outra possibilidade é a reta s passar pelo ponto P. Vamos mostrar que, neste caso, s está contida em e, consequentemente, existe reta em paralela a s. Suponhamos que s é secante a e formemos o triângulo PQT. Este triângulo também teria dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, s está contida em . C. Q. D.

MENU SAIR 18 Se dois planos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s t P s’ t’ P’ Sejam dois planos paralelos, e , e uma reta r perpendicular a no ponto P e que corta no ponto P’. Existem duas retas de , s e t, concorrentes no ponto P e que são perpendiculares a r. Existem duas retas de , s’ e t’, paralelas a s e t, respectivamente, e concorrentes no ponto P’. Essas duas retas de são perpendiculares a r. Logo, r é perpendicular a . C. Q. D.

MENU SAIR 19 Duas retas distintas e coplanares perpendiculares a um plano são paralelas. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s t Consideremos duas retas r e s perpendiculares a um plano . Seja o plano que contém r e s. Essas duas retas são perpendiculares a interseção de e , que chamaremos de t. r e s são coplanares e ambas perpendiculares a t, logo, r e s são paralelas. C. Q. D.

MENU SAIR 20 Dados um ponto e um plano, existe uma única reta perpendicular ao plano passando pelo ponto. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO P P’ Seja um plano e um ponto P fora desse plano. Seja, também, P’ a projeção ortogonal de de P sobre . A reta PP’ é, por definição, perpendicular a .

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO P O ponto P pode estar sobre . Neste caso, podemos escolher duas retas de concorrentes em P e traçar a perpendicular às duas que passa por P. Assim, qualquer que seja o plano e o ponto, existe a perpendicular ao plano que passa pelo ponto. Provemos que essa perpendicular é única.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO P A B Suponhamos, por absurdo, que duas retas distintas passam por P e são perpendiculares a . Tomemos A e B como pontos de interseção dessas retas com o plano . O triângulo ABP tem dois ângulos retos, e , o que é um absurdo. Logo, a reta que passa por P e é perpendicular a é única.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO P Lembrando que se duas retas são perpendiculares a um plano elas são paralelas entre si, fica fácil verificar o que acontece quando o ponto P estiver sobre . Duas retas perpendiculares a passando por P seriam paralelas, o que é um absurdo dado que elas possuem o ponto P como ponto comum. A perpendicular a um plano por um ponto é única. C. Q. D.

MENU SAIR 21 Dadas duas retas ortogonais, existe um único plano que é perpendicular a uma delas e contém a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s u r A t B Consideremos as retas r e s ortogonais. Tomemos um ponto A de r e tracemos a reta t, perpendicular a s passando por A. t corta s no ponto B. Tracemos u, paralela a r passando por B. O plano definido por r e u contém t e é perpendicular a s pois r e t são retas concorrentes desse plano e formam 90º com s. Logo, existe um plano que contém r e é perpendicular a s. Provemos que esse plano é único.

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s C r A B Suponhamos que exista um outro plano que contenha r e seja perpendicular a s. Seja C o ponto de interseção desse plano com a reta s. Os ângulos e A são retos, o que é um absurdo pois o triângulo ABC teria dois ângulos retos. Logo, o plano que contém r e é perpendicular a s é único. C. Q. D.

MENU SAIR 22 Se três retas são duas a duas ortogonais e duas delas são paralelas a um plano, então a outra é perpendicular ao plano. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s’ P r’ r Sejam r, s e t retas duas a duas ortogonais e um plano paralelo às retas r e s. s Chamemos de P o ponto de interseção de t com o plano e tracemos as retas r’ e s’ paralelas a r e s, respectivamente, e que passam pelo ponto t P. A reta t é perpendicular a r’ e também a s’, que são retas de . Logo, t é perpendicular a . C. Q. D.

MENU SAIR 23 Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles forma ângulo reto com qualquer reta do outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO C 60º A Os planos e são perpendiculares. As retas AB e AC são diagonais de faces de um cubo e estão B contidas, respectivamente, nos planos e . O ângulo B C não é reto pois o triângulo ABC é equilátero.

MENU SAIR 24 Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles perpendicular à interseção forma ângulo reto com qualquer reta do outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO r s t Se é perpendicular a , existe uma reta em que é perpendicular a . Chamemos esta reta de r. A reta r é perpendicular à interseção dos planos, que chamaremos de t. Tomemos uma outra reta de perpendicular a t. Vamos chamá-la de s. As retas r e s são paralelas por serem coplanares e ambas perpendiculares a t. Logo, s é perpendicular a e, desse modo, forma ângulo reto com toda reta de . C. Q. D.

