POLIEDROS Y MOSAICOS en el Taller de Matemticas

POLIEDROS Y MOSAICOS en el Taller de Matemáticas Jesús García Gual Mercedes Sánchez Benito

Las construcciones de los matemáticos, como las de los pintores o los poetas, deben ser bellas; las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar con armonía. La belleza es el primer requisito, además de una imaginación inquieta y una paciente obstinación. G. H. Hardy.

Fórmula Euler Fórmula de de Euler En todo poliedro convexo Vértices+Caras=Aristas+2 Poliedro convexo Poliedro no convexo

Para demostrar la fórmula de Euler, quitamos una cara del poliedro y deformamos la superficie hasta extenderla sobre un plano. Se triangulariza la red plana, lo cual conserva el valor de V-A+C. Para esta red simplificada se tiene que V-A+C=1, y como en el poliedro inicial habíamos suprimido una cara se tiene que: V+C=A+2

Poliedros regulares

Actividad 1

Poliedros Regulares con mosaicos de Escher

Actividad 2 Representación plana de los sólidos platónicos

Duales

Dual del tetraedro

El dual del octaedro es el cubo

El dual del cubo es el octaedro

El dual del dodecaedro es el icosaedro

El dual del icosaedro es el dodecaedro

Los deltaedros

Los deltaedros se construyen con triángulos equiláteros. Este es un ejemplo de un deltaedro no convexo

663 665 664 Vértices de orden 3 883

10 -10 -3 46 -10 468 Vértices de orden 3 Prismas

3434 3535 Vértices de orden 4 4345 4443

Dos modelos para el 4443. Sommerville

33334 Vértices de orden 5 33335

Mosaicos Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono

Mosaicos construidos con Cabri-Géomètre II

Mosaicos nazaries esfinge casita Hexa-penta

Mosaicos semirregulares

Mosaicos no periódicos

Mosaicos caóticos

Mosaicos de La Alhambra

Mosaicos de La Alhambra

Materiales empleados. • Piezas de Polyedron • Piezas de Googoplex • Cabri-Géomètre. II

• ¿Qué es la Matemática? . Courant Robbins. Ed. Aguilar. • Poliedros. G. Guillén Soler. Ed. Síntesis. • Simetría dinámica. Alsina, Pérez y Ruiz. Ed. Síntesis. • Mosaicos de Penrose y Escotillas cifradas. M. Gardner. Ed. Labor. • Mathematical Recreations. Klaner. Ed. Dover. Bibliografía