Polinomios lgebra Superior Contenido Operaciones con polinomios Definicin

Polinomios Álgebra Superior

Contenido Operaciones con polinomios Definición de polinomio Producto de polinomios División de polinomio Teorema del residuo División sintética Regla de Horner Máximo común divisor

Raíces de polinomios Ecuaciones algebraicas Teorema de identidad Teorema fundamental del álgebra Raíces imaginarias Relación entre raíces y coeficientes Obtención de raíces múltiples Factorización de un polinomio raíces múltiples Descomposición de un polinomio en factores lineales Funciones racionales Fracciones parciales

Definición de polinomio Un polinomio es una expresión de la forma a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an Donde a 0, a 1, …, an son números reales o complejos y x es una variable. La expresión anterior también se llama función racional de x. Si a 0 0, el polinomio es de grado n y a 0 xn es el término principal. Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término, es decir a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an = b 0 xn + b 1 xn– 1 + … + bn Si a 0 = b 0, a 1 = b 1, …, an = bn, .

Multiplicación de polinomios Sean los polinomios x 2 – x + 1 y x 2 + x + 1, el producto se calcula de la siguiente manera: (x 2 – x + 1) (x 2 + x + 1) x 4 – x 3 + x 2) x 3 – x 2 + x x 2 – x + 1 x 4 + x 2 + 1

Método de coeficientes separados El producto anterior puede evaluarse sin escribir las potencias de x. 1– 1+1+1 1– 1+1 1 +0 +1+0 + 1 El producto es x 4 + 0 + x 2 + 0 + 1 = x 4 + x 2 + 1

Ejemplo 5 x 4 – 2 x 3 – x + 1 y x 4 + x 2 + 3 x + 5, 5– 2 0– 1 1 1 0 1 3 5 5– 2 0 – 1 1 5 – 2 0 – 1 1 15 – 6 0 – 3 3 25 – 10 0 – 5 5 5 – 2 5 12 20 – 11 – 2 5 El polinomio es 5 x 8 – 2 x 7 + 5 x 6 + 12 x 5 + 20 x 4 – 11 x 3 – 2 x 2 – 2 x + 5

División de polinomios Sean dos polinomios f (x) = a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an g(x) = b 0 xm + b 1 xm– 1 + … + bm Con n>= m. Si hacemos c 0 = a 0/b 0, podemos formar un polinomio f 1 de grado n 1<n como f (x) – c 0 xn–m g(x) = f 1(x) = (a 1– a 0 b 1/b 0)xm– 1 + … + (a 0– a 0 bm/b 0) Si no es nulo podemos aplicar este proceso con c 1 tal que: f 1(x) – c 1 xn 1–m g(x) = f 2(x) Los grados de los restos parciales f 1, f 2, … forman una sucesión decrciente hasta encontrar uno cn nk<m.

División de polinomios (cont. ) f (x) – c 0 xn–m g(x) = f 1(x) – c 1 xn 1–m g(x) = f 2(x) … fk(x) – ckxnk–m g(x) = fk+1(x) Poniendo: c 0 xn–m + c 1 xn 1–m +…+ ckxnk–m = q(x) y fk+1(x) = r(x) Obtenemos: f (x) = g(x) q(x) + r(x)

Ejemplo Dividir x 8 + x 7 + 3 x 4 – 1 por x 4 – 3 x 3 + 4 x + 1

Teorema del residuo El residuo obtenido de la división de f (x) por (x – c), es igual al valor numérico del polinomio f (x) para x = c. Demostración. Como el divisor es de primer grado, el residuo debe ser una constante r. Entonces f (x) = (x – c)q(x) + r Evaluando en x = c. f (c) = (c – c)q(x) + r = r �

Aplicaciones Demostrar que f (x) = x 3 + x 2 – 5 x + 3 es divisible entre x + 3. f (-3) = (-3)3 + (-3)2 – 5(-3) + 3 = -27 + 9 + 15 + 3 = 0 Por lo tanto el residuo vale 0. Demostrar que xn – cn es divisible entre x – c. Debido a que f (c) = cn – cn = 0, es divisible entre x – c. En que condiciones xn + cn es divisible entre x + c. (– c)n + cn = cn + cn = 2 cn si n es par (– c)n + cn = –cn + cn = 0 si n es impar

