Pohyb hmotnho bodu v centrlnm gravitanm poli Luk
Pohyb hmotného bodu v centrálním gravitačním poli Lukáš Klouda
Zadání příkladu n Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje v rovině v gravitačním poli vytvořeném hmotným bodem o hmotnosti M umístěným v počátku. Dokažte, že trajektorie pohybu je kuželosečka.
Motivační obrázek
Postup řešení n Uvědomme si, že na daný hmotný bod působí pouze síla gravitační. Vektor této síly si můžeme vyjádřit pomocí jednotkového vektoru.
n Z gravitačního zákonu pak víme, že n Když toto dosadíme do pohybové rovnice F=ma, získáme tvar
Nyní upravujeme… n První zajímavý vztah, ke kterému po několika úpravách dojdeme je kde n A to je zákon zachování energie
Dále upravujeme… n Dalším zajímavým vztahem je V tom si lze všimnout zákonu zachování hybnosti tělesa. n Protože n a
Důležitý okamžik n Převedeme si tyto dva vztahy do polárních souřadnic
n Odtud po dalších úpravách docházíme k tvaru: kde a = a b=. n A to je rovnice kuželosečky, jejíž obecné vyjádření v polárních souřadnicích je:
Specifikace kuželosečky n Druh kuželosečky nám zcela určí hodnota vztahu. n Pokud ve
Úvaha na závěr n V našem případě je a. , kde n Víme-li z předchozích výpočtů, že: a vidíme, že typ kuželosečky závisí na počáteční rychlosti a poloze bodu.
- Slides: 12