POLA DAN BARISAN BILANGAN Oleh Drs Marsudi Raharjo

POLA DAN BARISAN BILANGAN Oleh: Drs. Marsudi Raharjo, M. Sc. Ed Widyaiswara Madya (IV/c) PPPPTK Matematika Yogyakarta MASALAH Apakah sebuah ruas garis dapat membentuk sudut? . Apakah dua buah ruas garis yang titik pangkalnya berimpit dapat membentuk sudut? . Bagainana jika ruas garisnya ditingkatkan menjadi 3, 4, dan 5 ruas garis? . Pasangkan bilangan-bilangan yang mewakili secara urut antara banyaknya ruas garis dengan banyaknya masing-masing sudut yang bersesuaian. … sudut, apa sajasebutkan! 4 ruas garis A 0 sudut O O A B C D A O B A O 1 sudut 5 ruas garis 3 sudut O … sudut, apa sajasebutkan! A B C B D C E 1

Lanjutan Pola dan Barisan Bil. Banyaknya sinar Banyaknya sudut 1 2 3 4 5 6 0 1 3 … … … Perhatikan Pasangan 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , . . . 0 , 1 , 3 , …, …, …, . . . Secara umum yang disebut dengan barisan bilangan adalah pasangan antara bilangan asli dengan bilangan real dengan aturan tertentu Jika urutan u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , , u 5 , u 6 , . . . dst menyatakan urutan suku-suku dari barisan bilangan Itu, maka pemasangan/korespondensi antara urutan suku-suku dengan barisan bilangannya menjadi seperti berikut. u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , . . . Disebut urutan suku-suku barisan bilangan. 0 , 1 , 3 , …, …, …, . . . Adalah barisan bilangan yang dimaksud. 2

Rumus Umum Barisan Bil. Banyaknya sinar Banyaknya sudut Dengan melihat pola isian yang ditunjukkan, maka rumus umum suku ke-n brisan bilangan itu adalah: 1 2 3 un = 4 5 . . . n 3

Menentukan Rumus Umum Suku ke-n Tanpa Tuntunan Pola Teknik Menentukan Rumus Umum suku ke-n 1. Selidiki beberapa sukunya minimal hingga 4 suku, sebab suatu barisan bilangan akan tertentu dengan tunggal jika 4 suku pertamanya diketahui 2. Selidiki selisih tetap diantara suku-sukunya. Jika selisih tetapnya ditemukan: a. Dalam 1 langkah penyelidikan barisannya berderajat 1 b. Dalam 2 langkah penyelidikan barisannya berderajat 2 c. Dalam 3 langkah penyelidikan barisannya berderajat 3, dst. 3. Lakukan pemisalan: un = an + b un = an 2 + bn + c untuk barisan berderajat 1 untuk barisan berderajat 2 un = an 3 + bn 2 + cn + d untuk barisan berderajat 3, dst. 4

Lanjutan Karena berderajat 2 maka pemisalan rumus umum suku ke-n adalah un = an 2 + bn + c u 1 = a(1)2 + b(1) + c u 1 = a + b + c u 2 = a(2)2 + b(2) + c u 2 = 4 a + 2 b + c u 3 = a(3)2 + b(3) + c u 3 = 9 a + 3 b + c u 4 = a(4)2 + b(4) + c u 4 = 16 a + 4 b + c u 5 = a(5)2 + b(5) + c u 5 = 25 a + 5 b + c Selidiki selisih tetapnya u 2 u 1 u 3 u 4 u 5 a + b + c , 4 a + 2 b + c , 9 a + 3 b + c , 16 a + 4 b + c , 25 a + 5 b + c , … 5 a + b 3 a + b 2 a 9 a + b 7 a + b 2 a 2 a 5

Contoh Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 0 , 1 , 3 , 6 , 10, 15 , . . . Jawab Perhatikan penyelidikan selisih tetap suku-sukunya 0 , 1 , 3 , 1 2 3 1 1 6 , 10 , 4 1 15 , . . . 5 1 Ternyata selisih tetapnya dicapai dalam 2 tingkat penyelidikan, maka dapat dipastikan bahwa brisan bilangan itu berderajat 2. 6

Lanjutan Adakan pemasangan/korespondensi antara keduanya a + b + c , 4 a + 2 b + c , 9 a + 3 b + c , 16 a + 4 b + c , 25 a + 5 b + c , … 5 a + b 3 a + b 2 a 2 a 0 , 1 , 3 , 1 2 3 1 1 6 , 10 , 4 1 9 a + b 7 a + b 5 1 15 2 a , . . . Akan diperoleh 3 persamaan (i) a+b+c = 0 (ii) 3 a + b = 1 (iii) 2 a = 1 7

Akhir Penyelesaian Dengan penyelesaian dari (iii) ke (1) maka: (iii) 2 a = 1 a= (ii) 3 a + b = 1 3( ) + b = 1 1 +b=1 b=– (i) a + b + (– Substitusi ke memisalan semula un = an 2 + Akan diperoleh un = bn + c n 2 – n +c=0 )+ c = 0 c=0 un = Dengan demikian suku keberapapun dapat ditentukan dengan mudah. 8