Regla de Ruffini (división sintética) El cociente de un polinomio entre un factor (x – c) se puede determinar fácilmente. f (x) = (x – c) q(x) + r Donde q(x) = b 0 xn– 1 + b 1 xn– 2 + … + bn– 1 Efectuando la multiplicación se obtiene: (x – c) q(x) + r = b 0 xn + (b 1 – cb 0) xn– 1 + (b 2 – cb 1) xn– 2 + … (bn– 1 – cbn-2) x + r – cbn Esto debe ser igual a a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an

Regla de Ruffini (cont. ) Igualando coeficientes a 0 = b 0 , (b 1 – cb 0) = a 1, (b 2 – cb 1) = a 2, …, r – cbn = an Despejando las bes b 0 = a 0 , b 1 = a 1 + cb 0, b 2= a 2 + cb 1, …, r = an + cbn– 1 Esto suele ordenarse de la siguiente manera c) a 0 = b 0 a 1 a 2 … cb 0 cb 1… cbn– 2 cbn– 1 b 1 an b 2 … bn– 1 an r

Ejemplo Dividir 3 x 6 – 7 x 5 + 5 x 4 – x 2 – 6 x – 8 por x + 2

Casos especiales Si se desea dividir entre un factor de la forma ax+b, se aplica la regla de Ruffini evaluando en x = b/a, el cociente se obtiene al dividir los valores entre a. Ejemplo: x 4 + x 3 – x 2 +1 entre 3 x + 2 1 Cociente: 1 -1 0 1 -0. 667 -0. 222 0. 8148 -0. 543 1 0. 3333 -1. 222 0. 8148 0. 3333 0. 1111 -0. 407 0. 2716 x 3/3 + x 2/9 – 0. 407 x +0. 2716 0. 457

Regla de Horner Se puede escribir cualquier polinomio como un desarrollo de potencias de (x – c) xm = [c + (x – c)]m = cm + mcm– 1 (x – c) + m(m – 1) cm– 1 (x – c)2/2 + … f (x) = A 0 + (x – c) f 1 (x); f 1 (x) = A 1 + A 2(x – c) +…+ An(x – c)n– 1 f 1 (x) = A 1 + (x – c) f 2 (x); f 2 (x) = A 2 + A 2(x – c) +…+ An(x – c)n– 2 A 0 es el residuo de la división de f entre (x – c). A 1 es el residuo de la división de f 1 entre (x – c). Etcétera

Ejemplo de regla de Horner Desarrolle 4 x 5 – 6 x 4 + 3 x 3 + x 2 – x – 1 en potencias de x – 1. 4 – 6 3 1 – 1 4 – 2 1 0 4 2 3 5 6 4 6 9 14 4 10 19 4 14 4 4 x 5 – 6 x 4 + 3 x 3 + x 2 – x – 1 = 0 + 6(x – 1)+14(x – 1)2+ 19(x – 1)3+ 14(x – 1)4+ 4(x – 1)5

Máximo común divisor Sean dos polinomios f y f 1. Al dividir f por f 1. obtenemos un cociente q 1 y un residuo f 2. f = f 1 q 1 + f 2 El proceso podemos extenderlo hasta encontrar un residuo nulo. f = f 1 q 1 + f 2 f 1 = f 2 q 1 + f 3 … fr– 2 = fr– 1 qr– 1 + fr fr– 1 = frqr fr es el divisor común de f y f 1.

Máximo común divisor (cont. ) De hecho cualquier múltiplo de fr es también divisor de f y f 1. El algoritmo anterior es el algoritmo de Euclides par apolinomios.

