POLIEDAR TAMARA GOLUBOVI VIII2 POLIEDAR JE GEOMETRIJSKO TELO

POLIEDAR TAMARA GOLUBOVIĆ VIII-2

POLIEDAR JE GEOMETRIJSKO TELO ODREĐENO SA ČETIRI ILI VIŠE MNOGOUGLOVA, I KOME SU IVICE DUŽI.

POLIEDARSKA POVRŠ

Skup površi mnogouglova takvih da je svaka stranica svakog mnogougla ujedno i stranica samo još jednog mnogougla, obrazuju zatvorenu površ koja se naziva POLIEDARSKA POVRŠ. Deo geometrijskog prostora koji ograničava poliedarska površ je UNUTRAŠNJOST POLIEDARSKE POVRŠI.

POLIEDAR JE UNIJA POLIEDARSKE POVRŠI I NJENE UNUTRAŠNJOSTI.

• Površi mnogouglova, od kojih se sastoji poliedarska površ, nazivaju se strane (ili pljosni) poliedra, a stranice tih mnogouglova nazivaju se ivice poliedarske površi i poliedra. • Rogljevi koje obrazuju strane poliedra sa jednim zajedničkim temenom su rogljevi poliedra, a vrhovi tih rogljeva su temena poliedra. • Svaka duž koja spaja dva temena poliedra, a ne pripada nijednoj strani poliedra predstavlja dijagonalu poliedra. • Svaka ravan koju određuju tri temena poliedra i ne sadrži nijednu stranu poliedra predstavlja dijagonalnu ravan poliedra.

PODELA POLIEDARA

POLIEDRI MOGU BITI: KONVEKSNI NEKONVEKSNI

POLIEDAR JE KONVEKSAN UKOLIKO SVAKA DUŽ KOJA SPAJA NJEGOVE DVE PROIZVOLJNE TAČKE PRIPADA TOM POLIEDRU, U SUPROTNOM SLUČAJU POLIEDAR JE NEKONVEKSAN

KONVEKSNI POLIEDRI

KONVEKSNI POLIEDRI KONVEKSAN POLIEDAR LEŽI SAMO SA JEDNE STRANE RAVNI SVAKE SVOJE STRANE. KONVEKSAN POLIEDAR SE MOŽE PREDSTAVITI KAO PRESEK KONAČNOG BROJA POLUPROSTORA ODREĐENIH RAVNIMA NJEGOVIH STRANA.

POLIEDAR DOBIJA NAZIV PO BROJU STRANICA. DODEKAEDAR HEKSAEDAR TETRAEDAR OKTAEDAR IKOSAEDAR

REGULARNI POLIEDRI POLIEDAR ČIJE SU SVE STRANE REGULARNI PODUDARNI MNOGOUGLOVI I ČIJI SU SVI ROGLJEVI PODUDARNI NAZIVA SE REGULARAN POLIEDAR. REGULARNI POLIEDRI Konveksni regularni Platonova tela Nekonveksni regularni Kepler-Poinsot tela

KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI

KONVEKSNI REGULARNI POLIEDRI PLATONOVA TELA • Konveksni regularni poliedri su poznati pod nazivom Platonova tela. • Njihove strane su podudarni pravilni mnogouglovi, a rogljevi su međusobno podudarni i konveksni. • To znači • da su sve strane jednog poliedra pravilni mnogouglovi sa istim brojem n medjusobno jednakih stranica i • u temenu svakog roglja se sustiče isti broj k tih mnogouglova. • Uvodi se oznaka n – broj stranica pravilnog mnogougla k – broj mnogouglova koji se sustiču u temenu poliedra, potreban broj poligona za formiranje roglja

KONVEKSAN POLIEDAR LEZI SAMO SA JEDNE STRANE RAVNI SVAKE SVOJE STRANE.

KONVEKSAN POLIEDAR SE MOŽE PREDSTAVITI KAO PRESEK KONAČNOG BROJA POLUPROSTORA ODREDJENIH RAVNIMA NJEGOVIH STRANA.

