Poglavlje 18 Tehnologija Tehnologija je proces pomou koga

Poglavlje 18 Tehnologija

Tehnologija je proces pomoću koga inpute proizvodnje transformišemo u autput. Npr. rad, kompjuter, projektor, struja, i softver kombinuju se da bi se dobilo ovo predavanje.

Obično više tehnologija daju isti proizvod – tabla i kreda mogu se upotrebiti umesto kompjutera i projektora. Koja tehnologija je “najbolja”? Kako poredimo tehnologije?

Korpa inputa xi označava upotrebljenu količinu inputa i; tj. nivo inputa i. Korpa inputa predstavlja vektor nivoa inputa: (x 1, x 2, … , xn). Npr. , (x 1, x 2, x 3) = (6, 0, 9, 3).

Proizvodna funkcija y označava nivo autputa. Proizvodna funkcija tehnologije opisuje maksimalnu količinu autputa koja je dostižna upotrebom neke korpe inputa:

Jedan input, jedan autput Nivo autputa y = f(x) je proizvodna funkcija y’ y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa. x’ Nivo inputa x

Tehnološki skup Proizvodni plan je korpa inputa i nekog nivoa autputa: (x 1, … , xn, y). Proizvodni plan je ostvarljiv ako je Kolekcija svih ostvarljivih proizvodnih planova predstavlja tehnološki (ili proizvodni) skup.

y = f(x) je proizvodna funkcija Nivo autputa y’ y” y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa. y” = f(x’) je nivo autputa koji je ostvarljiv sa x’ jedinica inputa. x’ Nivo inputa x

Proizvodni skup je

Nivo autputa y’ tehnološki skup y” x’ Nivo inputa x

Nivo autputa tehnički efikasni planovi y’ y” tehnički neefikasni planovi x’ Nivo inputa tehnološki skup x

Tehnologije sa više inputa Kako izgleda tehnologija koja ima više proizvodnih inputa? Slučaj sa dva proizvodna inputa: nivoi inputa su x 1 i x 2; nivo autputa je y. Pretpostavimo da proizvodna funkcija ima oblik

Npr. , maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa (x 1, x 2) = (1, 8) je . . . a maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa (x 1, x 2) = (8, 8) je

autput y x 2 (8, 1) x 1 (8, 8)

Izokvanta za nivo autputa od y jedinica predstavlja skup svih korpi inputa koje daju isti nivo autputa y.

x 2 yº 8 yº 4 x 1

Izokvante sa dva varijabilna inputa Izokvante mogu biti nacrtane i u trodimenzionalnom prostoru tako što ćemo dodati osu na kojoj je označen nivo autputa pa će svaka izokvanta označavati i nivo autputa.

autput y yº 8 x 2 y º 4 x 1

Što je veći broj izokvanti, to je naše znanje o tehnologiji veće.

x 2 yº 8 yº 6 yº 4 yº 2 x 1

autput y yº 8 yº 6 x 2 y º 4 yº 2 x 1

Kompletna kolekcija izokvanti predstavlja mapu izokvanti. Mapa izokvanti ekvivalentna je proizvodnoj funkciji – svaka od njih predstavljena je onom drugom. Npr. ,

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

y x 1

Kob-Daglasove tehnologije Kob-Daglasova proizvodna funkcija ima oblik Npr. ,

x 2 Svaka izokvanta je hiperbola, koja aimptotski teži koordinatnim osama ali ih nikada ne dodiruje. x 1

x 2 Svaka izokvanta je hiperbola, koja aimptotski teži koordinatnim osama ali ih nikada ne dodiruje. x 1

x 2 Svaka izokvanta je hiperbola, koja aimptotski teži koordinatnim osama ali ih nikada ne dodiruje. x 1

x 2 Svaka izokvanta je hiperbola, koja aimptotski teži koordinatnim osama ali ih nikada ne dodiruje. > x 1

Tehnologije sa fiksnim proporcijma Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama ima oblik Npr. ,

x 2 x 1 = 2 x 2 7 4 2 4 8 min{x 1, 2 x 2} = 14 min{x 1, 2 x 2} = 8 min{x 1, 2 x 2} = 4 14 x 1

Tehnologije sa savršenim supstitutima Proizvodna funkcija kada su proizvodni činioci savršeni supstituti ima oblik Npr. ,

x 2 x 1 + 3 x 2 = 18 x 1 + 3 x 2 = 36 x 1 + 3 x 2 = 48 8 6 3 Izokvante su linearne i paralelne 9 18 24 x 1

Granični fizički proizvod Granični proizvod inputa jednak je stopi nivoa autputa kada se menja nivo ulaganja tog inputa , pri čemu je nivo ulaganja svih drugih inputa nepromenjen. Tj. ,

Npr. , ako je onda je granični proizvod inputa 1 a granični proizvod inputa 2 biće

Najčešće granični proizvod jednog inputa zavisi od upotrebljenih količina ostalih inputa. Npr. , ako tada, ako je x 2 = 8, a ako je x 2 = 27 onda je

Granični proizvod inputa i je opadajuća veličina ukoliko se on smanjuje sa porastom nivoa inputa i. Tj. , ako je

onda Npr, ako je i dakle, i Oba granična proizvoda su opadajuće veličine.

Prinos na obim ulaganja Granični proizvodi opisuju kako se menja nivo autputa sa promenom pojedinačnog nivoa nekog inputa. Prinos na obim ulaganja opisuje kako se menja nivo autputa kada se nivoi svih inputa menjaju u istom smeru i u istoj direktnoj proporciji (npr. , kada se nivoi svih inputa udvostruče ili prepolove).

Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x 1, …, xn), imamo tada tehnologija koja je opisana proizvodnom funkcijom f pokazuje konstantne prinose na obim ulaganja. Npr. , za (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa udvostručuje nivo proizvodnje.

jedan input, jedan autput nivo autputa y = f(x) 2 y’ konstantni prinosi y’ x’ 2 x’ nivo inputa x

Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x 1, …, xn), imamo onda tehnologija pokazuje opadajuće prinose na obim ulaganja. Npr. , (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa manje će nego udvostručiti nivo proizvodnje.

nivo autputa 2 f(x’) y = f(x) f(2 x’) opadajući prinosi f(x’) x’ 2 x’ nivo inputa x

Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x 1, …, xn), imamo onda tehnologija pokazuje rastuće prinose na obim ulaganja. Npr. , (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa više će nego udvostručiti nivo proizvodnje.

nivo autputa rastući prinosi y = f(x) f(2 x’) 2 f(x’) x’ 2 x’ nivo inputa x

Pojedine tehnologije mogu “na lokalnom nivou” da pokazuju različite prinose na obim ulaganja inputa.

nivo autputa y = f(x) rastući prinosi opadajući prinosi x nivo inputa

Primeri Proizvodna funkcija sa inputima koji su savršeni supstituti je Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje inputi savršeni supstituti => konstantni prinosi

Proizvodna funkcija sa inputima koji su savršeni komplementi je Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje inputi savršeni komplementi => konstantni prinosi

Kob – Daglasova proizvodna funkcija je Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje

Dakle, za Kob – Daglasovu proizvodnu funkciju važi Prinosi na obim ulaganja kod Kob – Daglasove tehnologije su konstantni rastući opadajući za za za a 1+ … + a n = 1 a 1+ … + a n > 1 a 1+ … + an < 1.

P: Da li tehnologija može da pokazuje rastuće prinose na obim ulaganja inputa a da su istovremeno svi njihovi granični proizvodi opadajući? O: Da! Primer:

pa tehologija ima rastuće prinose. Ali, opada sa porastom x 1 opada sa porastom x 2

Dakle, tehnologija može da pokazuje prisustvo rastućih prinosa čak i kada su svi granični proizvodi opadajuće veličine. Zašto?

Granični proizvod je stopa promene autputa kada raste nivo ulaganja jednog inputa, dok su nivoi svih ostalih inputa fiksni. Granični proizvod opada upravo zato što su nivoi ostalih inputa fiksni, pa rastući broj jedinica datog inputa ima relativno sve manje drugih inputa sa kojima u procesu proizvodnje sarađuje.

Kada svi nivoi inputa proporcionalno rastu, nema potrebe za smanjivanjem graničnih proizvoda pošto svaki input uvek ima istu reativnu količinu drugih inputa sa kojima sarađuje. Produktivnost inputa ne opada pa možemo imati konstantne ili rastuće prinose na obim njihovog ulaganja.

Stopa tehničke supstitucije Po kojoj stopi će jedan input zameniti drugi input a da se nivo autputa ne promeni?

x 2 yº 100 x 1

x 2 Nagib predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. Nagib izokvante meri stopu tehničke supstitucije. yº 100 x 1

Kako se izračunava stopa tehničke supstitucije (STS)? Proizvodna funkcija je Mala promena (dx 1, dx 2) u korpi inputa dovodi do promene u nivou autputa od

Ali, dy = 0 jer smo rekli da nivo autputa ostaje pa promene dx 1 i dx 2 nivoa inputa moraju da zadovolje uslov

pa preuređenjem jednačine dobijamo dakle,

STS predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. To je nagib izokvante.

Kob-Daglasove tehnologije dakle i Stopa tehničke supstitucije jednaka je

x 2 x 1

x 2 8 4 x 1

x 2 6 12 x 1

Normalne tehnologije su – monotone, i – konveksne.

Monotonost: Veća količina bilo kog inputa dovodi do povećanja autputa. y monotonost y nemonotonost x x

Konveksnost: Ako dve korpe inputa, x’ i x”, daju isti broj jedinica autputa y , onda njihova linearna kombinacija tx’ + (1 -t)x” daje najmanje y jedinica autputa, za svako 0 < t < 1.

x 2 yº 100 x 1

x 2 yº 100 x 1

x 2 yº 120 yº 100 x 1

x 2 Konveksnost implicira da STS raste (postaje manje negativna) sa porastom x 1

veći autput x 2 yº 200 yº 50 yº 100 x 1

Dug rok i kratak rok Dug rok – firma ničim nije ograničena kod izbora nivoa svakog inputa. Postoji mnoštvo kratkih rokova. Kratak rok - firma je ograničena kod izbora nivoa barem jednog inputa.

Primeri ograničenja sa kojima je firma suočena u kratkom roku: – privremeno nije u stanju da instalira ili ukloni mašine – suočena je sa zakonskom obavezomda se pridržava kvota kod nabavke nekog inputa – mora da zadovolji zakonodavca u pogledu sadržaja.

Koristan način da se razmišlja o dugom roku jeste da se predpostavi da firma može da bira po volji u kojim kratkoročnim okolnostima želi da se nađe.

Šta kratkoročne restrikcije impliciraju za tehnologiju firme? Pretpostavimo da je kratkoročna restrikcija fiksiranja nivoa inputa 2. Input 2 je fiksiran input na kratak rok. Input 1 ostaje varijabilan.

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

x 2 y x 1

y x 2 x 1

y x 2 x 1

y x 1

y x 1

y x 1 Za kratkoročne proizvodne funkcije

je dugoročna proizvodna funkcija (i x 1 i x 2 su varijabilni). Kratkoročna proizvodna funkcija gde je x 2 º 1 glasi kratkoročna proizvodna funkcija gde je x 2 º 10 glasi

y x 1 Za kratkoročne proizvodne funkcije