Pojcie wielomianu dziaania na wielomianach I Jednomian to

Pojęcie wielomianu, działania na wielomianach

I. Jednomian to funkcja postaci: y=axn określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczbę a (a≠ 0) nazywamy współczynnikiem jednomianu, n nazywamy stopniem jednomianu. PRZYKŁADY JEDNOMIANÓW: f(x)=4 x g(x)=7 x 3 f(x)=-2 x 8 p(x)=3 x 2 h(x)=-9 g(x)=-5 x

II. Wielomian to funkcja postaci: w(x)=anxn+an n-1+…a x+a x -1 1 0 określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby an, an-1, …. a 1, a 0 nazywamy współczynnikami wielomianu, a 0 jest wyrazem wolnym, n stopniem wielomianu. PRZYKŁADY WIELOMIANÓW: f(x)=3 x 7 -5 x 4+7 x 2 -1 g(x)=-4 x 3 -x+2 f(x)=-6 x 8 -x 6 -2 x 2+8 p(x)=2 x 3+x 2+3 x-4 w(x)≡ 0 – wielomian zerowy

Przykład 1. Napisz wzór wielomianu w o podanych współczynnikach i określ jego stopień: a) a 0=3 a 1=7 a 3=-5 w(x)=-5 x 3+7 x+3 w jest wielomianem stopnia 3 b) a 1=-1/2 a 4=-4 a 5=1 w(x)=x 5 -4 x 4 -(1/2)x w jest wielomianem stopnia 5 c) a 0=-7 a 1=2 a 4=9 a 7=-1 w(x)=-x 7+9 x 4+2 x-7 w jest wielomianem stopnia 7

III. Działania na wielomianach W gimnazjum były omawiane i ćwiczone działania dodawania, odejmowania i mnożenia wyrażeń algebraicznych. Poznane zasady stosujemy teraz do wykonania różnych działań na wielomianach jednej zmiennej. Przykład 2. Mając dane wielomiany u(x)=-x 3+x 2 -6 x+8 oraz w(x)=4 x 3+6 x-7 wykonaj działania: a) u(x)+w(x)=-x 3+x 2 -6 x+8+4 x 3+6 x-7=3 x 3+x 2+1

b) 2 u(x)+4 w(x)=2(-x 3+x 2 -6 x+8)+4(4 x 3+6 x-7)= =-2 x 3+2 x 2 -12 x+16+16 x 3+24 x-28= =14 x 3+2 x 2+12 x-12 c) w(x)-u(x)=4 x 3+6 x-7 -(-x 3+x 2 -6 x+8)= =4 x 3+6 x-7+x 3 -x 2+6 x-8= =5 x 3 -x 2+12 x-15 d) 2 u(x)-w(x)=2(-x 3+x 2 -6 x+8)-(4 x 3+6 x-7)= =-2 x 3+2 x 2 -12 x+16 -4 x 3 -6 x+7= =-6 x 3+2 x 2 -18 x+23

Przykład 3: Oblicz wartość wielomianu w(x)=x 3 -3 x 2+5 x+1 dla podanego x. a) dla x=-2 w(-2)=(-2)3 -3·(-2)2+5·(-2)+1 w(-2)=-8 -12 -10+1=-19 b) dla x=-1 w(-1)=(-1)3 -3· (-1)2+5·(-1)+1 w(-1)=-1 -3 -5+1=-7 c) dla x=0 w(0)=03 -3· 02+5· 0+1 w(0)=1

Przykład 4: Wyznacz współczynnik a jeżeli: a) b) w(x)=x 3 -ax 2+6 x-4 w(2)=23 -a· 22+6· 2 -4 w(2)=8 -4 a+12 -4 w(2)=16 -4 a 4=12 -4 a 4 a=12 a=3 w(x)=ax 3 -2 x 2+3 x-1 w(-1)=-8 w(-1)=a·(-1)3 -2·(-1)2+3·(-1)-1 w(-1)=-a-2 -3 -1 w(-1)=-a-6 -8=-a-6 a=-6+8 a=2