POLNOM FONKSYONLARININ GRAFKLER 1POLNOM FONKSYONLARININ GRAFKLER Fx anxnan1

POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ

1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ F(x)= anxn+an-1 xn-1+an-2 xn-2+. . +a 1 x+a 0 şeklindeki bir polinom fonksiyonunun grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenir: 1. f(x) in tanım kümesi bulunur. Yani bu fonksiyonlar x R için tanımlıdır. 2. f(x) in eksenleri kestiği noktalar bulunur. x=0 için oy eksenini kestiği nokta, y=0 için ox eksenini kestiği nokta bulunur. y=0 için bir x değeri bulunamıyorsa fonksiyonun ox eksenini kesmediği anlaşılır. Bu basamakları örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

3. Fonksiyonun geliş ve gidiş yönüne bakılır. limx +_ (anxn+. . ) limiti hesaplanır, bulunan değerler eğrinin uç noktalarının hangi bölgede olduğunu gösterir. y II. bölge ( -, +) I. bölge (+, +) x III. bölge (-, -) VI. bölge (+, -) x I. bölge + için y + ise x - için y + ise II. bölge x - için y - ise III. bölge x + için y - ise IV. bölge Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

4. F(x)’in tam kareli bir çarpanı, veya başka bir deyişle katlı bir kökü varsa bu kökte grafik ox eksenine teğettir. için çift 5. F(x)’in türevine bakılır; yani fonksiyonun birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir, varsa kökler bulunur, bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazılarak y değeri elde edilir. Bu değerler fonksiyonun maksimum veya minimum değerini verir. 6. Değişim tablosu yapılır. Yukarıdaki bulunan tüm bilgiler tabloya aktarılır, türevin işareti incelenir, fonksiyonun minimum ve maksimum noktaları belirlenir. SONUÇ: Bu bilgilerin tamamı koordinat düzlemine aktarılarak grafik çizilmiş olur. Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

f: R R , f(x) = x 2 -2 x-3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 1. Tanım kümesi tüm reel sayılardır. 2. Eksenleri kestiği noktalar. için x 2 -2 x-3 x 1= -1 , x 2=3 BASAMAK 3 -4 -5 6

3. Fonksiyonun uç noktaları; x x + için y + için y 4. Çift katlı kök yoktur. 5. Türevine bakalım. + I. bölge + II. bölge

6. Değişim tablosunu inceleyelim. x -1 0 1 - 0 -3 3 + -4 + 0 y 1 3 x -1 -3 -4 ÖRNEK

f(x)= (x-2)2(x+1) fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM

1. F(x) bir polinom olduğundan x R için tanımlıdır. 2. Eksenleri kestiği noktalar x=0 için y=4 , A(0, 4) y=0 için (x-2)2(x+1)=0 x 1=x 2=2, x 3=-1 bulunur. 3. Fonksiyonun uç noktaları x için y I. bölge x - için y - III. bölge

4. Fonksiyonun (x-2)2 çarpanı tam kare olduğundan eğri x=2 apsisli noktada x eksenine teğettir. 5. Türevine bakalım. F(x)=(x-2)2(x+1) ise f ‘(x)=2(x-2)(x+1) + 1 (x-2)2 =0 (x-2) (3 x)=0 x=2 , x=0 türevin kökleri 6. Değişim tablosu -1 + 0 + 2 - y f(x) = (x-2)2(x+1) f(0) = (0 -2)2(0+1) = 4 ise f(0) =4 f(2) = (2 -2) (2+1) = 0 ise f(2)=0 +

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. 4 -1 2

Fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM

1. F(x) fonksiyonunu için tanımlıdır. 2. Eksenlerin kestiği noktalar 3. Fonksiyonun uç noktaları

4. Fonksiyonda çift kat kök yoktur. 5. Türevine bakalım. 6. Değişim tablosu 0 + 1 + -2 - max 2 + -2 min + 0

y 1 -2 2 x

Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teğet olan doğru veya eğrilerdir.

kesirli fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x değerine düşey asimptot denir. Burada a ve b noktalarındaki limitler gider.

y y x x a b Not: Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez, ancak düşey asimptota sonsuzda teğet olur.

