Polynome und schnelle Fourier Transformation Mohsen Taheri FU

Polynome und schnelle Fourier. Transformation Mohsen Taheri FU Berlin – So. Se 2012

Polynome � Ein Polynom ist eine Funktion � Koeffizienten: � Ein Polynom hat Grad k wenn der höchste Koeffizient mit einem Wert ungleich 0 � Länge = jede ganze Zahl großer als Grad eines Polynoms 2 Polynome und FFT

Addition von Polynomen � Seien und � Polynome � Addition � hat der Länge n von A(x) und B(x) ist auch Länge n � und � Beispiel � Laufzeit: 3 Polynome und FFT

Multiplikation von Polynomen � Seien und � Polynome der Länge n � Multiplikation von A(x) und B(x) ist � Wobei � Länge(C) = Länge(A) + Länge(B) � Beispiel � Laufzeit: 4 Polynome und FFT

Darstellung von Polynomen � Koeffizienten-Darstellung � Point-Value-Darstellung 5 Polynome und FFT

Koeffizienten-Darstellung � Das Polynom Koeffizienten � als ein Vektor der Addition: � Laufzeit � Multiplikation � (wie vorhin): wobei � Laufzeit 6 Polynome und FFT

Point-Value-Darstellung � Polynom Länge n in Point-Value- Darstellung: � eine Menge von Punkten � alle sind disjunkt � für alle : � Auswertung 7 durch Horne-Schema (in Polynome und FFT )

Addition in Point-Value-Darstellung �A : �B : � Addition: � Laufzeit: 8 Polynome und FFT

Multiplikation in Point-Value-Darstellung � Problem: Länge(A. B)=Länge(A)+Länge(B) � Lösung: Extended Point-Value � 2 n Punkte statt n Punkte � A: � B: � Multiplikation: � C: � Laufzeit 9 : Polynome und FFT

Evaluation � Evaluation: Transform von Koeffizienten-Vektor zur Point-Value-Darstellung � Evaluating: Die Auswertung eines Polynoms unter einen bestimmten Wert von x � Mit Hilfe von Horne-Schema in � Evaluation 10 insgesamt in Polynome und FFT

Interpolation � Interpolation: Transform von Point-Value. Darstellung zur Koeffizienten-Darstellung � Lagranges Formel 11 Polynome und FFT

Theorem 1: Eindeutigkeit von Interpolation der Polynomen � Für alle Menge von n Punkten � mit disjunkt � gibt es eindeutiges Polynom A(x) der Länge n, so dass � für alle � 12 Polynome und FFT

DFT � effiziente Methode für Evaluation und Interpolation � Diskrete Fourier Transform � Das Polynom Einheitswurzeln auswerten in n komplexe n-te � � Eingabe: Koeffizienten-Vektor � Ausgabe: Vektor � Auswertung der Polynom in n Komplexe n-te Einheitswurzeln 13 Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln � komplexe Einheitswurzel: eine komplexe Zahl � wobei � Es gibt genau n komplexe n-te Einheitswurzeln: � für � Die k=0, 1, … , n-1: Zahl � alle �n 14 : primitive n-te Einheitswurzel anderen Zahlen sind die Potenzen dieser Zahl komplexe n-te Einheitswurzeln sind dann: Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften � Additive � Die Gruppe n Zahlen Struktur wie die additive Gruppe � Beweis: 15 haben die gleiche Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften � Cancellation Lemma � Für jede ganze Zahl � Beweis: gilt: . � Korollar: � Für 16 alle ganze Zahlen n>0 gilt: Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften � Halving Lemma: � wenn n>0 gerade Zahl � die Quadrate der n komplexen n -te Einheitswurzeln sind die n/2 komplexe (n/2)-te Einheitswurzeln: 17 Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften � Halving Lemma: � Beweis: Da n gerade ist, nehmen wir an n=2 m � Zu zeigen: � Nach Cancellation Lemma: � da , ist dann , also □ 18 Polynome und FFT

Komplexe Einheitswurzeln - Eigenschaften � Summation Lemma: � Für jede ganze Zahl n≥ 1 und für k≠ 0 und nicht dividierbar durch n, gilt: 19 Polynome und FFT

FFT � Evaluation � unter eines Polynoms in Verwendung der Eigenschaften der Einheitswurzeln � Diese Methode heißt Fast Fourier Transform(FFT). � Annahme n ist ein 2 er Potenz ( ) � Divide-and-Conquer 20 Polynome und FFT

FFT � das Polynom A(x) in gerade und ungerade indizierte Koeffizienten teilen � zwei neue Polynome der Länge n/2 � Das 21 Polynom wird so berechnet: Polynome und FFT

FFT � das Problem von Auswerten des Polynoms in n Punkten ( ) reduziert zu: � 1. zwei Polynome Punkten ( der Länge n/2 in ) auswerten � 2. das Resultat mit Hilfe der Abgleichung zusammen addieren 22 Polynome und FFT

FFT � Nach Halving Lemma: � die Anzahl der Elemente der Liste nicht n, sondern n/2. � Die zwei Subprobleme haben genau die gleiche Struktur wie das ursprüngliche Problem und sind halb so groß. 23 Polynome und FFT

Rekursiv FFT RECURSIVE-FFT(a) 1. n = a. length() 2. if n==1 3. return a Eingabe: Ausgabe: 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. for k=0 to n/2 -1 11. 12. 13. 14. 24 return y Polynome und FFT

Rekursiv FFT � Zeilen 11 -12 kombinieren das Ergebnis der rekursiven Berechnung � Zeile 11 für � Zeile 12 für � zusammengefügt 25 wird Vektor y berechnet Polynome und FFT

Rekursiv FFT - Laufzeit � jeder rekursiver Aufruf kostet � n = Länge des Eingabevektors � Laufzeit: 26 Polynome und FFT

Interpolation in Einheitswurzeln � umgekehrtes � Polynom Verfahren vom Point-Value zurück zu Koeffizienten � Berechnung von DTF als eine Matrizenmultiplikation � Vandermonde-Matrix � wir 27 brauchen die Inverse-Matrix Polynome und FFT

Inverse von Vandermonde-Matrix � Theorem: Für j, k=0, 1, …, n-1 sind die (j, k)Einträge von die Zahlen � Beweis: � z. z. : , wobei die n×n Identitätsmatrix � betrachte die (j, j')Einträge von � Falls j=j‘ : j≠j‘ : � -(n-1) ≤ j-j' ≤ n-1 j-j' ist nicht durch n dividierbar � Summation Lemma : 28 Polynome und FFT

Interpolation in Einheitswurzeln : (j, k)Einträge der � II : �I � Vergleiche sind: mit Polynom in Einheitswurzeln � leichte Modifikation in Algorithmus berechnet die Interpolation � tausche a und y � ersetze durch � dividiere jedes Element durch n � Also 29 die Interpolation auch in berechenbar Polynome und FFT

Zusammenfassung Standard. Multiplikation Koeffizienten. Darstellung Laufzeit Interpolation Laufzeit Evaluation Laufzeit punktweise Multiplikation Laufzeit 30 Polynome und FFT Point-Value. Darstellung