Gunakan Rumus Contoh Tentukan banyaknya sudut yang dibentuk oleh 2. 000 ruas garis yang salah satu titik ujungnya bertemu di sebuah titik. Jawab n = 2000 un = = = 1. 000 x 1. 999 = 1. 999. 000. 9

Latihan Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan yang dibentuk oleh susunan gambar-gambar berikut ini. 1. 4. u 1 u 2 u 3 u 4 un = …? u 100 = … u 5 5. 2. u 1 u 2 u 3 un = …? u 100 = … u 4 u 3 u 4 un = …? u 100 = … 6. 3. u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 un = …? u 100 = … u 1 u 2 u 3 u 4 Tunjukkan bahwa un = u 5 un = …? u 20 = … 10

Latihan Lanjutan 7. Pada pemainan Loncat katak disediakan 4 pasang katak warna hitam dan warna putih dengan sebuah titik pemisah diantara masing-masing kelompok. Katak tidak dapat bergerak mundur. Banyaknya langkah untuk saling loncat sehingga posisi kelompoknya berubah untuk 4 pasang ada 24. Banyaknya pasangan Banyaknya langkah pemindahan minimal 1 2 3 4 5 3 8 15 24 35 n un= ? Tentukan rumus umum suku ke-n dan banyaknya langkah pemindahan minimal jika banyaknya pasangan kataknya 10. 8. JIka u 1 = 13 , u 2 = 13 + 23 , u 3 = 13 + 23 + 33 , u 4 = 13 + 23 + 33 + 43 , . . . Buktikan bahwa un = . Tentukan besarnya suku yang ke-20, yakni u 20 = … 11

BARISAN DERET ARITMETIKA A. Kontekstual Barisan Aritmetika Awal minggu pertama Ali menabung di celengan Rp 5000, 00. Awal minggu ke-2 menabung lagi di celengan Rp 7000, 00 yakni Rp 2000, 00 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Minggu ke-3 dan seterusnya selalu menabung Rp 2000, 00 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Berapa rupiah tabungan yang dimasukkan Ali ke celengan pada minggu ke-5? . Berapa rupiah tabungan yang dimasukkan Ali ke celengan pada minggu ke-40? B. Kontekstual Deret Aritmetika Dari cara menabung di atas berapa rupiah jumlah tabungan Ali di celengan hingga minggu ke-5? . Berapa rupiah jumlah tabungan Ali ke celengan hingga minggu ke-40? C. Jawaban yang diharapkan Dengan tuntunan tabel Anak memiliki gambaran untuk menemukan besarnya uang yang ditabung pada tiap minggunya hingga minggu ke-5 dan jumlah uang yang ditabungnya hingga minggu ke-5, tetapi penasaran kalau yang ditanyakan hingga minggu ke-40. 12

Cerita Kontekstual Dibuat Tabel Minggu ke 1 2 3 4 5 Menabung di Celengan (un) u 1 = 5. 000 u 2 = 7. 000 u 3 = 9. 000 u 4 = 11. 000 u 5 = 13. 000 Jumlah Tabungan (sn) S 1 = 5. 000 S 2 = 12. 000 S 3 = 21. 000 S 4 = 32. 000 S 5 = 45. 000 2. 000 = b Barisan Bilangan Yang bersesuaian hingga minggu ke-5 u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , . . . 5. 000 , 7. 000 , 9. 000 , 11. 000 , 13. 000 , . . . Deret yang bersesuaian hingga minggu ke-5 S 1 = 5. 000 S 2 = 5. 000 + 7. 000 = 12. 000 S 3 = 5. 000 + 7. 000 + 9. 000 = 21. 000 S 5 = 5. 000 + 7. 000 + 9. 000 + 11. 000 + 13. 000 = 13. 000 Sn = u 1 + u 2 + u 3 +. . . + u n 13

PENURUNAN RUMUS BARISAN DERET ARITMETIKA Jika u 1 = a, dan beda sukunya b maka u 1 , a u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , . . . , un , a + b , a + 2 b , a + 3 b , a + 4 b , . . . , a + (n – 1)b Maka: Rumus Suku ke-n un = a + (n – 1)b Jumlah n suku Sn = a + (a + b) +. . . + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 1)b] Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b +. . . + (a + b) + a + 2 Sn = [2 a + (n – 1)b] +. . . + [2 a + (n – 1)] + [2 a + (n – 1)b] n suku 2 Sn = n[2 a + (n – 1)b] Sn = n[2 a + (n – 1)b 14

Lanjutan Jadi untuk Barisan dan Deret Geometri, rumus umumnya adalah: Suku ke-n → un = a + (n – 1)b Jumlah n suku pertama → S = n n[ 2 a + (n – 1)b] 15