kesirli fonksiyonu verildiğinde 1. Q(x)=0 denkleminin kökleri düşey asimptotları verir. Eğer kökleri yoksa fonksiyonun düşey asimptotlarıda yoktur. 2. Düşey asimptot grafiği parçalar yani düşey asimptot sayısı n tane ise grafik n+1 parçadan oluşmaktadır. 3. Kesirli fonksiyonların paydası (x-a)2 gibi tam kare ise x=a da eğrinin ‘a atılmış bir ekstremumu vardır. (Aklımızda kalması için biz buna x=a da bir baca vardır diyeceğiz)

y y x x=a de ‘a atılmış bir ekstremum(baca) vardır. UYARI: x x=a da ‘a atılmış bir ekstremu (baca) vardır. kesirli fonksiyonunda Q(x)=0 denkle- minin kökleri P(x)=0 denkleminin kökü değilse düşey asimptotturlar. Eğer Q(x)=0 denkleminin kökü, P(x)=0 denk leminin de kökü ise, bu noktada f(x)’in sağ ve sol limitlerine bakılır bu limitlerden en az ise o kök düşey asimptottur.

eğrisinin düşey asimptotu nedir? ÇÖZÜM

Paydayı sıfıra eşitleyelim Bunlar düşey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limitlerin ‘a gitmesi gerekir. olduğundan x=2 düşey asimptot değildir. olduğundan x=-2 düşey asimptottur.

kesirli fonksiyonunda ve y=b doğrularına yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyon da; i)Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse olduğundan yatay asimptot yoktur(eğik veya eğri aimptot vardır)

ii)Payın derecesi paydanın derecesine eşitse eşit dereceli terimlerin önündeki katsayıları oranı limitin değeridir. olduğundan asimptottur. yatay iii)Paydanın derecesi payın derecesinden daha büyükse olduğundan y=0 yani x ekseni yatay asimptottur. y y x x UYARI: Eğri düşey asimptotu kesmez. Fakat yatay asimptot eğri ve eğik asimptotları kesebilir. Fonksiyonla asimptot denklemi ortak çözüldüğünde bu kesim noktaları bulunur.

eğrisinin yatay asimptotu bulunuz. . . ÇÖZÜM

olduğundan y=-3 yatay asimptottur. y x -3 y=-3

kesirli fonksiyonunda payın derecesi paydanın derecesinden bir derece büyükse eğik, daha fazla dereceden büyükse eğri asimptot vardır. y=f(x) eğrisi için olacak şekilde bir K(x) polinomu varsa buna f(x) eğrisinin bir eğri veya eğri asimptotu denir. Bu asimptot K(x)=mx+n şeklinde ise eğik K(x)=mx 2+nx+t şeklinde ise eğri asimptot adını alır. şeklinde yazılarak K(x) elde edilir.

Fonksiyonunun eğri asimptotunu bulunuz. . . ÇÖZÜM

SONUÇ= olduğundan y=x 2 -1 eğri asimptottur. 1 -1 -1

Bir f(x) fonksiyonunu grafiğini çizmek için aşağıdaki yollar sırasıyla izlenir. *) f(x) in tanımlı olduğu aralık bulnur, fonksiyon trigonometrik ise pe riyodu tespit edilir. **) f(x) fonksiyonunun asimptotları bulunur. ***) f(x) fonsiyonunun eksenleri kestiği noktalar bulunur. a) x=0 için y= f(0), A[0, f(0)] noktası fonksiyonunu y eksenini kestiği noktadır. b) y=0 için f(x)=0, B(x, 0) noktası fonksiyonunun x ekseninin kestiği noktadır. ****)Fonksiyon kesirli ise pay kesirsiz ise çarpanlardan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teğettir. *****)Türevine bakılır. Yani f’(x)=0 denklemi çözülerek eğrinin ekstremum noktaları bulunur. Değişim tablosu yapılarak artan ve azalan olduğu aralıklar tesspit edilir. Bütün bilgiler bu değişim tablosu üzerine yazılır ve bu bilgiler ışığında grafik çizilir.

Fonksiyonunun grafiğini çiziniz. . ÇÖZÜM

i) f(x)=y nin tanım kümesi R-{2} dir. ii) x-2=0 ise x=2 düşey asimptot doğrusu yani x ekseni yatay asimptottur. iii)Eksenleri kestiği noktalar x=0 için nini kestiği noktadır. noktası y ekse- yani eğri x eksenini kesmez. iv)Değişim tablosu incelenirse olduğundan denklemin kökü yoktur dolayısıyla foksiyon her yerde azalandır.

0 x - y’ y 2 - 0 0 y 2 x