Ejemplo Encontrar el mcd de x 6 + 2 x 5 + x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2 y x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 –x– 2 1 2 0 1 3 3 2 1 4 4 -1 -2 -2 -4 2 5 3 -2 -8 -8 2 4 0 4 10 3 -1 2 4 16 16 -4 -8 0 -6 -13 3 10 1 4 4 1 -2 4 f 2 = – 6 x 3 – 13 x 3 + 3 x + 10 -1 -2

f 1 x 6 1 4 4 -1 -2 6 24 24 -6 -12 6 13 -3 -10 11 27 4 -12 66 162 24 -72 66 143 -33 -110 19 57 38 1 3 2 -6 -13 3 10 -6 -18 -12 5 15 10 0 0 0 f 2 -6 -13 x 6 -1 -11 3 10 / 19 f 2 1 3 -6 5 2 Mcd = x 2 + 3 x + 2

Encontrar el mcd de x 5 – x 4 – 2 x 3 + 2 x 2 + x – 1 y 5 x 4 – 4 x 3 – 6 x 2 + 4 x + 1

Raíces de polinomios Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos. Definimos una ecuación algebraica como f (x) = 0 Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz. De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama: lineal, cuadrática, cúbica, etc. Si c es una raíz de f (x), entonces f (x) = (x – c) f 1(x) Donde f 1(x) es un poliniomio de grado n – 1.

Raíces de polinomios Si c 1 es otra raíz de f (x), entonces (c 1 – c) f 1(c 1) = 0 De donde f 1(c 1) = 0 y f 1(c 1) es divisible por (x – c 1). f 1(x) = (x – c 1) f 2(x) Donde f 2(x) es un polinomio de grado n – 2. Podemos concluir que f (x) será divisible por (x – c) (x – c 1) …(x – cm– 1) Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.

Ejemplo Resolver la ecuación siguiente sabiendo que -1 y 3 son raíces. x 4 – 5 x 2 – 10 x – 6 = 0 – 1 1 0 – 5 – 10 – 6 1 4 6 – 4 – 6 0 3 6 6 2 2 0 – 1 3 1 – 1 1 La ecuación reducida es x 2 + 2 x + 2 = 0 Las otras raíces son: – 1 + i y – 1 – i El polinomio puede escribirse como x 4 – 5 x 2 – 10 x – 6 = (x – 3)(x + 1) (x +1+i) (x+1–i)

Resuelva 20 x 3 – 30 x 2 + 12 x – 1 = 0 Si 1/2 es una raíz.

Resuelva 2 x 4 – x 3 – 17 x 2 + 15 x + 9 = 0 Si 1 + √ 2 y 1 – √ 2 son raíces.

Resuelva x 3 – 2(1 + i)x 2 – (1 – 2 i)x + 2(1 + 2 i) = 0 Si 1 + 2 i es raíz.

Teorema fundamental del álgebra Teorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o imaginaria. Sea f (x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a 1 tal que f (a 1) = 0. Por tanto f (x) = (x – a 1) f 1(x) El argumento se repite para f 1(x) de tal manera que podemos escribir: f (x) = a 0(x – a 1) (x – a 2)…(x – an) Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede ser: f (x) = a 0(x – a)a (x – b)b…(x – l)l

Al hecho de que se repitan las raíces se le llama multiplicidad. Si a = 1, se dice que es raíz simple. Si a = 2, se dice que es raíz doble. Si a = 3, se dice que es raíz triple. Etc.

Multiplicidad de una raíz Si desarrollamos el polinomio f (x) en potencias de (x – a) donde a es una raíz, obtenemos la siguiente serie de Taylor: Si es divisible entre (x – a)a se requiere que f (a) = 0; f ‘(a) = 0; …. f (a– 1)(a) = 0; pero f a(a) 0

ejemplo La ecuación f (x) = xn – nx + n – 1 = 0 Tiene una raíz en x = 1, encuentre su multiplicidad f ‘(x) = nxn – 1 – n f ‘’(x) = n(n – 2)xn – 2 f ‘(1) = 0 pero f ‘‘(1) 0 la multimplicidad es 2.

Raíces complejas Si una ecuación coeficientes reales tiene una raíz compleja a + ib de multiplicidad a, tiene también la conjugada a – bi con la misma multiplicidad. Si el número de raíces imaginarias es 2 s y el de reales es r, entonces 2 s + r = n Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz es real. Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas. Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y cuadráticos.

