POLINOMIOS POLINOMIOS Una expresin algebraica es una expresin

POLINOMIOS

POLINOMIOS Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de letras y números. Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números. a es el COEFICIENTE x, y, … , z se denomina VARIABLES (un número real) El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p. (n, m, … , p son Números naturales). Observa, que como todo número real a, se puede poner como: Los números reales son monomios de grado cero. .

REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS. SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES): Ejemplos: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Ejemplos:

POLINOMIOS. Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS. Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y de grado n es de la forma: Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación solamente por una letra mayúscula : Ejemplos A los coeficientes (números) de cada monomio, se les denomina TÉRMINOS, siendo a n el TÉRMINO PRINCIPAL (el término del monomio de mayor grado), y a 0 el TÉRMINO INDEPENDIENTE (el término del monomio de grado cero), .

POLINOMIOS. Un POLINOMIO, decimos que esta ordenado y es completo, cuando los monomios que lo componen están ordenados de mayor a menor grado, y ningún término es cero Ejemplos Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números: Ejemplo: Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0, decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x):

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes): Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman): Ejemplo:

IDENTIDADES NOTABLES DE MONOMIOS. Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un producto de n veces, podemos deducir (“multiplicando”) las siguientes igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”): ( A(x) + B(x) ) ² = A(x) ² + 2. A(x). B (x) + B(x) ² ( A(x) - B(x) ) ² = A(x) ² - 2. A(x). B (x) + B(x) ² ²- B(x) ² ( A(x) + B(x) ). ( A(x) - B(x) ) Ejemplos: = A(x)

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios del polinomio a dividir): Ejemplo: DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESTO

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Si Efectuamos una división de polinomios P(x) : Q(x), resultando de cociente C(x) y de resto R(x), se cumple: P(x) = Q(x). C(x) + R(x) Ejemplo:

REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO. Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos aplicar la Regla de Ruffini. Ejemplo: -3 21 - 63 171 1 -7 21 - 57 170 TEOREMA DEL RESTO. - el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a P(a) Ejemplo:

CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO. Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término independiente. Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente Ejemplo: Si tiene raíces enteras serán divisores de -4, es decir será alguno de los números -4, -2, -1, 1, 2, 4 Como: P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60 Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma: 1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar. 2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a. (x-r)2. 3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a. (x-r). (x-s). Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores (“enteros o algún fraccionario”) divisores del término independiente, por lo menos hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior. Ejemplo: Aplicando Ruffini para x = 1