Polinmios Definio Valor numrico Operaes Teoremas I Definio

Polinômios Definição Valor numérico Operações Teoremas

I. Definição e nomenclatura • Polinômio ou função polinomial: soma de dois ou mais monômios (formados pelo produto entre números e letras). Forma geral de um polinômio: onde an, an-1, an-2, . . . , a 1 e a 0 são coeficientes complexos, n o expoente (natural) e x a variável complexa. • Termos do polinômio: os monômios anxn, an-1 xn-1, an-2 xn-2, . . . , a 2 x 2, a 1 x e a 0, sendo a 0 o termo independente, pois não multiplica variável alguma; • Grau do polinômio: o maior expoente da variável entre os termos não nulos que o compõem. Se o grau de um polinômio P(x) é n, indica-se gr(P) = n, no caso de an ≠ 0. POLINÔMIOS

II. Valor numérico e raiz de um polinômio Valor obtido quando se substitui a variável por um número complexo e efetuam-se todas as operações estabelecidas. Quando o número complexo é tal que P( ) = 0, é chamado raiz do polinômio P(x). III. Operações entre polinômios a) Igualdade: Dois polinômios são iguais quando os seus coeficientes correspondentes são iguais. b) Adição e subtração: efetua-se a operação desejada entre os termos semelhantes (de mesmo grau), ou seja, conserva-se a parte literal desses termos e operam-se os respectivos coeficientes. POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios c) Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau). d) Potência: forma abreviada de escrever o produto do mesmo polinômio n vezes. Denota-se por P(x)n, ou seja: POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios e) Divisão: determina dois polinômios: Q(x), o quociente, e R(x), o resto, a partir dos polinômios P(x), o dividendo, e D(x), o divisor. Para isso, devem satisfazer à seguinte condição: Além disso, seus graus devem ser tais que: • gr(P) gr(D); • gr(R) < gr(D) ou gr(R) = 0. POLINÔMIOS

ØMétodo da chave EXEMPLO: P(x) = 8 x 3 + 6 x 2 + 3 (dividendo) e D(x) = 4 x 2 + x (divisor): • Quociente: Q (x) = 2 x+1 • Resto: R (x) = - x + 3 POLINÔMIOS

IV. Teoremas a) Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x a) é igual a P(a). EXEMPLO: Qual é o resto da divisão de p(x) = 3 x 2 -17 x+15 por x-2? b) Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível (terá resto zero) por x- a se, e somente se, a for raiz de P(x), ou seja, P(a) = 0. EXEMPLO: Sem efetuar as divisões, verifique o polinômio P(x) = x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 - 4 x +3 é divisível por x – 3. c) Teorema fundamental da álgebra Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n 1), tem pelo menos uma raiz complexa. POLINÔMIOS

IV. Teoremas d) Teorema da decomposição Como consequência, todo polinômio P(x) = anxn + an-1 xn - 1 + an - 2 x n-2 +. . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, de grau n, na variável complexa x, pode ser expresso por: sendo an o coeficiente dominante (termo de maior grau), e 1, 2, . . . , n - 1, n as raízes do polinômio. EXEMPLO: Decomponha o polinômio p(x) = 2 x 2 - 10 x +12. POLINÔMIOS