Pontifcia Universidade Catlica do Rio Grande do Sul

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Trabalho de Geometria Teorema de Pitágoras George Polya – Vida e Obra Generalização de George Polya para o Teorema de Pitágoras Grupo: André Wermann Diogo Schwanck Luciana dos Santos

George Polya Vida e Obra George Polya nasceu em 13 de Dezembro de 1887 em Budapeste (Hungria), em uma família judaica de origem polaca. Foi um ótimo estudante no ensino secundário, apesar da escola que freqüentava valorizar muito a aprendizagem com base na memória, prática que Polya considerava monótona e sem utilidade. Licenciou-se em 1905, tendo sido considerado como um dos quatro melhores alunos do seu ano o que lhe permitiu ganhar uma bolsa de estudo na Universidade de Budapeste. Aí começou por estudar Direito, tal como seu pai. No entanto, achou o curso aborrecido e passou para o curso de línguas e literaturas. Interessou-se depois por Latim, Física, Filosofia e finalmente por Matemática tendo, em 1912, concluído o seu doutorado.

No Outono de 1913 foi para Göttingen (Alemanha) onde conheceu Hilbert. Ainda durante este ano, publicou um dos seus maiores resultados, a solução do problema do passeio aleatório. Em 1913 foi para Paris (França) trabalhar no seu pósdoutorado. Em 1914 assumiu um cargo na Universidade de Zurique (Suíça) onde conheceu Hurwitz. Nesse mesmo ano, foi chamado pelo seu país para a guerra, mas recusou-se a prestar serviço militar. O medo de ser preso por não ter respondido à chamada fez com que apenas regressasse à Hungria depois de terminado a Segunda Guerra Mundial. Em Zurique conheceu a sua futura esposa Stella Weber. Casaram em 1918 permanecendo juntos até à morte de Polya. Em 1924, trabalhou com Hardy e Littlewood em Oxford e Cambridge (Inglaterra). Publicou a classificação em dezessete grupos dos planos de simetria, resultado que, mais tarde, viria a inspirar Escher. Em 1925, juntamente com Szegö, publicou: "Aufgaben und lehrsätze aus der Analysis" e "Die grundlehren der mathematischen wissenschaften".

Em 1940, com receio de uma possível invasão alemã da Suíça, decidiu ir para os Estados Unidos tendo aceitado, em 1942, um cargo de professor na Universidade de Stanford onde permaneceu até à sua retirada do ensino, em 1953. Em 1945 publicou um dos seus livros mais famosos: “How to Solve it”. Seguiram-se “Isoperimetric Inequalities im Mathematical Physics” (1951); “Mathematics and Plausible Reasoning” (1954), “Mathematical Discovery” (1962 -64). George Polya faleceu em sete de Setembro de 1985.

Generalização de George Polya para o Teorema de Pitágoras

Demonstração “Se F, F’ e F’’ são figuras semelhante construídas respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a e b de um triângulo retângulo, então a área de F é igual à soma das áreas de F’’. ”

C B A D Se G, G’ e G’’ são outras figuras semelhantes construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa e seus catetos, tem-se:

C B D C’ A

D’ C B D C’ A

G’ = b² = F’ G” a² F” Logo: G’ = G” F’ F” Analogamente, G’ = G, F’ F Portanto: G = G’ = G” = k F F’ F” Assim: G = k. F G’ = k. F’ G” = k. F”

Isso significa que, se forem encontradas três figuras semelhantes especiais G, G’ e G”, construídas respectivamente sobre a hipotenusa e os catetos do triangulo, de modo que se tenha G = G’ + G”, então, F = F’ + F”, quaisquer que sejam as figuras semelhantes F, F’ e F” construídas do mesmo modo. De fato: F = k. G, F’ = k. G’ e F” = k. G”, Então: F’ + F” = k. G’ + k. G” = k(G’+G”) = k. G = F

Mas as figuras “ESPECIAIS” provêem de um triângulo retângulo ABC: Basta traçar a altura CD sobre a hipotenusa AB. A figura G será o próprio triângulo ABC, G’ será ADC e G” será o triângulo BCD. C B A D