Ejemplo Factorice: x 4 + x 2 + 1 = 0 Sea y = x 2, (x – 0. 5 – i√ 3/2)(x – 0. 5 + i√ 3/2)(x + 0. 5 – i√ 3/2) (x + 0. 5 + i√ 3/2) = (x 2 – x + 1)(x 2 + x + 1)

Relación entre raíces y coeficientes Desarrollando el producto (x + b 1) (x + b 2)(x + b 3) … (x + bn) Obtenemos para n = 2, 3, 4: (x + b 1) (x + b 2) = x 2 + (b 1 + b 2)x + b 1 b 2 (x + b 1) (x + b 2) (x + b 3) = x 3 + (b 1+ b 2 + b 3)x 2 + (b 1 b 2 + b 1 b 3 + b 2 b 3)x + b 1 b 2 b 3 (x + b 1) (x + b 2) (x + b 3) (x + b 4) =x 4 + (b 1+ b 2+ b 3 + b 4)x 3 + (b 1 b 2 + b 1 b 3 + b 1 b 4 + b 2 b 3+ b 2 b 4+ b 3 b 4)x 2 + (b 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 4 + b 1 b 3 b 4 + b 2 b 3 b 4)x + b 1 b 2 b 3 b 4

Relación entre raíces y coeficientes (cont. ) Sea s 1 la suma de b 1, b 2, b 3, bn; s 2 la suma de b 1, b 2, b 3, bn tomadas en productos por pares … si la suma de b 1, b 2, b 3, bn tomadas en productos de a i, … sn el producto de b 1, b 2, b 3, bn, Entonces (x + b 1) (x + b 2)(x + b 3) … (x + bn) = xn + s 1 xn– 1 + s 2 x– 2 + … + sn

Relación entre raíces y coef. (cont. ) Se puede mostrar que para un polinomio a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an con raíces a 1, a 2, …, an. Se cumple que: Sa 1 = – a 1/a 0 Sa 1 a 2 = a 2/a 0 … Sa 1 a 2 a 3 … ai = (– 1)iai/a 0 … Sa 1 a 2 a 3 … an = (– 1)nan/a 0 Donde Sa 1 es la suma de raíces, Sa 1 a 2 es la suma de parejas de productos de raíces, etc.

ejemplo Resolver la ecuación 3 x 3 – 16 x 2 +23 x – 6 = 0 si el producto de dos raíces es 1. Sean a, b y c las raíces, entonces a + b + c = –(– 16)/3 ab + ac + bc = 23/3 abc = –(– 6)/3 = 2 Además ab = 1. entonces c = 2 y nos queda resolver a + b = 10/3 ab = 1 = 2 a 2 – 10/3 a + 1 = 0 x = 2, 3, 1/3

x 3 + 2 x 2 +3 x +2 = 0 si a = b + c

2 x 3 – x 2 – 18 x +9 = 0 si a + b = 0

3 x 3 + 2 x 2 – 19 x +6 = 0 si a + b = – 1

Acotación De raíces Si interesan solo las raíces reales de polinomios con coeficientes reales es importante hallar un número real que sea menor a todas las raíces y otro número que sea mayor a todas ellas. Estos números son la cota inferior y superior de las raíces reales del polinomio. Para hallar la cota superior buscamos un número que haga positivo a a 0 x + a 1, y aplicamos la regla de Ruffini para evaluar el polinomio, si resulta negativo alguno de los términos, probamos con un número más grande. Para encontrar la cota inferior sustituimos x por –x y repetimos el proceso anterior.

Ejemplos 2 x 5 – 7 x 4 – 5 x 3 + 6 x 2 + 3 x – 10 = 0 Para hacer positivo a 2 x – 7, comenzamos con c = 4 4| 2 -7 -5 6 3 -10 2 1 -1 5| 2 -7 -5 6 2 probar con un valor mayor que 4 3 -10 3 10 56 283 1405 5 es la cota superior de las raíces positivas.

x 5 – 7 x 4 – 100 x 3 – 1000 x 2 + 10 x – 50 = 0 x – 7, debemos comenzar con x = 7 7| 1 -7 1 0 -100 hay que probar un valor mayor 10| 1 -7 -1000 10 1 3 -70 hay que probar un valor mayor 1 -7 -1000 10 1 13 160 20| -1000 10 -50 -50 2200 positivos los demás

2 x 6 + 20 x 5 + 30 x 3 + 50 x 2 + 1 = 0 x -x 2 x 6 – 20 x 5 – 30 x 3 + 50 x 2 + 1 = 0 2 x – 20 =0 debemos comenzar con x = 10 10| 2 -20 0 -30 50 2 0 0 11| 1 -20 2 2 0 1 -30 hay que probar un valor mayor 0 -30 50 0 1 22 212 Todos posiitivos 11 es la cota superior del polinomio transformado, -11 es la cota inferior del polinomio original.