PLATONOVA TELA PODELA

TETRAEDAR 4 temena 6 ivica 4 strane Diedralni ugao: 70. 53°

HEKSAEDAR (KOCKA) 8 temena 12 ivica 6 strana Diedralni ugao: 90°

OKTAEDAR 6 temena 12 ivica 8 strana Diedralni ugao: 109. 47°

DODEKAEDAR 20 temena 30 ivica 12 strana Diedralni ugao: 116. 56°

IKOSAEDAR 12 temena 30 ivica 20 strana Diedralni ugao: 138. 19°

DUALNI P OLIED RI

DUALNI POLIEDRI • U geometriji poliedri se posmatraju u parovima. • Svakom poliedru odgovara dualni poliedar koji nastaje metamorfozom datog poliedra u kojoj: • svakom temenu polaznog poliedra odgovara strana novog poliedra, • svakoj strani polaznog poliedra odgovara teme novog poliedra, • svakoj ivici polaznog poliedra odgovara ivica novog poliedra. • Pri tome se zadržavaju njihovi medjusobni odnosi na sledeći način:

• Strana prelazi u teme novog poliedra, a njeno teme u stranu koja sadrži to teme. • Teme prelazi u stranu novog poliedra, a svaka strana čije je to teme u teme te strane. • Ivica koja spaja dva temena prelazi u zajedničku ivicu dve odgovarajuće strane novog poliedra. • Zajednička ivica dve susedne strane poliedra prelazi u ivicu koja spaja odgovarajuća temena novog poliedra.

• Svaka strana poliedra je poligon sa odredjenim brojem svojih temena. Metamorfozom poligon prelazi u teme, a njegova temena u strane novog poliedra čije je to teme, odnosno strani odgovara rogalj. • Svako teme poliedra je teme jednog njegovog roglja. • Teme prelazi u stranu, a strane poliedra koje se sustiču u tom temenu (strane roglja) u temena koja pripadaju toj strani novog poliedra.

• Ivica koja spaja dva temena prelazi u zajedničku ivicu odgovarajuće dve strane novog poliedra. • Zajednička ivica dve susedne strane poliedra prelazi u ivicu koja spaja odgovarajuća temena novog poliedra. Dualni poliedar dualnog poliedra je polazni poliedar.

• Strane konveksnog regularnog poliedra tipa su pravilni poligoni sa n temena. Strana se preslikava u teme novog poliedra, a njena temena u strane novog poliedra koje se sustiču u tom temenu. Dobija se rogalj sa n strana. • Temena konveksnog regularnog poliedra tipa su temena podudarnih rogljeva sa k strana. Teme roglja prelazi u stranu, a njegove strane (odnosno strane poliedra koje se sustiču u tom temenu) u k temena te strane novog poliedra. Dualni poliedar konveksnog regularnog poliedra tipa je konveksni regularni poliedar tipa

IZOMETRIJA I SIMETRIJA POLIEDRA

IZOMETRIJA POLIEDRA • Uzajamno jednoznačno preslikavanje f: T 1 → T 2 poliedara (tela) T 1, T 2 u kome dolazi do očuvanja metrike odnosno očuvanja rastojanja između tačaka je izometrično preslikavanje ili izometrija. Geometrijske transformacije: translacija, rotacija, refleksija i njihova kompozicija (uzastopno izvođenje) u proizvoljnom poretku i proizvoljnom broju su izometrične transformacije.

SIMETRIJA POLIEDRA • Izometrično preslikavanje f : T → T poliedara T u samog sebe je simetrija. Grupa simetrija svakog poliedra sadrži sve moguće rotacije i sve moguće refleksije koje poliedar preslikavaju u samog sebe. Kompozicija simetrija jednog poliedra (u proizvoljnom poretku) je takođe jedna simetrija iz grupe svih mogućih simetrija tog poliedra.

HVALA NA PAŽNJI!!!