POLINOMIOS U D 5 4 ESO E AP

POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

SUMAS Y PRODUCTOS DE POLINOMIOS U. D. 5. 2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

OPERACIONES CON POLINOMIOS • Dos formas de sumar polinomios. • Una mediante columnas de términos semejantes: • P(x) = • Q(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x 3 + 5. x - 3 • P(x) + Q(x) = 5. x 4 + 7. x 3 + 3. x – 3 • La otra, más recomendable, operar en una sola línea los distintos polinomios a sumar o restar: • (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x) + (3. x 3 + 5. x - 3) = • 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x + 3. x 3 + 5. x - 3 = • = 5. x 4 + 7. x 3 + 3. x – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

SUMA DE POLINOMIOS • La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. • La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x • P(x) + Q(x) = ( 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x ) + (7. x 3 + 5. x 2 – 3 ) = • = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x + 7. x 3 + 5. x 2 - 3 = • = 11. x 3 + 12. x 2 - 5. x - 3 @ Angel Prieto Benito y Q(x) = 7. x 3 + 5. x 2 - 3 Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

DIFERENCIA DE POLINOMIOS • • Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x • P(x) - Q(x) = ( 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x ) - (7. x 3 + 5. x 2 – 3 ) = • = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x - 7. x 3 - 5. x 2 + 3 = • = - 3. x 3 + 2. x 2 - 5. x + 3 @ Angel Prieto Benito y Q(x) = 7. x 3 + 5. x 2 - 3 Matemáticas 4º ESO E. AP. 5

OPERACIONES CON POLINOMIOS • Hay dos maneras de multiplicar polinomios entre sí. • Una es, al multiplicar cada monomio de un polinomio por todos los monomios del otro, colocarlos en columnas de términos semejantes, efectuando cómodamente la suma final: • P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • Q(x) = 3. x 3 + 5. x • • 15. x 7 + 12. x 6 + 25. x 5 + 14. x 4 - 10. x 2 25. x 5 + 20. x 4 – 10. x 2 – 6. x 4 • Otra, recomendable por rapidez y economía de espacio, realizarlo en hilera de resultados parciales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 6

PRODUCTO DE POLINOMIOS • El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4. x + 3 y Q(x) = 5. x 2 + 4. x – 2 • P(x). Q(x) = ( 4. x + 3 ). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = ( 4. x ). (5. x 2 + 4. x – 2 ) + (3). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = (20. x 3 + 16. x 2 – 8. x) + ( 15. x 2 + 12. x – 6 ) = • = 20. x 3 + 16. x 2 – 8. x + 15. x 2 + 12. x – 6 = • = 20. x 3 + 31. x 2 + 4. x – 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Número de términos • El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. • Veamos algunos ejemplos: • • • (4. x). (5. x 2 + 4. x ) (4. x - 2). (5. x 2 + 4. x ). (x 2 + 4. x - 3) (5. x 2 + 4. x + 7). (x 2 + 4. x - 3) (x 2 + 4. x ). (x 3 + x 2 + x - 3) (x 2 + 4. x - 5). (x 3 + x 2 + x - 3) • • Sabiendo esto será más difícil omitir o repetir algún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito 1. 2 = 2 términos 2. 2 = 4 términos 2. 3 = 6 términos 3. 3 = 9 términos 2. 4 = 8 términos 3. 4 = 12 términos Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

POTENCIA DE UN POLINOMIOS • La POTENCIA de un polinomio es el resultado de multiplicar un polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente. • (x + y - 2) 3 = (x + y - 2) • (x - 2) 5 = (x - 2) • ( x + y )2 = ( x + y ) = x 2 + 2. x. y + y 2 • ( x - y )2 = ( x - y ) = x 2 - 2. x. y + y 2 • ( x + y )3 = ( x + y ) = … = x 3+ 2. x 2. y + 2. x. y 2 + y 3 • ( x - y )3 = ( x - y ) = … = x 3 - 2. x 2. y + 2. x. y 2 - y 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 9