Polinomios U D 5 3 ESO E Ap

Polinomios U. D. 5 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

ÁLGEBRA Y MONOMIOS U. D. 5. 1 * 3º ESO E. Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Expresión algebraica • EXPRESIÓN ALGEBRAICA • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. • Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina COEFICIENTE. • A las letras se las llama VARIABLES, y a su exponente GRADO. • Ejemplos: • • 4. x + y/5 – z El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. • • (4. x + y)/5 – 3. z El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 • El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 18%. • Si llamamos x al PVP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: • 18 • x + -----. x • 100 • El precio final será x+0, 18. x • Hemos de pagar 1, 18. x , siendo x el PVP. • Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. • Si llamamos P al precio final, queda: • P = 1, 18. x , que es lo que llamamos FÓRMULA. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 • • • Sea un rectángulo. Llamamos b a lo que mide el lado de la base. Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. • • El perímetro de un rectángulo es: 2. b+2. h El área de un rectángulo es: b. h • Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. • • Si empleamos: P = 2. b+2. h A = b. h Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 • • • La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: Llamamos x a la nota de un examen (máximo 9 puntos). Llamamos y a la nota del otro examen (máximo 9 puntos). Llamamos z a la nota de clase (máximo 1 punto). Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: x+y ------- + z 2 Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: x+y N = ---- + z 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 • • Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. • Nos cobrará al final: • • • 30 + 2. x. 10 • Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: • • P = 30 + 20. x Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Monomios • Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. • • EJEMPLO • • • El 4 es el coeficiente numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. • EJEMPLOS PRÁCTICOS • • • Por x representaríamos una longitud. Por x 2 representaríamos una superficie. Por x 3 representaríamos un volumen. 4. x 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Monomios semejantes • Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal. • • • EJEMPLO • - 5. a 5 • x. y 3 • Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes. • 3. x + 2. y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas? ) • 5. x 2 + 2. x 3 no se pueden sumar (¿ 5 m 2 + 2 m 3 ? ). • 4. x 3 , 7. x 3 , - 23. x 3 Parte literal común: x 3 , 31. a 5 , - 3. a 5 Parte literal común: a 5 , 7. x. y 3 , - 2. x. y 3 Parte literal común: x. y 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Suma de monomios • La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. • Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO • EJEMPLOS • 4. x 3 + 7. x 3 - 5. x 3 = ( 4 + 7 – 5 ). x 3 = 6. x 3 • 4. x 3 + a. x 3 - x 3 = ( 4 + a – 1 ). x 3 = ( 3 + a ). x 3 Monomio • 4. x 3 + 7. x 3 - 5. x 2 = ( 4 + 7). x 3 - 5. x 2 = 11. x 3 - 5. x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO Monomio Polinomio 10

Producto de monomios • El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4. x 3 y 5. x 2 • (4. x 3 ). (5. x 2 ) = 4. 5. x 3+2 = 20. x 5 • EJEMPLO • Sea 7. x 3 y 5. a. x 3 • (7. x 3 ). (5. a. x 3 ) = 7. 5. a. x 3+3 = 35. a. x 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

División de monomios • La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. • EJEMPLO • Sea 20. x 5 y 5. x 2 • (20. x 5 ) : (5. x 2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4. x 3 • EJEMPLO • Sea 2. x 3 y 5. x • (2. x 3 ) : (5. x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0, 4. x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

Potencia de monomios • La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. • EJEMPLO 1 • • Sea (4. x 3)2 • • (4. x 3)2 = (4)2. (x 3)2 = 16. x 3. 2 = 16. x 6 • EJEMPLO 2 • • Sea [ 3. ( x 5) 2 ] 3 • • [ 3. ( x 5) 2 ] 3 = 33. ( x 5 x 2) 3 = 33. x 5 x 2 x 3 = 27. x 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

• EJEMPLO 3 • • Sea [(1/2 ). x 2 ]3 • • (1/2)3. (x 2 )3 = (1/8). x 2. 3 = (1/8). x 6 • EJEMPLO 4 • • Sea (2. x 4 )5 • • (2)5. (x 4)5 = 32. x 4. 5 = 32. x 20 • EJEMPLO 5 • • Sea (2. x 3. y)4 • • (2)4. (x 3)4. y 4 = 16. x 3. 4. y 4 = 16. x 12. y 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

Polinomios • Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios no semejantes. • Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, • • Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. • • • EJEMPLOS • P(x) = 3. x 3 - 7. x + 5 • P(x) = x 3 + 7. x 2 - 5. x - 3 P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 15