Actividad Hallar las cotas de las raíces de x 4 – 7 x 3 + 10 x 2 – 30 = 0 x 5 + 8 x 4 – 14 x 3 – 53 x 2 + 56 x – 18 = 0

Raíces enteras Sea la ecuación coeficientes enteros f (x) = a 0 xn + a 1 xn– 1 + … + an = 0 Si c es un entero que es raíz de esta ecuación, entonces c(a 0 cn– 1 + … + an– 1) = –an Es decir, la raíz divide al término independiente. Además, f (x) = (x – c) f 1(x) y los coeficientes de f 1(x) son enteros. Si x = a, f (a) = (a – c) f 1(a) y por tanto f (a) es divisible por c – a. Con esto en mente se pueden excluir algunos enteros que dividen a an en la búsqueda de la raíz.

Ejemplo Averiguar si la ecuación siguiente tiene o no raíces enteras. x 6 + 3 x 5 – 36 x 4 – 45 x 3 + 93 x 2 +132 x + 140 = 0 Divisores positivos de 140: 1, 2, 4, 5, 7 Divisores negativos de 140: -1, -2, -4, -5, -7 Probamos 1 y -1 con Ruffini 1 | -1 | 1 3 -36 1 4 -32 -77 16 148 288 = f (1) 1 3 -36 93 132 140 -7 100 32 1 2 -38 -45 93 132 140 108 = f (-1) 4 + 1 = 5 no divide a 108, – 4 – 1 = – 5 no divide a 288, excluimos a 4 y – 4.

Probamos 2 y -2 2 | 1 3 2 | 1 5 -36 -45 -26 -97 -101 -70 93 132 140 0 = f (2) 1 7 -121 -343 756 = f 1(2) -2 | 1 5 -26 -97 -101 -70 -2 | 1 3 -32 -33 1 1 -34 35 -35 0 = f (-2) -105 = f 2(-2) Probamos luego con 5 -32 -33 5 | 1 8 8 1 13 73 7 -35 0 = f (5) 372 = f 3(5)

-5 no divide a 7 queda probar 7 y -7 7| 1 1 8 8 7 15 113 784 -7| 1 8 8 7 1 1 1 0 = f (7) Resolvemos x 2 + x +1 = 0, x = -0. 5 + 1. 5 i y x = -0. 5 + 1. 5 i Además de x = 2, -2, 5, -7

Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras x 5 + x 4 – 20 x 3 – 44 x 2 – 21 x – 45 = 0 Las posibles raíces enteras son 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15, 9 y -9 probamos con 9 9| 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45 9 5| 5| 90 630 5274 1 10 70 586 5253 …. Valores muy grandes 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45 5 30 50 30 45 1 6 10 6 9 0 1 6 10 5 55 325 1655 65 331 1664 NO es raíz doble 1 11 6 5 es una raíz 9

Probamos con 3 3| 1 6 10 6 3 27 111 351 1 9 37 9 117 360 Probamos -3 -3| 1 6 6 9 -9 -3 10 -3| 1 1 3 -3 0 1 0 Las otras raíces son –i, +i. 0 es Raíz, probamos si es doble

Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras x 4 – x 3 – x 2 + 19 x – 42 = 0 Las posibles raíces enteras son 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 7, -7, 14, -14, 21, -21 probamos con 1 1| 1 1 -1| 2| 1 -1 -1 19 – 42 1 0 -1 18 24 -1 – 1 19 – 42 -1 -18 1 -2 1 18 60 1 -1 -1 19 -42 2 42 1 1 21 0 1 2| 1 1 -2| 3| 1 1 1 21 2 6 14 3 7 35 1 1 21 -2 2 -6 1 -1 3 15 1 1 1 21 3 12 39 4 13 60 1

Probando con -3 -3 | 1 1 21 -3 6 -21 -2 7 0 es raíz. Las otras dos raíces se encuentra resolviendo: x 2 – 2 x + 7 = 0 La solución es: x = 1 + 2. 45 i y x = 1 – 2. 45 i

Raíces racionales Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional de la forma c/d (donde c y d son primos entre si) si 1. El numerador c es un factor de an. 2. El denominador d es un factor de a 0. Demostración. Como f (c/d) = 0 Multiplicando por dn y luego sumando –andn. Como c y d no tiene factores en común, c debe dividir a an. De forma similar se demuestra la otra parte.