MENU SAIR 25 Se dois planos são perpendiculares, todo plano paralelo a um deles é perpendicular ao outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s r Se os planos e são perpendiculares, existe uma reta r em que é perpendicular a . Se os planos e são paralelos, existe uma reta s em que é paralela a r. Sendo s paralela a r e r perpendicular a , s é perpendicular a . Existe uma reta em que é perpendicular a , logo, é perpendicular a . C. Q. D.

MENU SAIR 26 Se dois planos são perpendiculares, qualquer outro plano perpendicular a um deles é paralelo ao outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO Os planos e são perpendiculares a e não são planos paralelos.

MENU SAIR 27 Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO r A reta r é paralela ao plano e não é perpendicular ao plano .

MENU SAIR 28 Se três planos são dois a dois perpendiculares, eles têm um único ponto comum. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s P r t Os planos e se interceptam segundo uma reta r que, por sua vez, intercepta o plano no ponto P. Assim, o ponto P pertence aos planos , e . Este ponto tem que ser único pois qualquer ponto pertencente a um só tempo a e será um ponto de r e esta é secante a , tendo, com este plano, um único ponto em comum. C. Q. D.

MENU SAIR 29 Se dois planos perpendiculares e tem interseção r, todo plano perpendicular a r intercepta e em retas perpendiculares. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

VERDADEIRA DEMONSTRAÇÃO s r t Os planos e são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. O plano é perpendicular a reta r. Deste modo, a reta r forma ângulo reto com qualquer reta do plano e, em particular, com a reta t que é a interseção dos planos e . t é uma reta de e é perpendicular a interseção de dois planos perpendiculares, e . Logo, t forma ângulo reto com qualquer reta de e, em particular, com a reta s. C. Q. D.

MENU SAIR 30 Se duas retas são perpendiculares, então todo plano que contém uma delas é perpendicular a qualquer plano que contenha a outra. V SELECIONAR ASSERTIVA F JUSTIFICATIVA

FALSA CONTRAEXEMPLO s r As retas r e s são perpendiculares. Os planos e contêm as retas r e s, respectivamente, e não são perpendiculares.

PRÓXIMA PÁGINA Esta apresentação foi criada para ajudar aos que estão se embrenhando nos caminhos da Geometria Espacial. MENU

Ela aborda um capítulo intitulado Geometria de Posição e o faz através de assertivas que devem ser classificadas em verdadeiras V ou falsa F. PRÓXIMA PÁGINA MENU

Se você classificar corretamente uma assertiva (clicando em um dos botões V ou F ), escutará palmas parabenizando-o; caso contrário, o som será de explosão. PRÓXIMA PÁGINA MENU

Se a apresentação estiver sem som, verifique se o som wave está desativado ou com volume muito baixo clicando: iniciar; acessórios; entretenimentos; controle de volume. PRÓXIMA PÁGINA MENU

PRÓXIMA PÁGINA Você encontrará uma justificativa para a classificação correta de cada assertiva clicando. no botão JUSTIFICATIVA MENU

Nos textos dos slides de justificativas, PRÓXIMA as PÁGINA palavras ou expressões destacadas com cores remetem à definições e lem-bretes bastando, para tanto, clicar sobre a palavra destacada. Para voltar ao slide de justificativa, basta clicar no botão RETORNAR. Palavras destacadas com a mesma cor remetem ao mesmo slide. MENU

Os botões e remetem, respectivamente, aos slides imediatamente anterior ou posterior ao que está sendo observado. O botão deve ser acionado após a observação de uma demonstração ou um contraexemplo para MENU ir à próxima assertiva. PRÓXIMA PÁGINA

PRÓXIMA Se você preferir navegar pelas assertivas sem obedecer a ordem natural dos slides (1, 2, 3. . . ), clique e você terá uma no botão lista com todas as assertivas da apresentação. PÁGINA SELECIONAR ASSERTIVA MENU

PRÓXIMA PÁGINA O botão remete a uma lista com os comandos (botões) usados nesta apresentação e suas respectivas funções. MENU

Espero que lhe seja de alguma valia a viagem por esta apresentação e, antecipando desculpas por falhas que podem ter nos passado desapercebidas, peço que qualquer sugestão de aprimoramento nos seja comunicada. PRÓXIMA PÁGINA Ledo Vaccaro Machado MENU

PRÓXIMA PÁGINA O único lugar em que sucesso vem antes de trabalho é no dicionário. (Albert Einstein) Vamos ao trabalho!