Ejemplo Mostrar que f (x) = x 3 – 4 x – 2 = 0 no tiene raíces racionales. El numerador c debe ser factor de 2 y de 1, y el denominador d debe ser factor de 1. Las raíces deben ser de la forma 1/ 1 o 2/ 1 o sea 1 o 2 Por Rufinni encontramos f (1) = -5 f (-1) = 1 f (2) = -2 f (-2) = -2 Por lo tanto no tiene raíces racionales.

Ejemplo Hallar las raíces de f (x) = 3 x 4 + 14 x 3 + 14 x – 8 = 0 El numerador c debe ser: 1, 2, 4, 8 El denominador d debe ser: 1, 3 Las raíces deben ser: 1, 2, 4, 8, 1/3 o 2/3, 4/3, 8/3 Por Rufinni encontramos f (1) = 15, f (-1) = 3, f (2) = 192, f (-2) = 0. Probamos con las racionales para 3 x 3 + 8 x 2 – 2 x -4 f (1/3) = -8. 56, f (-1/3) = -4. 26, f (2/3) = - 2. 37, f (-2/3) = 0 Las otras raíces se obtienen de: x 2 + 2 x – 2 = 0, x= 0. 732, -2. 732

Resolver Hallar las raíces de f (x) = x 4 + 3 x 3 – 30 x 2 – 6 x – 56 = 0

Regla de signos de Descartes Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales y un término constante diferente de cero. 1. El número de raíces reales positivas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (x) o es menor a ese número en un entero par. 2. El número de raíces reales negativas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (-x) o es menor a ese número en un entero par.

Ejemplo Sea f (x) = 2 x 5 – 7 x 4 + 3 x 2 + 6 x – 5 Sea f (– x) = – 2 x 5 – 7 x 4 + 3 x 2 – 6 x – 5 # de soluciones reales positivas: 3 3 1 1 # de soluciones reales negativas: 2 0 # de soluciones complejas: 0 2 2 4

Actividad Usando la regla de Descartes determine el número posible de soluciones reales positivas, reales negativas y complejas de la ecuación. 2 x 4 – x 3 + x 2 – 3 x + 4 = 0

Funciones racionales Una función racional es aquella que es igual al cociente de dos polinomios. El dominio de la función son todos los números reales excepto aquellos que hacen cero al denominador h(x).

Ejemplos El dominio es toda x excepto x = 2 El dominio es toda x excepto x = 3 El dominio es toda x real.

Asíntotas verticales La recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si f (x) o f (x) – Cuando x se aproxima a a ya sea por la derecha o por la izquierda. Tiene una asíntota vertical en x = 2.

Asíntotas horizontales La recta x = a es una asíntota Horizontal para la gráfica de una función f si f (x) c cuando x –. Tiene una asíntota horizontal en f (x) 0 cuando x –

f (x) c cuando x y y y=c y = f (x) x x f (x) c cuando x – y y y = f (x) y=c x

Teorema sobre asíntotas horizontales Sea 1) Si n < m, entonces el eje x es la asíntota horizontal para la gráfica de f. 2) Si n = m, entonces la recta y = a 0/b 0 es la asíntota horizontal para la gráfica de f. 3) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo Como el grado del numerador es menor que el denominador, tiene una asíntota horizontal. Para verificarlo, dividimos numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador (2) y hacemos que x . Al tomar el limite cuando x se obtiene f (x) = 0

Guía para trazar la gráfica de una función racional Suponga que f (x) = g(x) /h(x), donde g(x) y h(x) son polinomios que no tienen factor común. 1. Encontrar los puntos de intersección con el eje x. 2. Encontrar las raíces del denominador. Para cada raíz trace una asíntota vertical. 3. Encontrar f (0) y localizarlo en la gráfica. 4. Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay asíntota horizontal y = c, trace la línea punteada. 5. Si hay una asíntota horizontal y = c, determine si cruza la gráfica. Las intersecciones son solución de f (x) = c. 6. Trace la gráfica.

Ejemplo y 1. Cero de numerador: x = – 4/3 x y 2. Cero de denominador: x = 5/2 x

Ejemplo y 3. f (0) = – 4/5 x y 4. Asíntota horizontal en: y = 3/2 x

Ejemplo y 5. f (x) = 3/2 y = 3/2 x 6 x + 4 = 6 x – 15, no existe solución, no hay cruce. 6. Trazar gráfica x = 5/2

Gráfica con Geogebra

Trazar gráfica 1. Intersección con eje x: x = 0 2. Ceros de denominador: x = – 1, 2 3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1. 4. Asíntota horizontal en y = 1/1 = 1 5. Cruce con la asíntota horizontal. x = -2

f (x) > 0 para x<-1 f (x) < 0 para -1<x<2 f (x) > 0 para x>2 y (-2, 1) y=1 x (0, 0) x = -1 x=2

Trazar gráfica 1. Intersección con eje x: x = 0 2. Ceros de denominador: no hay 3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1. 4. Asíntota horizontal en y = 2/1 = 2 5. Cruce con la asíntota horizontal. No tiene solución real, no hay cruce.

f (x) > 0 para toda x y y=2 x (0, 0)

Imagen con Geogebra

Asíntotas oblicuas Si el grado del numerador es mayor que el denominador en uno, se tiene una asíntota oblicua. Cuando x crece el término r(x)/h(x) se hace 0 y la función crece como ax + b. Si la diferencia en el grado del numerador y denominador es más grande la asíntota se ajustará a la curva del cociente.

x=2 Tiene una asíntota en x = 2. El cociente es igual a: Conforme x crece (o decrece) se aproxima a la recta ½ x + 1. Note que para x>2 la función está por debajo de la recta y para x<2 se encuentra por arriba. y ½x+1 x

Fracciones parciales La descomposición en fracciones parciales de una función racional es una expansión de la forma: En donde cada Fk es de la forma En donde los polinomios cuadráticos no tienen raíces reales.

Procedimiento 1. Si el grado de f (x) no es menor que el de g(x), dividir ambos polinomios. 2. Factorizar g(x) en factores de la forma (px + q) y (ax 2 +bx + c) y agrupar los factores comunes de la forma (px + q)m y (ax 2 +bx + c)n. 3. Para factores de la forma (px + q)m con m>=1, descomponer en 4. Para factores de la forma (ax 2 +bx + c)n descomponer en: 5. Encontrar los valores de Ak y Bk.

Ejemplo La factorización del denominador da: x(x + 3)(x – 1) Igualando coeficientes de x 2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones: . Resolviendo se obtiene A = 3, B = -1 y C = 2.

Otro método En lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0, 1, y -3 en: Con x = 0 se obtiene: - 9 = -3 A, A = 3 Con x = 1 se obtiene: 4+13– 9 = 4 C, C = 2 Con x = -3 se obtiene: 36 – 39 – 9 = -12 B, B = -1

Ejemplo De acuerdo con la regla Igualando coeficientes de x 2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones: . Resolviendo se obtiene A = -4, B = 5 y C = 1.

Otro método En lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0 y 3 en: Con x = 0 se obtiene: - 36 = 9 A, A = -4 Con x = 3 se obtiene: 9 + 30 – 36 = 3 C, C = 1 El valor de B se puede encontrar con las ecuaciones anteriores.

Ejemplo Son del mismo grado, es necesario dividir Factorizando el denominador: 2 x 3 – x 2 + 8 x – 4= x 2(2 x – 1) + 4(2 x – 1) = (x 2 + 4)(2 x – 1) x 2 – x – 21 = (2 A + C)x 2 + (–A + 2 B)x – B + 4 C

Igualando coeficientes de x 2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones: . Resolviendo se obtiene A = 3, B = 1 y C = -5

Ejemplo El factor cuadrático está repetido 5 x 3 – 3 x 2 + 7 x – 3 = Ax 3 + Bx 2 + (A + C)x + B + D A = 5, B = -3, C = 2 y D = 0